在明辨中深度理解概念

鄭建

[摘要]教師應該圍繞概念內涵的核心來組織和開展教學活動。以“體積與容積”一課的教學思考與實踐為例，談在具體教學中，如何通過深刻分析概念本質及其蘊含的數學思想，來設計有利于學生慎思、明辨的學習活動，促進學生深度學習，真正把知識內化為能力。

[關鍵詞]概念教學;深度學習;體積與容積;明辨

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0033-03

如何圍繞概念內涵的核心展開教學？教師既要深刻分析概念本質及其蘊含的數學思想，也要注重設計有利于學生慎思、明辨的學習活動，引導學生獨立思考、理性判斷，促進深度學習的發生，真正把知識內化為能力。下面以“體積與容積”一課的思考與實踐為例，談談如何把握概念本質，創設明辨活動，促進學生深度理解體積與容積的概念。

一、關注生活經驗，淡化描述形式

北師大版教材中是這樣描述體積與容積這兩個概念的：物體所占空間的大小，是物體的體積;容器所能容納物體的體積，是容器的容積。兩個概念都很抽象，但五年級的學生對“空間”“體積”早有直覺上的認識，生活中經常會做出“這個蘋果小、那塊蛋糕大”“飲水機占的空間比冰箱小”等描述。因此，教師不必糾結于概念的文字表述，比如解釋什么是“空間”，對學生理解“體積”幫助不大。在體積概念的引入上，筆者是通過讓學生觀察“土豆實驗”，直接指向土豆是占空間、有體積的。

實驗演示：如圖1所示，把土豆放人裝有水的燒杯中。

師：為什么土豆放下去后水面會升高？

生1：因為土豆占了水的空間。

師：我們教室里的哪些物體也占了空間呢？

生2：課桌、椅子，甚至人也占空間。

師：對！人也占空間。那么老師站在這里和向前走幾步后，所占的空間一樣大嗎？側著站呢？

生2：老師沒有變，所以占的空間一樣大。

師：比較我和生2，誰占的空間大？你是怎么知道的？

生3：老師占的空間大，因為老師比生：高。

生4：老師還比生：胖一點、厚實一點，所以占的空間大。

師：不錯，老師不僅比生：高，還比他要“寬”和“厚”。

師：物體所占空間是有大小的，我們把這個空間稱為物體的體積。橡皮所占空間的大小就是橡皮的體積，土豆所占空間的大小就是土豆的體積，那么什么是鉛筆盒的體積？

師：你們能總結一下，什么是物體的體積嗎？

生5：物體所占空間的大小就是物體的體積。

以上教學環節中，概念的發生完全基于學生的知識經驗儲備和直覺體驗，簡單且開門見山。值得指出的是，在比較教師和生，所占空間的大小時，筆者并沒有停留于誰占空間大或小的結果，而是進一步追問“你是怎么知道的”，引導學生進行高、寬、厚三維的比較，讓學生體悟體積是指物體三維空間的大小，深化學生對體積概念的理解。

二、挖掘本質屬性，深化概念理解

張奠宙教授在《從體積的定義說起》一文中寫道：“小學數學的體積教學，不要在‘什么是體積上做文章。要在體積所具有的特征上下功夫，力求觸及數學的本質，增進五年級學生對體積意義的理解。…‘體積與容積”是五年級學生學習長方體體積知識的起始課，其屬于“度量”教學范疇，與長度、面積概念教學有類似之處。體積是對物體三維大小的一種度量，這也是體積的本質屬性，同時對學生的空間觀念也有一定的要求。因此，教師有必要設計三個層次的活動：第一層次是直觀感受物體占空間;第二層次是直觀比較兩個物體體積的大小;第三層次是用自定單位來刻畫體積的大小。通過三個層次的活動積極滲透“度量”意識，為后繼學習做好蘊伏。

1.問題明辨，深化體積理解

師：一張紙有體積嗎？你有什么想法？大家先討論。

生1：將幾十、幾百、幾千張紙疊在一起，它們是有體積的，所以一張紙肯定也是有體積的。否則如果一張紙的體積是0，那么幾千張紙疊起來也不會有體積。這顯然不對。

生2：把一張紙對折，再對折，再對折……這樣幾次后，紙的厚度就很明顯了，所以一張紙是有體積的。

生3：把一張紙揉成團，就是一個近似的球體，而紙本身的本質沒有變化，所以一張紙應該有體積。

師：這團紙的體積包括紙的褶皺間的縫隙嗎？

生3：不包括，紙的體積只是紙占空間的大小。

生4：一張紙即使很薄，但還是有厚度的，所以也應該有體積。

師：大家說的真好。盡管一張紙很薄，但還是有厚度的，也占空間，就是有體積的。

師：在學習面積時，我們說面積是有大小的，現在體積也是有大小的，同樣是“有大小”，它們有什么區別？

生5：面積是指一個面的大小，體積是指整個物體所占的空間大小。

生6：面積是指平面的大小，它沒有厚度，體積有厚度。

生7：面積是二維的，體積是三維的。

問題往往是學生理解知識的“啟發點”，通過對“一張紙有體積嗎”這個“辨點”的討論互動、舉例辯證，讓學生在深度思考中學會學習，理解體積概念。教師順勢引導學生比較面積和體積這兩個概念，幫助他們進一步明晰體積概念的內涵。

2.等積變形，培養空間觀念

師：用12個小立方體能搭出幾種不同的長方體？它們的體積一樣大嗎？為什么？大家先用學具擺一擺。

師：先說說你搭出了幾種不同的長方體？其他同學邊聽邊想象這個同學搭的長方體是怎樣的。

生1：我搭出了3種不同的長方體。第一種是把12個小立方體擺成一排;第二種是擺成兩排，每排6個小立方體;第三種是擺成四排，每排3個小立方體。

師：你能想象出來嗎？（能）你有沒有擺出和他一樣的長方體？（有）還有誰要補充嗎？

生2：還有一種，用長是3個小立方體，寬是2個小立方體，高是2個小立方體搭成長方體。

師：大家想一下，生2搭的是怎樣一個長方體，你搭出來了嗎？

師：如圖2所示，我們搭出了4種不同的長方體，它們的體積一樣大嗎？

生3：一樣。因為都是用這12個小立方體搭出來的。

生4：因為每個小立方體的體積都一樣，且所用的小立方體數量相同，所以搭出的長方體的體積始終都是這12個小立方體的和，沒有變。

生5：同意生3和生4的觀點，4個長方體雖然形狀不同，但體積一樣大。

空間觀念的培養不是一句空話，尤其在幾何圖形的教學中，更要創造合適的教學時機進行學生空間想象能力的訓練。在上述反饋的過程中，教師要求其他學生根據發言學生的描述想象搭出的長方體的樣子，實質就是進行空間觀念的培養。以上教學活動中，教師不失時機地進行了空間想象力訓練，更讓學生體會到“等積變形”的數學思想。

3.估計比較，滲透度量意識

師：通過活動我們對體積有了新的理解，下面考考你的眼力。這里有一個大立方體（圖3中的右邊），請你猜測一下，它的體積是你手中的小立方體（圖3中的左邊）體積的多少倍？

生1：9倍。

生2：24倍。

生3：27倍。

師：老師準備了一些大小一樣的大立方體，每個小組來領一個，請你們實際比較一下，看看到底是幾倍。

（學生操作，教師巡視）

生（齊）：64倍！

師：你們是怎么比較的？

生4：我們用16個小立方體拼了一個底座，正好與大立方體底面一樣大，再比較了一下，一共可以搭這樣的4層（如圖4），16x4=64（個），因此大立方體體積是小立方體體積的64倍。

生5：我們用4個小立方體拼起來的長度分別與大立方體的長、寬、高一樣（如圖5），4x4x4=64（個），所以大立方體體積是小立方體體積的64倍。

以上教學環節中，筆者通過“估計比較”活動，促使學生自然而然地主動用單位立方體進行度量，體會“用自定單位刻畫體積”的度量學習的本質，增加對體積概念理解的厚度。

三、重視比較聯系，經歷概念同化

容積是體積的下位概念，兩個概念既有聯系又有區別，容積概念的建立主要是概念同化的過程。

師：剛才我們了解了體積，今天還要認識一個概念——容積。有誰知道容積的意思嗎？

生1：就好像袋子能裝多少東西，這些東西的體積就是袋子的容積。

師：看看課本上是怎么說的——容器所能容納物體的體積是容器的容積。什么是容器？

生2：比如杯子、書包、抽屜等能裝東西的物體就是容器。

師（出示一個杯子）：這個杯子的容積指什么？

生3：杯子里面的空間的大小。

師：圖6中，哪個杯子里的沙的體積相當于這個杯子的容積呢？

生4：中間的杯子。左邊杯子里的沙太少了，右邊杯子里的沙滿出來了。

師：也就是說，中間這個杯子容納的沙的體積相當于這個杯子的客積。

隨后，教師再呈現水桶、紙箱、冰箱等圖片，讓學生說說它們的容積分別指什么。

四、重視實驗明辨，深度理解概念

如果僅僅從文字表面去解讀概念或對教材中敘述的概念進行咬文嚼字式的分析，那對體積和容積概念的理解就還是膚淺的。教師需要設計有爭議的“辨點”，讓學生通過操作實踐、思考明辨進行深度學習，把原本感覺模糊的“辨點”辨清晰了，這樣他們才會有自己深入的理解與表達。比如，對于“物體的體積一定大于這個物體的容積”這樣的表述是否正確，很多學生是模糊的，教師在課堂中往往也是采取回避的策略，但這其實是明辨體積與容積概念的好素材。

1.提出辯題，自由辨析

出示辯題：“物體的體積一定大于它的容積”，這個說法對嗎？

學生相互討論，自由辨析。多數學生認為物體的體積不一定大于這個物體的容積，但說不出理由，有的學生不敢確定這個說法是對是錯。

2.實驗比較，深度明辨。

師：你們桌上都有一塊橡皮泥，能不能把它制成一個簡單的容器？判斷一下這個容器的體積與容積的大小關系。

（學生操作后反饋）

生1：如圖7，這個容器的體積一定大于它的容積，因為我在制作的時候先將一個小立方體嵌進去，做好后再拿出來，所以它的容積就等于一個小立方體的體積，而橡皮泥揉成團的體積遠遠超過一個小立方體的體積。

師：生1 剛才把做好的容器捏成了一團，它的體積變了嗎？

生（齊）：沒有變。

生2：如圖8，這個容器的容積一定大于它的體積。用跟生1一樣的小立方體放入容器中，可以放三四十個這樣的小立方體，比揉成團的橡皮泥體積要大。

師：真不錯，你們都想到了用這個小立方體作為單位立方體來測量和比較體積的大小。確實，比較物體體積大小時，是需要借助相同的體積單位來進行的。

生3：橡皮泥做的容器壁越薄，它的容積就越大。

師：你說的對。通過剛才做客器的活動，大家覺得“物體的體積一定大于它的容積”這個說法正確嗎？

生（齊）：不正確。有時候物體的體積大于它的容積，有時候相反。

師：那有沒有可能是一樣的呢？

生（齊）：當然有可能。

以上教學環節，學生通過制作容器的活動，充分感悟一個容器的體積與容積之間的關系，最后清晰地做出了正確的判斷。在明辨過程中，學生自覺地用單位立方體進行容積與體積大小的度量比較，可以說學生對兩個概念已經有了很好的理解與掌握。

總之，在概念教學中，我們需要把握概念的本質屬性，創設合理的明辨活動，讓學生展開深刻辨析，真正促進深度學習的發生。

（責編 李琪琦）