2018年全國卷Ⅰ理科壓軸題命題來源研究

☉淮北師范大學數學科學學院 張 昆

一方面，高三數學教師對于某些數學高考試題淵源的玩味與深入研究，可以增進對數學知識在高考解題應用中的一系列思維活動更為深入的認識，可以幫助數學教師在數學高考復習教學中形成更好的教學技藝，提醒學生注意高考解題思維活動中某些要素（數學觀念、解題模型與方法、計算途徑等）的相似性，從而提高高考復習的教學針對性與有效性.這里從對比研究兩道數學高考壓軸題的相似性出發，期望給予正在進行高考數學解題復習施教的高三數學教師與正在應考復習的高三學生某些啟示；另一方面，我們也要善意地提醒高考數學命題專家，需要其竭盡所能地命制出有價值的原創題，致使帶領學生復習的高三數學教師與準備高考的考生認識到數學高考復習沒有捷徑可循，也沒有規律可循，只有通過不斷地學習與思考，增加自己分析問題與解決問題的能力，才能在高考中取得好成績.［1］于是，我們從2009年遼寧省高考數學理科壓軸題說起.

一、從分析2009年遼寧省數學高考理科壓軸題說起

為了研究2018年全國高考理科數學卷Ⅰ壓軸題的命題來源問題，我們首先引入并審視遼寧省2009年高考理科數學試卷的壓軸題及其解法.

例1（2009年全國高考遼寧卷·理21·壓軸題）已知

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）證明：若a＜5，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有

對于第（1）問的分析，由于y=lnx的定義域為（0，+∞），從而可知函數（fx）的定義域為（0，+∞），可以借助于函數的導數概念知識的內涵，求其單調性，從而解決第（1）問.因的形式特點，由于x∈（0，+∞），所以的正負性取決于其分子的正負性，而這個分子與兩數差的完全平方公式相似，于是，我們可以獲得一種分類標準：（ⅰ）當a-1=1，即a=2時，可知，故（fx）在（0，+∞）單調遞增；（ⅱ）當a-1＜1時，由條件a＞1，故1＜a＜2，則當x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0；當x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在（a-1，1）單調遞減，在（0，a-1）和（1，+∞）單調遞增；（ⅲ）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）單調遞減，在（0，1）和（a-1，+∞）單調遞增.

對于第（2）問的分析，筆者為了行文的需要，不妨記條件中的lnx為函數式①，要求證的為不等式②.

分析一：我們從結論-1出發，不妨設x＞1x2，還是采用分析法，要證明這個結論成立，希望證明要討論這個不等式是否成立，由它的數式特點，啟發我們引進與利用函數g（x）=f（x）+x，只要討論這個函數的單調性就可以達到幫助我們解決問題的目的，由此我們認識到，可以通過設函數nx+x的形式來解決相關的問題.由于x∈（0，+∞），知g（′x）=x+a-1+1-a≥x由于1＜a＜5，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）單調遞增.從而當x1＞x2＞0時有g

分析二：由于所要證明的結論式②可表示為條件函數式①圖像上的兩點所構成的直線斜率的形式，于是，這個問題可以轉化為在函數式①的定義域x∈（0，+∞）內，任意兩點所連的直線的斜率都是大于-1.由于連接兩點所構成的直線斜率與這個條件函數式①的圖像上的某個點的切.當x2＞x1＞0時，有線的斜率相等（它符合微積分學中的拉格朗日中值定理的條件），換句話說，必定存在，使成立，且由1＜a＜5，可知正數.由上述的結果，知，因此，只要證由于1＜a＜5，這個不等式是成立的，問題得以解決.

這里討論這道高考數學壓軸題的目的在于，其一，這道高考題具有自身的特點，即它是由高等數學“拉格朗日”中值定理演化而來，由此而給教師提示了解決問題的方法；其二，為分析下面的2018年全國高考數學卷Ⅰ的壓軸題的來源奠定基礎.為此，我們來審視2018年全國高考數學卷Ⅰ中的壓軸題.

二、2018年全國高考數學卷Ⅰ的壓軸題及其解答分析

那么，2018年全國高考數學卷Ⅰ的壓軸題究竟具有怎樣的內容呢？為此，首先引入并審視2018年全國高考數學卷Ⅰ的壓軸題，然后對此進行解答分析.

例2（2018年全國高考數學卷Ⅰ·理21·壓軸題）已知函數

（1）討論（fx）的單調性；

（2）若（fx）存在兩個極值點x1，x2，證明

關于問題（1）的分析：首先，已有的解題經驗提示我們，對于超越函數的單調性求解問題需要借助其導函數（此處涉及一些基本函數的導數運算，才能使問題得以解決）的性質：由函數式③中的lnx，可知函數式③的定義域為（0，+∞），對函數式③進行求導運算，知f′（x）=-

其次，在平時的解題學習與反思中我們也認識到函數的導數式⑤中含有參數，需對其進行分類討論，討論的依據是由于x2＞0，故要判斷函數式③的單調性，只需判斷⑤的分子x2-ax+1⑥的正負性即可.由于代數式⑥的結構形式類似于一個完全平方公式，如此，可以生成一種關于判斷代數式⑤的正負性討論的標準：（ⅰ）若a≤2，則f′（x）≤0，當且僅當a=2，x=1時，f′（x）=0，所以f（x）在區間（0，+∞）單調遞減（.ⅱ）若a＞2，此時，令f′（x）=0，解這個方程，可得于是，我們知道，當x）時，f（′x）＜0；當x）時，f（′x）＞0.所以（fx）在區間內單調遞減，在區間 （）內單調遞增.到此，我們完成了問題（1）的解答.

這說明在命題時，命題專家有意識地設計了這種梯級形式的模式，第一問是一些常規的運算問題，只是為第二問提供啟動思維活動的基礎，下面的第二問的解答，就是在第一問的基礎上展開的.

關于問題（2）的分析：由（1）所得的解答結論可知f（x）存在兩個極值點的條件是當且僅當a＞2.

因為f（x）有兩個極值點x1，x2，所以由極值點的涵義，可知x1，x2應該是一元二次方程x2-ax+1=0的兩個實數根.故由根與系數的關系可知x1·x2=1，此時，不失一般性，可設x1＜x2，則易知x2＞1.故我們可以直接計算不等式④的左邊 的 代 數 式由要求的結論不等式④，可知只需證明就達到目的了，化簡這個不等式可知由不等式⑦左端的特點，使我們認識到可以回歸函數式③，只不過函數式③中的x變成了不等式⑦的左端中的x2，而函數式③中的待定系數a變成了不等式⑦的左端中的2，由此提示我們可以用函數的形式來考察不等式⑦的左邊，于是，設函數lnx，由（1）的結論，知g（x）在（0，+∞）單調遞減.又g（1）=0，從而當x∈（1，+∞）時，g（x）＜0.所以.問題已經解決.

通過仔細分析這兩道題所生成的解法，我們得到的啟示是：在數學解題教學中，一定要分一點關注給過程，也就是說，要探究形成數學知識的思維過程的一系列環節所萌生的歷史，這段思維環節的歷史就取決于數學意向展開的三個環節的交互替換過程.使數學知性發生的那種內在意識結構運動過程透視在我們面前，給我們在數學教學設計中確定教學目的與選擇教學手段提供了直觀的基礎，從而使教師的教學設計從探索的盲目性轉變為有跡可循的自覺性.［2］教師在教學準備工作中，要特別注意這種探究活動形成數學方法的過程.

三、簡析2018年數學高考全國卷Ⅰ理科壓軸題的來源

筆者將2009年遼寧省數學高考卷理科壓軸題（下文簡稱“遼寧卷壓軸題”）與2018年全國高考數學卷Ⅰ理科壓軸題（下文簡稱“全國卷壓軸題”）及其解答分析陳述如上，由此我們發現“全國卷壓軸題”來源于2009年的“遼寧卷壓軸題”.簡析如下：

其一，從命題題面上的題設條件來看，“遼寧卷壓軸題”利用了二次函數與對數函數組成了函數式①，而“全國卷壓軸題”利用了反比例函數、正比例函數與對數函數組成了函數式③，因此，這兩道壓軸題在組成元素上雖有區別，但在決定問題本質的對數函數的使用上其實是一致的；所使用的參數（待定系數）都是字母a.

其二，從命題題面上要求的結論來看，兩道壓軸題的第（1）問都是一樣的.從對于主導性條件（函數解析式）在第（2）問中所附加的條件上看，兩道題的第（2）問具有不同點，“遼寧卷壓軸題”是在函數式①定義域內所取的任意兩個不同的點x1與x2，而“全國卷壓軸題”所取的函數式③定義域內的兩個點則是固定的，它們是函數式③的兩個極值點x1與x2；從兩道壓軸題第（2）問的結論上看，這兩個不等式的左邊的形式完全一樣，不等式的右邊有所不同，“遼寧省壓軸題”就是一個具體的數字-1，而“全國卷壓軸題”也是一個具體的數字a-2，形式上看有一個字母a，但這個字母a卻并不是變量，因此，可以說這兩個要求證的結論式并沒有本質的區別.

其三，從前述所分析的問題解決時使用的數學知識及其思維活動過程上來看，關于第（1）問的解答活動過程，兩道壓軸題的解題方法是完全一樣的，由于具體使用的條件要素（函數）的形式不同、數據不同導致了解題時所采用的方法（分類標準）的不同，其實質則是完全一樣的（都是使用了“完全平方公式”來揭示思路的來源）；關于第（2）問的解答活動過程，兩題的異同點為：

其一，遼寧卷存在分析一與分析二兩種解法，而全國卷只有這一種解法.

其二，遼寧卷分析一的解題思路都是從已知出發的，如此，由于所引入的條件的要素不同，從而決定了解題思路的方法是不一樣的，“遼寧卷壓軸題”采用了引入新函數式）lnx+x（可以使用分析的手段獲得），并且引入了關鍵性的知識點“基本不等式”，進而比較簡潔地解決了問題，而“全國卷壓軸題”因為所給定了的條件x1與x2是兩個具體的極值點的橫坐標，因此，不需要像“遼寧卷壓軸題”一樣地引入函數，只要直接代入解析式進行計算就行了，進而得到了結論不等式⑦，不等式⑦的左端與題設中的條件函數式③具有相似性，因此，到此時可以引入函數式（其實是條件函數式③的具體化，即待定系數a取2時的函數式③），從而使問題得以解決.

其三，遼寧卷的分析二，采用的微積分中的拉格朗日中值定理，其屬于高等數學知識，中學生一般沒有學習并借助于這種經驗解決問題，因此，從原則上說，這種方法考生在考場上是很難用得上的，而全國卷所給予的條件的兩個數x1與x2是固定不變的，不是變量，因此，不可能引入函數來加以解決，就更不可能使用拉格朗日中值定理這個知識點了，而只能使用這種具體計算的方法.

總之，這兩道題的題設條件與第（1）問的形式及其解題方法雖形式上有所不同，但實質上是相同的；這兩道題的第（2）問形式上相同，但是實質上有著較大的區別，其區別的要素在于遼寧卷中的x1與x2是可變量，而全國卷中的x1與x2卻是具體的不變量，由此決定了在解決第（2）問所使用的方法上的巨大差別.雖然如此，我們從形式上依然可以說，2018年全國卷Ⅰ的壓軸題來源于2009年遼寧卷的壓軸題.

四、簡要結語

從這三個維度的分析中，我們發現，2018年“全國卷壓軸題”與2009“遼寧卷壓軸題”在題設條件、題段結論兩個方面雖有具體知識特點形式上的區別，但這兩道題的本質內涵基本上是一致的；兩道題的差別在于，由于變動了第（2）問的附加條件，致使求解這一問的思路產生了差異.因此，我們可以得出這樣的結論，2018年全國高考數學理科卷Ⅰ的壓軸題的關鍵環節來源于2009年遼寧省高考數學理科卷壓軸題.透過這種現象深入其本質，一方面，對于我們高三數學教師的復習教學來說，一定具有很好的啟發性，那就是我們要研究以往的高考真題，盡可能減輕學生“題海戰術”的壓力；另一方面，對于高考數學命題專家來說，更需要思之再思，慎之又慎！