雙曲線的中點弦什么時候存在

摘 要：對于中點弦問題同學們習慣用“點差法”解決，首先回憶一下點差法的步驟：1. 設點，設出弦的兩端點坐標；2. 代入，代入圓錐曲線方程；3. 作差，兩式相減，再用平方差公式展開；4. 整理，轉化為斜率與中點坐標的關系式，然后求解。

關鍵詞：雙曲線；方程；中點弦

一、 問題提出

問題1 已知雙曲線的方程為x2-y22=1，問是否存在被點P（1，2）平分的弦？若存在，求出弦所在的直線方程；若不存在，說明理由。

解：假設存在被點P平分的弦AB，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則有：x21-y212=1，x22-y222=1，兩式相減，得：

（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

因為P（1，2）為AB中點，從而x1+x2=2，y1+y2=4，

所以kAB=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=1，

故所求直線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0。

至此，我們利用“點差法”解決了雙曲線的中點弦問題，為了驗證所求的直線x-y+1=0是否是滿足條件的直線，我們將該直線方程和已知雙曲線方程聯立成方程組

x2-y22=1x-y+1=0，消去y后得到一元二次方程x2-2x-3=0，Δ=（-2）2-4×（-3）=16>0，

說明所求直線的確和雙曲線有兩個交點，同時，用幾何畫板作出已知的雙曲線x2-y22=1和所求出的直線x-y+1=0的圖像（圖1），可以看到，所求直線就是滿足條件的直線。

圖1

問題2 已知雙曲線的方程為x2-y22=1，問是否存在被點Q（1，1）平分的弦？若存在，求出弦所在的直線方程；若不存在，說明理由。

解：假設存在被點Q平分的弦AB，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則有：x21-y212=1，x22-y222=1，兩式相減，得：

（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

因為Q（1，1）為AB中點，從而x1+x2=2，y1+y2=2，

所以kAB=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=2，

故所求直線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0。

同樣，我們將該直線方程和已知雙曲線方程聯立成方程組x2-y22=12x-y-1=0，消去y后得到一元二次方程2x2-4x+3=0，Δ=（-4）2-4·2·3=-8<0，說明所求直線和雙曲線沒有交點，滿足條件的中點弦不存在。用幾何畫板作出已知的雙曲線x2-y22=1和所求出的直線2x-y-1=0的圖像（圖2），可以看到，所求直線不滿足題目要求。

圖2

二、 規律探究

通過以上兩個問題可以看出，雙曲線的中點弦可能存在也可能不存在，為了探求規律，研究以已知點為中點的弦是否存在，我們作一個推導。

首先不妨把雙曲線所在的平面區域分成以下幾個部分：

在雙曲線x2a2-y2b2=1所在的平面內任意一點P（m，n），我們可以得到（圖3）：

圖3

①當點P（m，n）在漸近線上時，m2a2-n2b2=0；

②當點P（m，n）在雙曲線上時，m2a2-n2b2=1；

③當點P（m，n）在雙曲線左右（A、B區）時，m2a2-n2b2>1；

④當點P（m，n）在漸近線上下（C、D區）時，m2a2-n2b2<0；

⑤當點P（m，n）在漸近線和雙曲線之間（E、F區）時，0

接下來，已知雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1，求被點P（m，n）（mn≠0）平分的弦所在的直線方程。假設所求的中點弦存在，重復點差法的步驟：

設弦的端點為A（x1，y1），B（x2，y2），

則有：x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1，兩式相減，得：

（x1+x2）（x1-x2）a2-（y1+y2）（y1-y2）b2=0

因為P（m，n）為AB中點，從而x1+x2=2m，y1+y2=2n，

所以kAB=y1-y2x1-x2=x1+x2y1+y2·b2a2=mb2na2，

聯立直線和雙曲線方程y-n=k（x-m）x2a2-y2b2=1消去y得到：

（b2-a2k2）x2+2ka2（km-n）x-[a2（km-n）2+a2b2]=0

當b2-a2k2≠0時，把k=mb2na2代入得Δ=4a2b6n2m2a2-n2b2m2a2-n2b2-1

按照上述P（m，n）所在區域進行討論（圖3）：

①當點P（m，n）在漸近線上時，m2a2-n2b2=0，得Δ=0，所求直線與雙曲線只有一個交點，故以P（m，n）為中點的弦不存在；

②當點P（m，n）在雙曲線上時，m2a2-n2b2=1，得Δ=0，所求直線與雙曲線只有一個交點，故以P（m，n）為中點的弦不存在；

③當點P（m，n）在雙曲線左右（A、B區）時，m2a2-n2b2>1，得Δ>0，所求直線與雙曲線有兩個交點，故以P（m，n）為中點的弦存在；

④當點P（m，n）在漸近線上下（C、D區）時，m2a2-n2b2<0，得Δ>0，所求直線與雙曲線有兩個交點，故以P（m，n）為中點的弦存在；

⑤當點P（m，n）在漸近線和雙曲線之間（E、F區）時，0

三、 規律總結

（圖3）當點P（m，n）在漸近線或雙曲線上，或在E、F區域，中點弦不存在；

當點P（m，n）在A、B、C、D區域，中點弦存在。

對于焦點在y軸上的雙曲線，同樣可以得到（圖4）：

圖4

當點P（m，n）在漸近線或雙曲線上，或在E、F區域，中點弦不存在；

當點P（m，n）在A、B、C、D區域，中點弦存在。

參考文獻：

[1]賈周輝.例談雙曲線的中點弦問題的解法[N].數學通報，2016.

作者簡介：

楊昕雯，廣東省惠州市，廣東省惠州市仲愷中學。