變式探究在數學課堂教學中的應用性思考

☉江蘇省高淳高級中學 郭明龍

變式探究是一種能夠為學生終身學習奠定基礎的學習方法，這種以“問題”為載體的學習方式的前提是學生的自主學習與合作討論，以教師指導為輔助并以問題變式為主要學習手段的學習方式往往能夠為學生創造出自由表述、質疑、探討的機會，學生的問題意識將會得到進一步的激發和培養，并因此獲得創新能力的發展，這是一種引導學生學會學習并掌握科學的學習方法的重要手段.筆者認為，變式探究在高中數學教學中的應用不外乎以下幾點做法.

一、情境創設中提問問題

運用數學的眼光提出問題與解決問題就是數學學習的實質，因此，教師應善于設計有效的問題情境并促使學生在課堂學習中更加投入地進行探究，這種對于學生來說具備挑戰性與價值性的情境設計與問題提出能夠更好地提升課堂教學的效果.

例：在橢圓=1上求一點P并使其與F、F兩焦12點的連線相互垂直.

這是一道看似簡單實則包含著豐富內涵的題目，全國很多地區都用到了此題作為背景來進行高考試題的命制，函數與方程、數形結合、分類討論、等價轉化等數學思想的運用以及學生解決此題的能力是此題所考查的重點內容.教師在此題的解題教學中可以首先引導學生進行作圖，然后引導學生結合條件對圖形進行觀察并得出結論：以原點為圓心且半徑為5的圓就是點P的軌跡，其軌跡和橢圓共有4個交點.教師在學生觀察并獲得結論之時應適時提出問題：對于任意橢圓來說，這樣滿足條件的點P是否都存在呢？學生進入思考狀態并著手計算后會得到以下結論：這樣的點P的存在性是不確定的.教師此時應繼續追問：假如將點P同樣視作本題的某一條件，則本題中的條件有哪幾個呢？學生得出以下3個

從以上可以看出，需要學生探究的問題在有意義的情境設計中自然產生了.

二、合作交流中變式探究

作為教學內容、過程、活動組織者和參與者，教師在課堂教學中應為學生創設出科學的探究情境，使學生能夠在深度適當、問題梯度合理的探究情境中積極展開思考和探索，并對學生獲得的每一個探究結果都應及時的表示贊賞并作出適當的引導，使學生能夠在有的放矢的引導、探究、討論中形成師生互動、生生互動的生動場面，同時和諧生動的探究氛圍也令學生的思維更加活躍.

結合上面的情境設計，事實上還可以作出更深層次的探究：若將原題中條件的位置進行互換又會產生怎樣的結果呢？假如滿足條件的點P確實存在，其離心率的范圍可以通過計算來獲得嗎？

探究1：設橢圓上有一點P（3，4），F、F為橢12圓的兩個焦點，則∠F1PF2的大小如何？

探究2：設點P為橢圓=1（a＞b＞0）上一點，且PF1⊥PF2，則離心率e的范圍如何？

探究3：在橢圓（ ）上是否總能找到這a＞b＞0樣的點能使其和兩個焦點的連線相互垂直？

教師利用逆向思維提出探究問題之后就應該組織學生進行分組討論，引導學生對解題思路進行思考和探索并進行巡回指導，根據各組探究出的解題思路及時進行點評并選出最為典型的解題思路，從而形成最后的結論.學生在這樣的引導、討論、交流和及時反饋中往往會表現出更高的熱情，這也是課堂教學中最適合繼續跟進提問的時機，因此，教師此時可以對學生進行再一次的引導并獲得以下的探究：

探究4：已知F1、F2為橢圓=1的兩個焦點，點P在橢圓上，假設∠F1PF2=90°，△F1PF2的面積是20，則該橢圓的方程應該是怎樣的呢？

探究5：已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，且∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是多少？

探究6：已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，點P

在橢圓上，且∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積是多少？

學生在層層深入的探究中收獲的不僅僅是緊張且投入的思考，教師精心設計的多方位、多角度、多層次的探究活動令學生的思維獲得鍛煉與發展的同時，還令學生收獲了探究成功的愉悅，思維品質不斷攀升的挑戰、刺激與成功也令學生的數學學習充滿激情.

三、變式推廣中不斷創新

事實上，上述所闡述的探究確實是極具價值的，那么再繼續進行探究是否可行呢？答案是肯定的，教師引導學生的探究至此，仍然可以將上述問題作進一步的推廣并讓學生利用課余時間進行更深層次的思考與研究，如下變式則是筆者的學生在一定的引導下所獲得的變式拓展題：

變式1：橢圓（a＞b＞0）上有一點P，若使點P和該橢圓長軸上的兩個端點A1、A2的連線相互垂直，需要滿足的充要條件是怎樣的呢？

變式2：已知橢圓），橢圓上一點 和a＞b＞0P該橢圓上任意一條弦的兩個端點A、B的連線相互垂直，需要滿足的充要條件是怎樣的呢？

根據教學內容與學生實際情況精心設計問題，并引導學生帶著問題走進課堂，能使學生獲得愉快又適度緊張的情感體驗和思維體驗，在學生思考與探索的基礎上進一步展開探究能使學生在新問題的引導下走出課堂，使學生在更高層次的問題引領下理解并掌握課堂教學中變式探究的出發點與歸宿.

總之，課堂教學往往會因為變式探究的有效進行而變得更為開放、寬松和愉悅，師生之間的合作交流也會因為探究活動的開展而得到增強，學生在數學學習中的創新思維品質、靈活思維品質也會因此得到發展，學生的認知結構得到補充、完善的同時也會不斷增強發現問題、解決問題的能力，相當一部分的學生在探究中獲得的感受與領悟也會令其對數學思想方法與基本解題策略形成更好的理解與掌握.不過，值得教師注意的是，學生數學綜合素養的提升不可能一蹴而就，教師在具體的教學過程中首先要幫助學生將單一的學習方式改掉，在平時的教學過程中注重變式探究的不斷滲透，并因此促使學生在長期的潛移默化和積累中獲得數學綜合素養的提升.W