知識與方法共存 思維及智慧齊飛
——一道函數題命制的立意思考與命制經歷

☉甘肅省天水市第一中學 宮前長

高中數學教學中，常常通過各種考試檢測學生在數學學習過程中對數學概念的掌握、數學方法的應用、數學思維能力的提升以及學生的數學核心素養的養成到達哪一個層次（學得如何？）；同時也能夠檢查教師自身在數學教學中對教材的處理、數學概念的講解、數學微專題等方面的啟發、引導和拓展處于哪一個階段（教得如何？）.要想得到比較科學、準確的判斷結果，數學考試題目命制的質量是關鍵.筆者依據多年的命題經驗，積累了一些命制試題的經驗和思考，與各位同仁分享.

一、明確命題思想與理念

數學命題的思想與方向是命題的總目標以及命題的價值取向，需要受到高度重視，不可忽視.既要掌握命題的核心功能：立德樹人、服務選拔、導向教學，指明為什么考的理由.又要更加凸顯“立德樹人”的教育功能，從而確定了命題將從能力立意時代走向素養導向時代.

數學考試的宗旨是測試學生對高中數學基礎知識、基本技能、基本思想和方法的掌握，命題的立意經歷了知識型、技能型、能力型三種考試，當前考查達到素質型核心素養的高要求考試，對學生考查的內容要求逐步提升，這就更加需要教師研究：如何命題？如何命制好題？這是每一位數學教師必備的基本功.

新課標中明確指出：數學核心素養就是要求學生通過數學學習達到：用數學的眼光（直觀想象與數學抽象）看待世界（一般性）；用數學的思維（邏輯推理與數學運算）分析世界（嚴謹性）；用數學的語言（數學建模與數據分析）表達世界（廣泛性）.對數學試題的命制，一定要凸顯“三用”的終極目標，這樣才能夠命制出高質量的題目，以此來突出數學學科本身的理性思維以及數學文化命題的創新與弘揚.

二、掌握命題原則

數學命題的五個原則：思想性、科學性、公平性、時代性與創新性.在試題設計過程中應注意研究科學、準確、規范的表達方法，使每一道試題嚴謹、簡明，突出數學學科的特點，準確表達題意，為每一位考生理解和解答問題創造條件.尤其在思想性、公平性和創新性方面更要體現出來，讓學生感受到時代感以及數學核心素養的價值所在.

三、規范命題重點分布

試卷考查是對高中數學知識內容的整體性考查，還要按照相應的知識點、考法、核心素養以及難度系數等要求，體現出命題是以核心素養為指導中心，試題具有基礎性、綜合性、應用性與創新性等四個特性.命題重點一定要強化主干知識，強調知識之間的交叉、滲透和綜合.堅持考查有價值的數學，強調對數學本質的認識.在命制試題時要充分關注考查的數學內容、試卷結構和試題難度三方面的立意，每一套試卷要涵蓋試題所要考查的內容，突出重難點，形成以知識點、能力和創新為主的三維細目列表來命制題目.

四、命制試題一般步驟

1.確定立意，設置框架

試題分為三類題：選擇題、填空題和解答題.選擇題1-6題屬于基礎題，主要考查最基本的知識點與方法，容易入手并能順利得分，數學計算量小；選擇題7-10題、填空題13-14題與解答題17-19題屬于中檔題，主要考查基本的數學思想方法以及常見的思維方式，有一定的數學運算量和較大的思維量，尤其是解答題主要考查一些典型、常規和經典的數學思維方法與解題方法（通性通法），命制試題處于“難度穩，背景新”的表述范圍；選擇題11題、填空題15題及解答題20題屬于較難題，設問簡捷、審題相對較易一些，主要考查數學中的重難點，只要學生的數學功夫（思考、審題、解題）到位，還是可以取得較高的分數；選擇題12題、填空題16題及解答題21題屬于難題，有很好的區分度，擔負著選拔出尖子生的重任，但其中的第1小問仍然會設置一些引導性問題，為學生探索解題思路做鋪墊，驅使學生逐步深入，不會讓學生感到束手無策，真正起到拉分、加大差距的使命.

2.注重方法、強化能力

數學的審題方法、解題方法都是需要考慮的問題，最關鍵的是如何將數學知識點（考點）的考查、數學思想方法的考查（考法）、以及數學核心素養的考查作為重點來命制試題.其中對數學的通性通法的考查是命制試題解法的不二法則，但對數學能力、核心素養的考查是命題永恒的追求.

下面以特殊的指數函數y=ex作為知識點來舉例說明試題的命制過程，將函數的單調性、周期性和對稱性融入其中，設置一個函數的零點問題，考查函數的圖像、函數的性質、函數的零點等問題，同時要體現函數的對稱性（奇偶性），自然就能夠很好地涉及數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養.

第一次擬題：立意與選材

構思：設想三個條件：函數f（x）為偶函數；周期T=2；若x∈［0，1］時，y=ex-1.

一個目標：函數f（x）在［0，3π］上的零點個數.

命題意圖：利用指數函數y=ex將函數的三大性質全部融入其中，還要考查函數的零點問題，條件設置比較直白，能夠通過畫草圖得到“零點個數”，學生比較容易理解，并能得到答案：5.但對學生思維能力的考查相對弱一些，對核心素養的考查更是微乎其微，因此達不到命題目標.

初擬題目：已知函數f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數. 若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1，試求函數f（x）在［0，3π］上的零點個數.

解法：因為x∈［0，1］，則將函數y=ex-1的零點轉化為方程ex-1=0的解x=0，由于函數f（x）的周期為2且為偶函數，故函數f（x）在［0，3π］上的零點個數是5.

剖析：分析條件和考查目標的設置方式以及與其相關的概念：周期、對稱性（偶函數）和零點，并進行不同形式的表征，增加學生審題思維的力度和深刻性，提升對學生數學核心素養的考查強度與力度，極力向新課改所確定的課標靠近.

題目中的設問采用直接告知的方式，適合對基礎知識的考查，但對于中檔題來說，設問方式應該采用逆向方式或復合方式，從而體現出思維的廣度、深度和高度.

第二次擬題：構題與磨題

根據對第一次擬題的剖析，為了增加思維的難度，繼續打磨試題，從背景、文字、數式和圖形等方面仔細推敲，或對已有的等式進行等價轉化并形成新的表征，追尋有利于學生思維能力提升的試題.

方案1：條件“函數f（x）的周期為2”等價的表征為“f（x+2）=f（x）”；再將目標“函數f（x）在［0，3π］上的零點”添加上對數函數修改為“函數y=f（x）-lnx在［0，e］上的零點”，這樣可以提高學生審題和解題的難度，且符合修改要求.

修改題1：已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，滿足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1，試求函數y=f（x）-lnx在［0，e］上的零點個數.

解析：因為f（x+2）=f（x），又有x∈［0，1］時，函數f（x）=ex-1是偶函數，則此時函數y=f（x）-lnx的零點問題就等價于方程f（x）=lnx的解，或者是函數f（x）=ex-1的圖像與函數y=lnx圖像的交點問題，畫出草圖，容易得到函數y=f（x）-lnx的零點個數是2.

注意：條件“函數f（x）的周期為2”等價的表征只有“f（x+2）=f（x）”，不等價的表征可以有以下幾種方式①（fx+1）=-（fx），中①②③除了刻畫了函數f（x）的周期T=2之外，還刻畫了函數f（x）的其他“局部”性質.如①表明f（1）=-f（0）與條件“x∈［0，1］時，y=ex-1”相矛盾，此時往往誤認為是區間［0，1］的“右閉”所致；②③反而強調“函數值不能為零”，自然與題設條件相矛盾.

方案2：將條件“若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1”進行重建，可以涉及對數函數、三角函數、對勾函數或含絕對值的函數等等，但要注意的是學生能夠通過函數的性質作出圖像，或基本確定函數的大致走向（明確單調性，對稱性或周期性等特殊性質），或在原有函數的基礎上添加新的考查內容均可.（略）

第三次擬題：優化與定稿

根據擬題不斷的修改，琢磨試題字詞與符號歧義以及數學符號、附圖、標點符號等陳述細節，其目的就是打造數學試題，使其具有：科學、準確、規范、嚴謹和簡明的特征，突出數學學科特征，有利于學生理解題意、正確審題，而且能夠凸顯思維的廣闊性與發散性，達到綜合考查學生的學科素養的目的.因此，對所求函數y=f（x）-lnx的解析式添加絕對值運算，適當的調整為求函數y=f（x）-ln|x|的零點問題，對應的區間也由［0，e］拓展為［-e，e］.

修改題2：已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，滿足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1，試求函數y=f（x）-ln|x|在［-e，e］上的零點個數（答案為4）.

修改題3：已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，滿足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1，試求函數y=f（x）-|ln|x||在［-e，e］上的零點個數（答案為6）.

3.關注測試，正確評估

數學試題要想命制好，則需要不斷的打磨，尤其在試題的科學性上達到完善才是命題的第一步，依照三維（考點、考法和核心素養）細目表的要求，優化數據，讓學生解答起來容易理解，并且解法簡捷，有多視角的思考方向和解法選擇.命題彰顯數學思想，淡化特殊技巧，強調數學思想和方法，著力關注數學試題的基礎性、綜合性、應用性、創新性來解決“怎樣考”的問題，做到“三個避免”：避免需要死記硬背的內容；避免呆板的試題；避免煩瑣的計算.

好的試題解答過程的表述能夠體現出學生的思維邏輯、解法選擇和數學知識、方法的掌握程度，同時也能夠凸顯學生遺漏的、理解不到位的、未掌握的數學內容.但對整套題來說，需要整體思考試題的結構、難度梯度、難點分布、設問方式（平行、遞進）、試題區分度的設置等一系列問題，從而使其調整到恰當之處，不可顧此失彼.這樣，不論是單題還是套題，都能夠有效地評估學生的學習情況.

五、總結點滴，不斷完善

試題命制過程是基于高中數學新課標的理念，以數學核心素養為指導的探究命制，對高中數學思想方法、數學核心素養的考查體現的淋漓盡致.同時也落實了數學教學的兩個問題：“教什么”（理解所教的內容、思想方法、學科價值等）與“怎樣教”（理解學生的認知起點、思維障礙及認知規律等）所對應的數學“學科”與“學習”的整體構建思維認知統一體.

1.命制試題注意事項：選擇恰當策略，重視教育價值

命制試題首先要弄清三維（考點、考法和核心素養）細目表，把握命題涉及的重點、難點及熱點；對比近年來模擬試題在命制某一內容時表現的穩定性、周期性和隨機性；盡力凸顯試題內容的“變與不變”，揣摩如何蘊藏命題的導向性；全力展示命制試題的意圖，把握知識點、能力以及核心素養的考查特點.

2.命制試題掌握核心：從學科能力到核心素養

命制試題立足于教材的試題演變（基礎性）與數學主干知識的考查（重點性）；確保源于考題的自身演變（穩定性）與注重題型的創新設計（綜合性）；務必增添新背景下的題型（源）新改變（發展性）與突出通性通法的踐行（能力素養價值），主要體現在：（1）注重從現實社會和生活實際中選取命題素材，（2）關注社會熱點問題，（3）跨學科知識滲透題，（4）創新題型等四個方面思考命制試題，充分體現學生的數學視野、鍥而不舍的精神以及對數學本質深層次的理解等核心素養.

3.命制試題導向功能：從“能力立意”到“素養導向”

數學試題的命制以能力為立意，素養導航為主線，全力打造數學學習的新形態，這也是時代發展的需要.利用不同的命制試題方式來考查學生：傳統數學文化、數學學科本質、數學核心素養、數學個性品質的傳承與研究、理解與掌握等.每一位數學教師在教與學的過程中要落實以立德樹人為宗旨，這也是從“能力立意”到“素養導向”的育人過程中所要思考的關鍵之處.

總之，一套好試題在難度、區分度和效度三個方面的表現都會處于最優位置.任何命題大體要經歷立意、設計、打磨、測試和評估五個環節.