一道解析幾何題的變式教學及反思

江蘇省蘇州實驗中學 (215000) 張文海

題目是研究數學思想方法的載體，在數學教學中對它們不能簡單地就題論題，而應進行適當的變化、引申、挖掘與推廣，提出有價值的新問題，這樣做不僅使知識能夠觸類旁通，起到真正舉一反三的學習效果，而且可以開闊學生的思想，培養學生的探究能力和創新能力．在教學過程中，筆者發現一道有意思的解析幾何題，以此為背景，通過適當的變化，可以得到一些有趣的問題．

1.原題

圖1

如圖1，已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過點K(-1,0)的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D.證明：點F在直線BD上.

注：本題的條件有三個：①拋物線的方程C:y2=4x；②過點K(-1,0)的直線l與C相交于A、B兩點；③點A關于x軸的對稱點為D.要求證的結論是：點F在直線BD上.

2.問題的變式

(1)互換題目的條件③和結論

變式1 已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過點K(-1,0)的直線l與C相交于A、B兩點，點B與F連線交拋物線于D點，證明：AD⊥x軸.

(2)互換題目的條件②和結論

變式2 已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過點F的直線l與C相交于B、D兩點，過D作x軸的垂線交拋物線于A點，則直線AB的連線經過定點K(-1,0).

3.問題的推廣

變式6 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過點K(-a,0)(a>0)的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D，證明：點Q(a,0)在直線BD上.

4.問題的遷移

圖2

證明仿變式7，此略.

5.對高三數學復習的一點啟示

(1)注重變式教學，觸類旁通，讓思維品質得到“優化提升”

數學教學離不開解題，高三復習更是如此，但解題不是最終目的，通過解題深化學生對知識的理解，提升學生的思維水平，從而積累解題經驗、發展能力，才是解題的目的．變式教學是對學生進行數學技能和思維訓練的重要手段，通過對數學問題進行多角度的探究，引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中發現“變”的規律．在高三解題教學中，教師應針對典型例題通過交換條件和結論、弱化條件，置換問題的背景等形式進行適當地拓展廷伸，通過變式教學引導學生利用數學抽象的方法洞察問題的本質，揭示問題的規律，注重挖掘問題的內涵，讓學生掌握知識間的聯系，培養學生的發散思維，增強學生面對新問題敢于聯想已有的知識經驗分析予以解決的意識．變式教學不僅能增強學生的創新能力和應變能力，而且還能使學生的思維品質得到優化．

(2)強化運算能力，克服浮躁，讓考試心態做到“繁而不煩”

新的數學課程標準提倡培養學生六個方面的數學核心素養，數學運算和數據分析就是其中之二，而解析幾何是考查這兩個素養最好的載體．解決解析幾何問題主要是在“算”上下功夫．所謂“算”，主要是指算理和算法，算法是解決問題采用的計算方法，而算理是采用這種算法的依據和原因．高考對計算能力的考查是多角度﹑多層次的，尤其注重的是對算理的考查，正因為如此，計算能力的培養，不是通過“繁﹑難”的運算，而是增加思維的深度，拓寬解題思路，很多題目需要根據不同的情況靈活處理，也就是在準確﹑熟練的基礎上，重點培養思維能力，逐步學會設計合理﹑簡捷的運算途徑．要通過對解析幾何的復習，讓學生體驗感悟數學知識之間的本質聯系；拓展研究創新視野；培養綜合分析問題及應用數學知識解決問題的能力，使解析幾何的復習更有針對性，從而提高復習的效率．這樣才能在高考中立于不敗之地．

(3)重視通性通法，淡化技巧，讓復習過程回歸“自然本真”

“通性通法”是解決某類問題的基本方法，具有普適性，有利于學生掌握相關知識的本質，從而形成基礎的知識網絡，構建共同基礎，面向全體學生是數學新課程的基本理念，教學中我們要盡量挖掘解決問題的最本質、最基本的方法，即要提倡和重視“通性通法”．近幾年的高考數學卷突出了對基礎知識、基本技能、基本方法和基本思想方法的考查，這是對“展現知識的發生、發展和應用過程”這一要求的考查，高考題不會過分地追求特殊方法與技巧．因此，在高三的數學教學中，重點是通性通法的強化．在此基礎上適當增加一些思想方法的應用訓練，如整體代入思想、設而不求思想、正難則反(補集)思想、函數與方程思想、參數思想等思想方法的運用，可以提高運算的速度，但思想方法不是技巧，萬萬不可走入技巧的胡同和泥沼．

總之，培養學生的探究能力和創新能力是新課改的重要目標，而變式教學是進行探究能力訓練的一種重要途徑．在數學課堂中，我們應抓住恰當的時機，給學生提供自主探究的的素材，有意識地引導學生嘗試進行數學問題的變式探究，有利于促進學生自覺進行知識體系整理與提煉，對促進解題教學大有裨益．