小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題案例剖析

■福建省泉州市豐澤區(qū)第五中心小學(xué) 蔡海蘭

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。如何運用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在“畫”中學(xué)，在學(xué)中悟，感悟數(shù)學(xué)思想方法的價值，體會數(shù)學(xué)的美、增強學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)意識，形成良好的思維素質(zhì)，這是一個值得我們探討的問題。

一、體驗圖形在解決問題中的價值

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。”從而可見數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是多么重要。

案例：北師大版六年級上冊第二單元《分?jǐn)?shù)混合運算》中“分?jǐn)?shù)混合運算（一）”的學(xué)習(xí)。在出示例1，明確已知條件和要求后：

1.提問：航模小組有多少人？你是如何思考的。

2.學(xué)生獨立完成，解決問題。

3.教師重復(fù)問題后，要求學(xué)生：（1）獨立思考，找出單位“1”，畫線段圖分析數(shù)量關(guān)系。（2）列出解決問題的算式。（3）與同桌說說自己的解題思路并列式計算。

4.在教師的引導(dǎo)下，借助線段圖清楚地表示題目意思及題目中各部分之間的關(guān)系。

剖析：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題向來是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大難點。如何運用畫線段圖，提取有價值數(shù)學(xué)信息、使數(shù)量關(guān)系明朗化，變得尤其重要。在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的課程目標(biāo)中，把解決問題作為重要的課程目標(biāo)，并指出：要使學(xué)生面對實際問題時，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略。畫圖策略是眾多解題策略中最基本的、也是一個很重要的策略。在這個知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)，通過師生共同合作學(xué)習(xí)，將題目中的三個興趣小組以下面的這個簡要線段圖表示出來：

這樣一來，學(xué)生便能清楚地理解題目中各個量之間的關(guān)系，也能容易理解這兩種列式的意思。學(xué)生通過畫線段圖這一過程，實踐了讀題——明確問題——尋找條件——再把文字轉(zhuǎn)化成圖畫，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，最后將圖畫轉(zhuǎn)成思維，這一系列腦力活動完整地搭建了這個從“外化”到“內(nèi)化”過程，進(jìn)一步驗證了畫圖在解決問題中的價值。而這個思維變化的過程會伴隨著一些數(shù)學(xué)思想的滲透，鍛煉并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

二、運用畫圖法優(yōu)化解決問題的策略

學(xué)生學(xué)會畫圖，體會畫圖的作用能促使學(xué)生主動應(yīng)用畫圖方式來解決問題。

案例：在三年級上冊第七單元《一天的時間》中，教學(xué)重點是讓學(xué)生認(rèn)識24時計時法，并對24時計時法和普通計時法進(jìn)行換算。

在教學(xué)時，如果教師單純借助時鐘進(jìn)行教學(xué)，雖能直觀地讓學(xué)生感受“一天時間”的變化，但在難點上難以突破。如果再輔以“一天有24小時”“為什么是24 小時”“如何記錄24 小時”等作為教學(xué)的主線，借助學(xué)生的經(jīng)驗載體“鐘表”，將“一天的時間”半抽象出“時間尺”，借助畫圖幫助學(xué)生建立24時計時法的概念。

剖析：在這部分教學(xué)中，顯然將“時間尺”這一線段圖引入教學(xué)能夠更準(zhǔn)確地把握知識內(nèi)涵，突破難點。在這一過程中，學(xué)生體會借助圖還可以解決原本抽象的知識，從而在解決問題策略方面為學(xué)生的思考方向開拓出另一個方向。

三、巧用數(shù)形結(jié)合感受解題策略的多樣

在教學(xué)中，運用畫圖的方式體會數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢。并不是只有線段圖這一方式，它是靈活多樣的，除了線段圖外，還有平面圖、立體圖、集合圖、統(tǒng)計圖，還包括學(xué)生運用自己的方式給出圖形表征。在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的需要畫出不同的圖來幫助自己分析、理解數(shù)量關(guān)系，解決實際問題。

案例：北師大版五年級的《雞兔同籠問題》。雞兔同籠，有8個頭，26條腿，那么雞、兔各多少只？如果單從題目的字里行間去理解題意對很多學(xué)生來說是一件十分頭疼的事。

剖析：不論教師引導(dǎo)學(xué)生用假設(shè)、方程等各種方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，相信還是有很多學(xué)生對此感到一知半解。但如果引入“數(shù)形結(jié)合”思想，將本題轉(zhuǎn)化為圖形來解決，相信很多學(xué)生都能輕松理解。不論是用畫“頭”裝“腳”，還是畫“腳”湊“頭”等，學(xué)生可以根據(jù)自己的需要畫出不同的圖幫助自己分析、理解數(shù)量關(guān)系，解決實際問題。

四、結(jié)語

因此教師應(yīng)鼓勵學(xué)生運用多種圖的形式來分析和解決問題。著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維（畫圖策略），使學(xué)生能夠進(jìn)行知識及數(shù)學(xué)思維的遷移，將“畫圖”策略貫穿于整個小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)中。