通過“多維度”提升職高學生解題的思辨力

易清良

關鍵詞：多維度? 思維方法? 變式

人的智慧是以思維力為核心的智力整體結構，而數學是思維的科學，因而數學又被稱為“內心科學”。數學教學由傳授知識的單一性作用轉向教學功效的多元化作用，故而數學教學既是數學知識的教學，更是數學思維方式的教學，在教會職高學生數學知識的同時，更要讓他們知道知識是如何發生、獲取和應用的。

為了讓更多的學生認識數學本質并完成知識建構，逐步理解數學思想方法，建立科學的思維方式，養成對事物進行理性思考的習慣，從根本上提高學習能力，教師首先要從職高學生的實際出發，營造出一個高度和諧的課堂。其次要精心整合教學素材，打造高效低耗的課堂教學。這樣，既可以化解職高學生數學水平與教材內容不匹配的矛盾，又能促進學生思維的全面提升，讓師生通過數學教學開啟一段啟迪智慧之旅。

職高學生是職高教學的主體。教學的認識活動能否完成，要以學生認識成效為依據。教必須落實到學上，要讓學生真正成為學習的主人，有學習的自主權，使學生能夠主動地、進攻性地學習專業知識，探索新知識，發展新見解，從而達到真正自主學習的目的。在進行數學教學過程中，受時間、進度、精力所限，許多教師只顧自己講授，不理學生的接受;只講方法，不管原因;只講結論，不談過程，導致許多職高學生對數學學習有一種恐懼心理和畏難情緒。為了營造出一個高度和諧的課堂氛圍，必須從職高學生的實際出發，去實實在在地了解他們知道些什么、知道得是否全面、還有哪些方面是模糊不清的。所以，在進行數學教學時，教師要盡可能關注學生的動態，通過心靈溝通去打動和影響學生;盡量全面揭示數學問題的實質，將枯燥的數學學習變得生動有趣;努力創設學生熟悉、擅長的情境，重視知識產生和發展的過程，讓數學不再是神秘莫測的學科，而是可親可近的知識，更多地關注數學思想對學生的熏陶以及學生素養的提高。

一旦教師掌握了解決數學問題的思想方法，就能變化出生動的結論，數學就能顯示出其無窮的魅力。唯有這樣，學生才能“親其師，信其道，篤其行”。

一、維度一：重視方法起源，開展投石問路，加快思維進度

作為人類認識世界、改造世界的重要工具之一的數學，它的基礎知識和基本技能是重要的。從數學的發展歷程中，教師可以設置幾個疑問點：問題是怎樣提出的，概念是怎樣形成的，結論是怎樣探索和猜測到的，以及證明的思路和計算的想法是怎樣形成的。這樣，學生在教師的引導下，以學習主人的心態了解、參與數學知識的發生過程、思維的展開過程，改變被動學習、機械訓練的狀況，發揮學生的主體性，以此來加快學生思維完善的進度。

案例1：函數y=（x2+ax+1）1/2的定義域為R，求a的取值范圍。

第一次面對這樣的數學題，大部分職高學生無從下手。

臺階1：此時教師把問題改成方程x2+ax+1=0，問何時有兩解？何時有一解？何時無解？

學生：根據二次方程根的判別式：△>0時有兩解;△=0時有一解;△<0時無解。

臺階2：函數y=x2+ax+1整個圖像都在x軸的上方，試求a的取值范圍。

學生1：與x軸無交點。

學生2：△>0。

學生3：不對，應該是△<0。

教師：△>0時圖像與x軸有幾個交點？△<0時圖像與x軸有幾個交點？

臺階3：不等式x2+ax+1≥0的解集為R，試求a的取值范圍。

學生3：很簡單，△≤0。

問題：函數y=（x2+ax+1）1/2的定義域為R，求a的取值范圍。

學生1：不等式x2+ax+1≥0的解集為R，所以△≤0。

學生2：以上所有的問題的關鍵是△，就叫判別式法吧。

評析：學生無法下手解決的問題，大多數是因為讀不懂題目，不明白題目所表達的意圖，那么，試探法無疑是撥開云霧、理清思路的最有效辦法。通過引導學生去尋找判別式法的發源地，使學生身臨其境地體驗它的誕生和應用，為今后的靈活運用打下了堅實的基礎。

數學教學應讓學生在獲得知識的過程中，逐步形成科學的思維方式，培養學生認真求實，追求效率的學習態度和習慣。這種（判別式法）來源于實踐，又服務于實踐的辯證唯物主義觀點在課堂中很自然地得到體現。

二、維度二：依據教學內容，創設變式訓練，把控思維梯度

在職高數學教學中，不一定要求教學內容非常嚴謹，但是解題方法是嚴謹的。課堂教學的本質是提升學生思維的活躍度。在課堂教學中，教師適時變動一些教學內容，創設一些變式練習，讓學生在變式中思辨：哪些問題是形式在改變，而問題的實質沒有變;哪些問題是問題的形式沒有變化，而問題的實質發生了根本的變化。在變和不變中，引導學生思辨問題的本質，參透知識的關聯性。

當然，教師創設問題時，必須依據學生的實際情況，把握思維的梯度，臺階不能太高，也不能太低。尤其是不能讓學生有跳躍感，要適度地提升問題的難度，形成合理的知識遷移。有效地控制教學的思維梯度，從而拓展學生的思維深度。

案例2：在進行交、并集的運算講解時，教師首先采用簡單數集的交并集的求法。如：A={1，2，3}，B={3，4，5}，求A∩B以及A∪B。學生們也深刻理解了交集與并集的概念。

為了提升思維的深度，教師安排了以下問題：

變式1：集合A=（1，3），B=（2，4），求A∩B以及A∪B;

變式2：集合A=（1，+∞），B=（2，4），求A∩B以及A∪B;

變式3：集合A=（1，+∞），B=（2，+∞），求A∩B以及A∪B;

變式4：集合A=（1，+∞），B=（-∞，4），求A∩B以及A∪B。

評析：通過以上的變式，可以逐漸加深對概念的理解，問題由淺入深地發生變化，但解決問題的方法和思路沒變，這就強化了學生對這一問題的認識。通過這類問題的解答，可以幫助學生樹立信心，增強解題的勇氣，獲得成功的喜悅。

衡量一堂課的質量高低，不僅僅是看教師的教學方法、教學形式和教學手段的展現，更主要的還要看課堂思維容量的大小，學生思維密度和強度如何。也就是說，要看教師對課堂的是如何進行精心設計和科學安排的;教師對于較難的問題，在進行教學時是否有意識地將其分解，通過解題訓練培養學生的自信心，讓學生體驗學習成功的快樂，然后再慢慢引申，循序漸進地引導學生尋找條件和結論之間的聯系，展示知識發生、發展的過程。實踐證明，通過這樣的教學，學生明白了知識的來龍去脈，就會記得牢，用得準，就能實現由懂到會，由會到掌握，由掌握到靈活運用的飛躍。

三、維度三：優化教學手段，串聯相近知識，提升思維高度

波利亞認為：“數學有兩個側面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，但也是別的什么東西。由歐幾里得方法提出來的數學看來像是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。”編織知識網絡，尋找所學內容主線，在主線的引導下，以全新的邏輯鏈和職高學生的思維鏈將原來知識重新梳理與整合，挖掘知識的內在聯系。在教學中要做到串點為線，聚線為面，面中顯點，以點帶面。

教學方法對于學生來說非常重要。因此，在教學過程中，教師要合理地選用一些教學手段，把一些相互聯系的知識點串放在一起，這樣，既可以讓學生復習舊知識，還可以習得解決問題的方法和形成解決此類問題的思維模式。在知識的差異變化中，分辨自己存在的錯誤。知識在思辨中形成，解決問題的能力在思辨中提升。

案例3：在三角函數學習結束后，為了串聯相近知識，根據職高學生的實際情況，教師編制如下問題。求下列各式的值：

1.2sin15°cos15°? 2.cos15°cos15°

3.cos20°cos40°cos80°

4.sin15°+cos15°? ?5.sin15°+cos15°

這一組練習基本采用配湊法，通過乘一個數，除一個數，把三角里面的二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式、兩角和的余弦公式都串聯在一起，使學生有了對三角公式的充分理解。

評析：由于教學內容在編排上有層次性，難度上有梯度性，同時教師在課堂教學中，留出大量的時間讓學生參與教學活動，讓他們動手動腦，主動探索，自己發現規律并歸納結論。這樣靈活多樣的教學方法，就能使教學效果令人滿意。所以，教師要注意把握教學的主線，做到涇渭分明，注重知識間的聯系，幫助學生建立一個良好的認知結構。如果說，沒有系統的知識，好比一盤散落的珍珠，無從下手，那么良好結構的知識就像一串精美的珍珠項鏈，排列有序，拿一顆就能戴起整串。

采用這種利用相近知識點來解答同一道習題的教學手段，不僅可以有效地鞏固學生的知識基礎，而且可以強化教學的強度，即在職高學生可以接受的程度上適當地提高教學的強度，不僅能夠有效地提高學生的上課積極性，激發學生的學習熱情，還可以使學生在這種強度較高的教學中提高自身的思維強度。

四、維度四：分析問題本質，更新解題方法，提升思維高度

職高學生在解決數學問題時，通常顯得反應遲鈍或無助，很大一個原因是對解題方法理解得不夠到位，導致不能靈活運用知識。其實，認知是要有一個曲折的過程的，要尊重學生的認知特點，發揚民主，認真傾聽學生的觀點，關注學生思維的火花，同時注意藝術性地引導啟發，適時介入學生的探究活動，調整他們的思維方向，讓學生不斷加深對知識的理解程度，切實提高思維能力，提升思維高度。

案例4：方程x2sina+y2cosa=1。

試討論0°≤a≤360°方程所表示的曲線。

這樣的問題呈現時，大部分學生會停留在橢圓的層面上。

教師：a=210°時，sina=？cosa=？那么方程表示什么曲線。

學生：方程不表示任何圖形。

教師：那我們選一些特殊角來分析。

讓學生討論：根據0°≤a≤360°范圍可選哪些特殊角來代表？學生討論分析得出以下情況：

1.a=0°，sina=0、cosa=1，y=±1方程表示兩條直線;

2.a=30°，sina=、cosa=，方程表示橢圓;

3.a=90°，sina=1、cosa=0，x=±1方程表示兩條直線;

4.a=120°，sina=？、cosa=？，方程表示雙曲線;

……

評析：學生從第一象限到第四象限，從x軸的正半軸到y軸的負半軸，認真分析、歸納。在此過程中知識從直線、橢圓到雙曲線，方法從特殊值法到一般法，思維從具體到抽象。通過這樣的辨析和反思，更新解題方法，使學生的思維得到很大的提高。

人們常說，學一門手藝很重要，但換一種思維更重要。面對紛繁復雜的世界，我們應當敢于打破擋在自己面前的這扇門。能夠及時改變自己，用思辨的眼光去看問題，提高自己對問題的解決能力。在夯實職高學生基礎的同時，不斷刷新思維高度。這樣，數學教師也能成為學生心目中的建筑學家。

五、維度五：關注職高學生成果，提倡一題多解，拓展職高學生思維

注重思維多元化，提倡一題多解，對于同一題目，用不同的方法來解決。在解決問題的過程中，學生習得職高數學的相關知識，更是習得了數學的一些方法。形成了自己架構的知識網絡，對所學知識起到了一個融會貫通的作用。提高了學生綜合運用數學知識與駕馭數學知識的能力，使知識結構更加完善。一題多解還可以提高學生自我驗算的能力，一題多解從多角度思考分析，使用多種解法，殊途同歸，答案是相同的。學生可以用一題多解來判斷原來解法是否正確。另外一題多解還可以提高學生靈活運用知識、靈活轉換角度來解題的能力，讓學生敞開思維的翅膀，在知識的空間盡情地翱翔，這大大有利于培養學生的創造性思維。

案例5：有5名學生站在一起照相，甲、乙兩位同學不能站在一起，共有多少張不同的照片。

學生出現了以下兩種解法。

解法一：（插空法）由于甲乙不能站一起，先把其他三名學生排定，再把甲乙排在其他三人的中間。根據方法可得：3×2×1×4×3=72種。

解法二：（剔除法）5名學生，沒有任何要求的排法為：5×4×3×2×1=120種。甲乙兩人站在一起的排法種數為：2×4×3×2×1=48種。總的排法減去不符合要求的排法：120-48=72種。

評析：教師對以上解法進行較詳細評價，并提升總結此種類型題目的方法。讓學生能通過總結，達到用同一題目引導學生轉換視角、根據題目的變化的需要適當進行選擇的目的。一題多法的變式訓練有助于學生掌握這種方法的特點，拓展他們在解決放縮問題上的思維角度，將所學的知識縱向加深，橫向溝通，尋求不同解法，其靈活運用知識能力體現得淋漓盡致。采用這種方法不僅有利于提高學生對數學的認識，增強其思辨能力，提升其分析問題和解決問題的能力，更為重要的是通過學生再研究的過程，可以使他們在體驗的過程中，提升自己，找到超越的快樂、發現的快樂。

數學教學不能僅僅停留于數學知識的獲得和解題技巧的掌握上，更重要的是要注重學生數學能力的提升、數學思想的形成和健全人格的養成。所以，教師在數學教學中，不僅要注重積極營造寬松、和諧、民主的師生活動氛圍，讓學生登山則情滿于山，觀海則情溢于海，還要注重內容的活潑多樣，思維的層層深入。這就要求教師不能就題論題，而要善于變通，通過對典型問題進行詳盡的剖析、變式，多維度揭示問題中蘊含的數學思想和方法，如此才能使學生對所學知識進行充分理解和掌握運用，進而提升他們的解題思辨力。

參考文獻：

[1] 羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] 陳旭.探尋問題的本質，發現問題的解法[J].中國數學教育，2018（5）.

[3] 胡國生.高中數學課堂中數學思維差異的探究[J].中學數學教學參考，2017（10）.

[4] 張濤.引導學生思考，發展核心素養[J].中學數學教學參考，2018（9）.

（作者單位：富陽區職業教育中心）