導數(shù)應用中的常見錯誤

郭倩

摘 要：導數(shù)是我們高中數(shù)學學習中非常重要的知識點，通過對導數(shù)的學習，不僅能夠強化我們的函數(shù)學習，而且能夠讓我們對于數(shù)學知識更加融會貫通，能夠讓我們的數(shù)學邏輯能力得以夯實提升。但是，我們在導數(shù)學習過程中也常會出現(xiàn)錯誤，避免這些錯誤出現(xiàn)，并探索更好的解題策略，才能夠讓我們的學習質(zhì)量得以提升。基于此，本文就導數(shù)應用中的常見錯誤進行分析，希望可以為大家的導數(shù)學習提供借鑒。

關鍵詞：導數(shù)應用 常見錯誤 分析研究

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）01-0-01

前言

導數(shù)的學習是我們進行數(shù)學綜合知識分析的重要路徑，是我們進行函數(shù)學習的重要條件，只有強化導數(shù)的掌握和應用，才能夠讓我們的數(shù)學綜合學習能力得以提升。導數(shù)因為其特質(zhì)，我們在做題過程中極易出現(xiàn)錯誤，做好常見錯誤分析，是學好導數(shù)的重要策略。

一、導數(shù)學習重要性

導數(shù)是微積分中的一個基礎概念，也是函數(shù)學習的重要內(nèi)容。一個函數(shù)在某一點的導數(shù)描述了這個函數(shù)在這一點附近的變化率，如果函數(shù)的自變量和取值都是實數(shù)，函數(shù)在某一點的導數(shù)就是這個函數(shù)所代表的曲線在這一切點上的切線斜率，不是所有的函數(shù)都有導數(shù)，一個函數(shù)也不一定在所有的點上都有導數(shù)，如果一個函數(shù)在某一點上存在導數(shù)，那么就稱其為函數(shù)可導，如果不存在則為不可導函數(shù)，但是可導的函數(shù)一定是連續(xù)的，不連續(xù)的函數(shù)一定是不可導的。簡單點說，導數(shù)就是函數(shù)的斜率。導數(shù)是高等數(shù)學課程中非常重要的知識，我們可以通過導數(shù)的幾何意義去求函數(shù)的切線方程，然后我們再通過導數(shù)的計算求出函數(shù)的極限。除此之外，還可以通過導數(shù)的結果來判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以導數(shù)知識點的學習在數(shù)學課程中是非常重要的。

二、例題分析導數(shù)應用中的常見錯誤

導數(shù)作為一種函數(shù)的求導工具，在解決實際數(shù)學的問題上非常方便，尤其是當利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和切線的方程式時。雖然導數(shù)很實用，但是我們在現(xiàn)實學習過程中，發(fā)現(xiàn)導數(shù)的應用還存在著許多常見的錯誤，那么接下來我們就通過以下實例分析學習中的常見錯誤。

1.對函數(shù)的定義理解不清導致錯誤

例題1：已知函數(shù)，則

通常情況下，當我們遇到這種問題的時候，我們常會采用的計算方式就是通過得出原式=或者，其實這樣想是錯誤的，這道題的關鍵就是要認清導數(shù)定義中的△x和△y的變化多樣性，正確的解答方式應該是：

這個式子中，函數(shù)在x0處的導數(shù)，也就是在這一點上函數(shù)值的增量和自變量的增量的比值在自變量的增量接近0的時候的極限值，分子分母中的自變量的增量△x一定要保持相應的一致，所以它一定要是非0的變量。在導數(shù)的函數(shù)中，我們一定要特別注意△x和△y對應性變化，必須保持他們變化一致多樣性，但是無論在哪種函數(shù)變化過程中，我們都要突現(xiàn)出他們之間的一致性。

2.對連續(xù)和可導的定義理解不清導致錯誤

例題2：函數(shù)在處，可導式函數(shù)是處連續(xù)的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

在這道題中，我們經(jīng)常會覺得連續(xù)和可導是同一個概念，大部分學生就會選擇C選項，還有一種錯誤的想法就是對充分條件和必要條件兩個概念混淆不清，導致也有一部分學生會選擇B選項，若想避開這道選題的錯誤，首先要理清充分條件和必要條件的概念，函數(shù)在處雖然連續(xù)但不一定可導。

3.對為極值的充要條件理解不清楚而導致錯誤

例題3：函數(shù)在處有極值10，求a、b的值。

在這道例題中，根據(jù)題意我們會覺得x=1處的時候有極值，=0并且=10，求解可以得出a=4，b=-11或者a=-3，b=3，這種解法就是錯誤的將為極值的必要條件當成了充要條件，為極值的充要條件就是=0并且在附近兩處的符號相反。所以在這道題目中，我們一定要加上這句話，將得出的結果帶入原式中，當a=4，b=-11時恰好符號相反，符合該題的條件，將a=-3，b=3帶入到原式中的符號相同，所以應當舍棄該答案，最終的結果只有a=4，b=-11。

4.對函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考慮不全而導致錯誤

例題4：求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。

在這道選題中，我們多會根據(jù)題意得出，所以x?-2x+1>0，求得x≠1，又因為函數(shù)的定義域是（0，+∞），所以需要求的是單調(diào)遞增區(qū)間就是（0，1）和（1，+∞）。這樣解決的錯誤之處就是忽略了x=1處的函數(shù)是否連續(xù)，在這里顯然是連續(xù)的，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間應該是（0，+∞），以后遇到這類問題，應該就大于0和小于0之間的斷開點的連續(xù)性多做研究，確定之后再下結論。

5.沒有考慮到函數(shù)在某一點不可導而導致的錯誤

例題5：求在[-1，3]上的最大值和最小值。

在這道題目中我們經(jīng)常會忽略掉函數(shù)在某一點不可導的知識點，其實函數(shù)的最值不是只在導數(shù)為0的點求得，而在不可導點或區(qū)間的端點處也可以獲得，所以一定要在求得的結果后邊加上一句話，那就是在定義域內(nèi)不可導的點為x1=0，x2=2。

結語

通過以上例題的分析可以發(fā)現(xiàn)，我們在進行導數(shù)應用過程中常發(fā)生的一些錯誤，一部分是因為審題不明，一部分是因為思慮不周，還有一部分是因為我們對于導數(shù)的理解不夠深刻。這就要求我們在學習中要不斷強化導數(shù)的學習和應用，通過習題的練習，多渠道的強化，達到更好的學習效果，為我們的數(shù)學學習以及綜合能力的提升和發(fā)展奠定基礎。

參考文獻

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