變教為學，讓復習再“生長”
——以《“平面圖形的周長與面積”整理和復習》教學為例

■湖北省武漢市華中科技大學附屬小學 馮 勝

一、變“再現”為“發現”

在整理和復習時，有些教師習慣性把復習簡單理解為知識的再現和梳理，復習結果是呈現給學生一張知識結構圖，而學生對于知識之間為什么會有聯系，有怎樣的聯系卻知之甚少，究其原因是教師把復習的功能僅僅停留在數學知識的“再現”層次。復習的功能不能停留于此，而應該將知識的“再現”過程轉變了學生對知識產生的“發現”過程，進而實現溝通、深化知識，完善認知結構，提升數學能力的目的。

【片段一】溝通周長計算方法

1.提出問題：同學們可以根據這些圖形周長計算方法的區別，把它們進行分類嗎？我們可以分幾類？

2.匯報與交流：

學生1：分兩類，第一類是長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形。第二類是圓。

學生2：分三類，第一類是長方形、正方形、平行四邊形。第二類是梯形、三角形。第三類是圓。

3.追問：無論哪種分類方法，都把圓的周長計算方法作為特殊的一種。為什么這樣呢？

學生：圓的周長是一條曲線，化曲為直的方法把圓的周長轉化成為一條線段，從而發現周長與直徑的比值是圓周率π。

4.小結：無論是怎樣的封閉圖形，圍成封閉圖形一周的長度就是圖形的周長。

第一次溝通引導學生在比較思考中深入思考周長計算方法的異同，發現圖形形狀不同，計算方法不同，但所求的都是圍成圖形一周長度的本質是相同的。

【片段二】探索面積公式推導之間的關系

1.布置任務，明確要求。

活動要求：

①說一說：每個圖形面積計算公式是怎樣推導出來的？

②試一試：把這些圖形按一定的先后順序重新擺一擺，用“→”表示它們推導過程之間的聯系。

③想一想：為什么可以這樣表示它們之間的聯系？

2.小組活動，教師指導。

3.展示交流，師生互動。

問題1：它們面積公式是怎樣推導出來的吧？

問題2：為什么箭頭最開始從長方形引出來的？

學生：長方形的面積公式是第一個學習的。

追問：你還記得長方形的面積公式是怎樣推導出來的嗎？

交流：面積的大小就是看所含面積單位的多少。一開始人們就是用這樣一個個的面積單位去測量。在研究中，發現長方形所含面積單位的多少就是它長與寬的乘積。后來，就直接用長×寬來計算它的面積了。

∑i=N3|A(2*i-1)|≥2，N3={1,2,3,4,5,6,7,8}，該條件意味著若中心像素P為端點，則進行保留。

問題3：其他圖形面積公式之間的聯系。

問題4：對比平行四邊形與三角形、梯形面積公式，為什么后面兩個圖形要除以2呢？

交流：兩個完全一樣的圖形拼組成一個新圖形，形狀改變了，面積也改變了；而平行四邊形轉化時，雖然形狀改變了，面積卻沒有變化。

4.形成網絡，深化認識。（圖示略）

教師：那個圖形的面積公式與其他圖形有怎樣的關系？

學生：長方形的面積公式是最基礎的，其他的公式是根據它推導出來的。

教師：其實，這些圖形面積計算公式推導中用了一種十分重要的數學思想方法，你們還記得嗎？

第二次溝通就是圖形的面積計算公式的推導和聯系，也是本節課的重點和難點。教學中我創設了一個“把圖形重新擺一擺，用‘→’表示它們推導過程之間的聯系”的核心任務情境，將回憶公式的推導過程整合其中，引導學生發現公式之間的聯系，找到長方形的面積計算方法是探索其他圖形的起點。學生在計算三角形和梯形時容易漏掉“除以2”，在復習時教師通過抓住這兩種圖形面積公式推導中的共同點，再通過與平行四邊形的比較，使學生明確“除以2”的含義。

二、變“糾錯”為“用錯”

以往復習教學時，我們常常把學過的知識進行練習和講評，結果學生不愿意聽。我想其原因可能是我們僅站在教師角度考慮學生的需要，自然不能引起學生的學習動機。在教學設計前，我設計一份前測題了解學生對于圖形周長和面積的掌握情況，發現基本圖形的正確率是90.5%，而組合圖形和解決問題的正確率分別為68.1%和70%。于是“組合圖形”和“解決問題”的典型錯誤就成為復習的關注點。在設計本課的練習時，我聯想到學生解答六年級上冊第66 頁第9 題的典型錯誤（見圖1）。如何有效利用這個錯誤呢？

圖1

在本課的教材中，有這樣一道習題（見圖2），第三個圖形的基本結構也有學生出現過類似的錯例。

圖2

為此，以學生解答六年級上冊第66 頁第9 題的錯誤為起點，這樣進行教學：

【片段三】錯例再現

1.出示錯例（見圖1）。

2.引導思考：這位同學的解答正確嗎？有什么地方需要提醒大家注意的？

3.對比思考：圖3圖形的周長和面積分別是多少？

4.質疑：①算周長時，為什么又不算這條50厘米的線段呢？②它的面積是怎樣計算的？

學生1：因為這個50厘米的線段不是它的周長。

學生2：用圓的面積除以2，算出半圓的面積，再計算正方形的面積。

圖3

【片段四】變式提升

1.出示題目：算一算，這兩個圖形的周長分別是多少？想一想：你會有什么新發現？

2.啟發思考：觀察這三個圖形的周長和面積，你們有什么發現？

學生：雖然它們的形狀發生了變化，面積也變小了，周長卻沒有變化。

3.追問：為什么這三個圖形周長相等呢？

學生：把它們最下面的一條線段平移上去后，周長都是求半圓的周長和兩條50厘米線段之和。

4.小結：不僅在計算面積時，可以用轉化思想；在計算周長時，也可以用轉化思想。“轉化”的數學思想和方法還可以解決其他許多問題。

三、結語

這樣“再復習”的過程主動將學生的作業錯誤與教材練習進行有機結合處理，不僅引導學生在變化中進一步認識圖形形狀發生變化，周長不變的本質，而且讓學生感受到“轉化”思想的廣泛運用。