一道解析幾何問題的解法及啟示

江蘇省常州市北郊高級中學 (213031) 耿曉華

解析幾何是一門用代數的方法去研究幾何問題的數學分支，因此對運算的要求比較高．學生對這部分內容的學習普遍感到難度較大，原因大致有：對運算策略不夠清晰，對算法設計不夠明確，對復雜計算畏難畏繁情緒重，運算的意志力不堅定等等．而教師對解析幾何的教學難度也是較大的，尤其是解析幾何的習題教學．本文以一道解析幾何題為例，給出了2種運算策略，4種算法設計(具體體現在4種不同的解法，而思路全部由學生提供)，并結合這道題的教學實踐給出了幾點啟示，以期與同行分享．

圖1

(1)求橢圓的離心率；

(2)已知a=2，四邊形ABCD內接于橢圓，AB∥DC，記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．

策略1 視k1,k2為已知，用k1表示點D坐標，用k2表示點C坐標，計算出直線CD的斜率，由AB∥DC，得到AB，DC的斜率相等，從而得到關于k1,k2的方程，化簡求k1k2．

策略2 視k1,k2為未知，用合適的參數表示k1，k2，再計算k1k2．這里合適的參數，可以是直線CD的縱截距m，也可以是點C的坐標(x0,y0)等．

從這道習題的教學實踐，筆者得到幾點啟示．

啟示1 解析幾何的定值問題的求解要重視運算策略與算法的設計．在這里，可以認為運算策略是比算法更上位的概念，用來表明運算的大致方向．例如，本例中的策略大致有兩種，其一視k1,k2為已知量，通過建立等量關系化簡求k1·k2，其二視k1,k2為未知量，用合適的參數表示k1,k2，再求k1·k2．相對與運算策略，算法則更為具體，而且步驟明確．算法的效率也有高低之分，高效的算法步驟少，每一步運算容易，而低效的算法步驟相對長，有一些步驟的運算比較復雜(比如需要直線與橢圓方程多次聯立等)．例如，本題的策略1對應的算法在解法1中得以體現，本題的策略2中參數的選擇有多樣性，算法也是多樣的，具體體現在解法2-4上．解法1中需要兩次聯立分別求點C，D的坐標，然后根據斜率相等得到等式并因式分解，再證明其中的一個因式不為0(這個證明也是不容易想到)，從而得到結論，這種算法雖然想法自然，但是運算效率不高．解法2-4中都用適當的參數表示k1·k2，其中解法2的參數選擇了直線CD的縱截距m，解法3中的參數選擇了點C坐標(x0,y0)，盡管有兩個參數x0，y0，但是它們滿足橢圓方程，是具有關系的兩個參數；解法4中的參數選擇了點C，D的四個坐標分量，但這四個參數滿足三個方程，于是可以通過方程的變形進行整體消參．解法2和解法3都需要聯立直線方程和橢圓方程一次，比解法1的運算效率要高，而解法4不需要方程的聯立，對方程的變形要求很高，但運算的效率也非常高．教師如果在解析幾何的習題教學中常常引導學生思考運算策略和算法，學生逐漸形成良好的思維習慣，運算的算法設計好之后經過簡單地比較，選擇運算效率高的算法，這樣會避免運算的盲目性，提高正確率．

啟示2 注重對解析幾何中定值問題結論的反思，從結論是否能夠推廣和變形的角度引導學生思考，思考能否可以得到有趣的一些結論．這樣的引導有利于培養學生的反思能力，以期解一道題，明一組題．

從原來的問題可以衍生出這樣兩個有趣的一般結論，而在解析幾何的問題中常常會出現這樣的情形．教師適當地引導學生探究，會逐步培養學生不斷探索問題的意識，逐步養成依照觀察、猜測、證明的流程發現新的結論的能力，這對學生的數學素養的提高大有裨益！

啟示3 注重對解析幾何中定值問題的結論的反思，引導學生能否分析其背景，這樣會讓學生加深對問題本質的理解，同時能夠從更高的視角去認識問題．

例如，上述題目可以認為是下列背景問題，經過伸縮變換得到的：

圖2

背景問題如圖2，設圓x2+y2=a2(a>0)與x軸的正半軸的交點為A，與y軸的正半軸的交點為B，四邊形ABCD內接于圓，AB∥DC，記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，則k1k2=1．

這個結論很容易得到，明顯直線AD，BC關于直線y=x對稱，因此它們的傾斜角互余，所以k1k2=1．同樣直線AC，BD的傾斜角也互余，則AC，BD的斜率乘積也為1．

高中階段只介紹了伸縮變換的概念，對于它的性質及運用并沒有深入研究，因此用伸縮變換的性質來解決問題或許超過了高中學生的知識范疇．事實上，由于橢圓與圓之間的聯系，很多橢圓的試題就是改編自圓的一些結論，教師如果能適時地揭示它們的關系，還原問題本來面目，弄清它的本質，可以讓學生站在更高的視角去看問題．