基于對偶猶豫模糊語言的多屬性決策方法

汪永玲，馮向前，張華榮

（南京師范大學a.計算機科學與技術學院；b.科技處，南京 210023）

0 引言

多屬性決策作為現代決策科學的重要組成部分，對不同方案根據多個有影響的屬性做出評價，以選擇理想的備選方案。同時由于決策環境的不確定性日益突出以及決策者關于決策問題領域的知識或數據的缺乏，因此決策者在評價過程中很難用明確的數字或確定的語言術語來表達決策偏好，從而產生了相應的模糊語言多屬性決策。模糊語言多屬性決策作為決策科學領域的研究熱點之一，該方面的研究近年來也取得了豐碩的成果。Zadeh[1]于1965年提出模糊集理論，將現代社會中各領域的研究范疇從精確化擴展到模糊化，用隸屬度來刻畫模糊集中元素的模糊性。為了更加詳細的描述模糊信息，Atanassov[2]于1986年提出了直覺模糊集的概念，他在模糊集中同時考慮到隸屬度、非隸屬及不確定信息，從而更加細膩的描述了客觀世界的模糊性。Zhu和Xu[3]等于2012年提出對偶猶豫模糊集，它的隸屬度和非隸屬度均由[0,1]之間多個可能的數值組成，因此對偶猶豫模糊集表現出更強的模糊信息處理能力。這種新的處理模糊性的工具的提出很快引起了學者的廣泛關注并得到了迅速發展。Su和Xu等[4]對對偶猶豫模糊集的距離測度和相似度度量進行了研究并將其運用于模式識別。Pushpinder[5]也對其距離測度和相似度度量進行了研究并將其運用于多屬性決策中。Ren和Xu等[6]開發了基于對偶猶豫模糊元的得分函數、比較方法和距離度量，基于此擴展了VIKOR方法以解決多屬性群決策問題。

在多屬性決策過程中，由于決策環境的復雜性，因此決策者更喜歡用模糊語言信息來表述對決策對象的評價，諸如“好”、“一般”“差”等。但是單純的語言表述也不能很好的刻畫客觀評價的模糊性，因此，王堅強等[7]提出直覺語言集的定義、運算法則、期望值、得分函數，精確函數以及直覺語言加權平均算子和集合平均算子。Yang和Ju[8]在基于語言信息和對偶猶豫模糊集的基礎上于2014年提出了對偶猶豫模糊語言，給出相應的運算法則，得分函數以及集結算子。本文提出了對偶猶豫模糊語言的距離公式和新的得分函數及方差函數，并考慮在決策過程中屬性權重未知的情況下，運用熵權和方差權的組合權重法并結合經典的TOPSIS決策法給出一種對偶猶豫模糊語言的多屬性決策排序方法。

1 基礎知識

定義1[9]:設表示為一個有限離散語言的集合，且對任意的si，sj∈S滿足下列條件：

（1）若i＞j，則si＞sj；

（2）存在負算子：neg(si)=sj，使得i+j=o；

（3）若si≤sj，則 min(si，sj)=si；

（4）若si≥sj，則 max(si，sj)=si。

定義 2[11]：設為一個特定的集合，則直覺語言集可以描述為如下的形式：

其中，sθ(xi)∈S(S為語言術語集)；μ(xi)表示xi隸屬于sθ(xi)的程度，ν(xi)表示xi非隸屬于sθ(xi)的程度，是由區間上的數構成，且-ν(xi)表示xi屬于sθ(xi)的猶豫程度。為了方便，稱三元組為一個直覺語言數。例如

定義 3[11]：設和為任意的兩個直覺語言數，則I1和I2之間的距離可以表示為以下形式：

最常用的直覺語言的得分函數是由Liu和Wang[11]提出的但是該得分函數存在一定的局限性。如：當τ=6時，的大小比較過程中，因此I1＜I2。但是這顯然與人類的直覺不同，I1中的不贊同率只比贊成率小0.05，I2中的贊同率只比不贊成率多0.05，而其語言術語s6是遠遠大于s1的，因此，就直覺來說，應該是I1＞I2。針對這樣的局限性，本文提出新穎的直覺語言得分函數。因直覺語言數與的得分函數一方面受已知信息即語言術語值θ及隸屬度μ和非隸屬度ν的影響，這一方面可用該對象到擁有相同語言術語值θ的負理想點的海明距離來衡量；另一方面還會受到該對象的缺失信息即猶豫度的影響，這一方面可用該對象的確定程度即μ+ν來表示。最終可得直覺語言數的得分函數為：

針對上述例子：當τ=6時，與的大小比較問題，按定義3可得?(I1)=0.451，?(I2)=0.158。所以I1＞I2，這是符合人類的主觀直覺的。由此可見，新的得分函數更能幫助解決直覺語言的大小比較問題。

2 對偶猶豫模糊語言

2.1 對偶猶豫模糊語言數的基本概念

定義5[8]:設X={x1，x2，...，xn} 為一個特定的集合，則對偶猶豫模糊語言集可以描述為如下的形式：

其中，sθ(xi)∈S(S為語言術語集)；h(xi)和g(xi)分別表示xi隸屬于和非隸屬于sθ(xi)的程度，是由[0 ，1] 區間上的不同的數構成的非空有限集，且滿足：0≤γ，η≤1且0≤γ++η+≤1 ，其中γ∈h(xi)，η∈g(xi)，γ+=max{γ|γ∈h對偶猶豫模糊語言集中的每個元素稱為對偶猶豫模糊語言數，本文研究主要針對對偶猶豫模糊語言數展開。同時，為方便計算，稱三元組為一個雙重猶豫模糊語言數。

定義6[8]:設為兩個任意的對偶猶豫模糊語言數，則有：

（1）和運算：

（2）積運算：

（3）數乘運算：

（4）冪乘運算：

（1）0≤D(d1，d2)≤1；

（2）當d1=d2時，D(d1，d2)=0 ；

（3）D(d1，d2)=D(d2，d1)。

證明如下：

（1）0≤D(d1，d2)≤1

綜上可得，對任意的d1和d2均有：0≤D(d1，d2)≤1。

（2）當d1=d2時，D(d1，d2)=0

d1=d2意味著d1和d2的語言術語下標，各隸屬度值和非隸屬度值均相等即：

因此，對任意的d1和d2均有：當d1=d2時，D(d1，d2)=0。

（3）D(d1，d2)=D(d2，d1)

因此，對任意的d1和d2均有：D(d1，d2)=D(d2，d1)。

2.2 對偶猶豫模糊語言數的比較方法

在決策過程中，語言術語之間的比較規則一直是研究重點。而在探討對偶猶豫模糊語言數的比較規則時，得分函數和精確函數是重要的方式之一。Yang和Ju[8]提出對偶猶豫模糊語言的相關概念，同時也定義了相應的得分函數和精確函數：

定義 8[8]：設為任意的對偶猶豫模糊語言數，則其得分函數和精確函數可以表示為：

然而，通過觀察可知，該得分函數和精確函數直接對對偶猶豫模糊語言數的隸屬度和非隸屬度求取平均值，沒有考慮到隸屬度和非隸屬度的猶豫度和模糊性。因此，這種比較方法是具有一定的局限性的。

Zhu和Xu等[3]于2012年提出對偶猶豫模糊集，同時也提出基于對偶猶豫模糊集的擴展規則,運用此規則，在實質上是將對偶猶豫模糊集拆分成多個離散的直覺模糊數來進行運算的。因此基于此思路，本文提出對偶猶豫模糊語言擴展規則；將對偶猶豫模糊語言數拆分成多個離散的直覺語言，同時，考慮到對偶猶豫模糊語言數中的隸屬度和非隸屬度中元素的個數越多，其猶豫度和模糊性越強，該語言值越差。綜上，本文定義基于直覺語言的對偶猶豫模糊語言數的得分函數和方差函數如下：

（1）當R(d1)＞R(d2)時，則稱d1優于于d2，記為d1?d2；

（2）當R(d1)=R(d2)時:

若V(d1)＜V(d2)，則稱d1優于d2，記為d1?d2；

若V(d1)=V(d2)，則稱d1等于d2，記為d1～d2。

針對上述的例1，根據定義10和定義11可以得出R(d1)≈0.08，R(d2)≈0.0317。因為R(d1)＞R(d2)，所以d1?d2，這是符合人類的主觀直覺的。由此可見，新的得分函數和方差函數有助于進一步解決對偶猶豫模糊語言的大小比較問題。

3 基于對偶猶豫模糊語言TOPSIS法

3.1 對偶猶豫模糊語言的權重確定方法

第一步：構造基于對偶猶豫模糊語言的決策矩陣。決策者對每個備選方案在每個屬性下運用對偶猶豫模糊語言進行打分，得到決策矩陣

第二步：計算屬性cj(j=1，2，…，n)離差權重權。

第三步：計算屬性cj(j=1，2，…，n)輸出的信息熵及該屬性熵權。信息熵反映了決策矩陣中各屬性的信息量的大小，信息量越大，該屬性越重要。根據基于對偶猶豫模糊語言的決策矩陣的定義可知，對于每個屬性的信息熵可以劃分為兩個部分，一部分是屬性值的得分期望輸出，另一部分是屬性值的不確定性程度即方差輸出的。因此根據信息論可知，屬性cj的熵定義為：

第四步：計算屬性cj(j=1，2，…，n)的組合權重。根據上述分析求解可以得出離差權及熵權，利用加權平均法求得綜合權重向量：

其中η表示決策者對熵權和偏差權重的偏重程度。

3.2 基于對偶猶豫模糊語言的TOPSIS排序法

其中T1和T2分別表示效益型屬性集和成本型屬性集。

第六步：利用綜合權重向量計算得每個方案xi在各個屬性下的評價值dij與正理想點之間的正混合加權偏好距離測度和與負理想點之間的負混合加權偏好距離測度：

第七步：構造每個備選方案xi的貼近度。根據TOPSIS方法的思想，離正理想解的距離越近，離負理想解的距離越遠，方案越優。因此，可構造貼近度計算公式為：

第八步：根據貼近度Ci的大小對方案進行排序。Ci越大，則該方案xi越優。

4 算例分析

第一步：構造基于對偶猶豫模糊語言的決策矩陣。決策者對每個備選方案在每個屬性下運用對偶猶豫模糊語言進行打分，得到決策矩陣，根據上述對各屬性的分析，可以看出，四個屬性均為效益型屬性因此規范化后的決策矩陣依然為：決策者給出的方案評估結果如表1所示。

表1 初始對偶猶豫模糊語言決策信息

第二步：根據公式（8）計算得屬性cj(j=1，2，3，4)離差權重權，結果如下：

第三步：根據公式（9）和公式（10）計算得屬性cj(j=1，2，3，4)輸出的信息熵及該屬性熵權，令β=0.8結果如下：

第四步：根據公式（11）計算得屬性cj(j=1，2，…，n)的組合權重。此處取η=0.6：

w={0 .273，0.301，0.199，0.227}

第五步：基于上述對供應商基本信息，供應商的知識技術能力，供應商的企業文化和戰略融合性，信息溝通能力的分析可以看出四個屬性均為效益型屬性，因此根據定義10和定義11可以確定每個屬性下的正理想解和負理想解分別為：

第六步：根據公式（13）計算得每個方案xi在各個屬性下的評價值aij與正理想點之間的正混合加權偏好距離測度和與負理想點之間的負混合加權偏好距離測度(i=1，2，3，4 )：

第七步：根據公式（14）可得每個備選方案xi的貼近度：

第八步：根據貼近度Ci的大小對方案進行排序。可以得出C3＞C1＞C2＞C4，由此可知，方案的排列順序是x3＞x1＞x2＞x4。

5 結論

對偶猶豫模糊語言數不僅考慮到隸屬度的信息的多種可能，還考慮到非隸屬度信息的多種可能，這使得其在對語言偏好的描述上更精確，能避免決策中信息處理和計算過程中的信息丟失問題，在實際決策評價過程中價值更高，因此對對偶猶豫模糊語言的多屬性決策方法進行研究有重要的理論和應用價值。語言比較是猶豫模糊語言研究的重要內容，也是猶豫模糊語言多屬性決策的核心內容之一。本文提出基于對偶猶豫模糊語言的距離公式和擴展規則，并在此基礎上定義新的得分函數和方差函數，通過實例，發現其在語言比較過程中更加精確。在多屬性決策過程中，結合TOPSIS的思想，在屬性權重未知的情況下，運用偏差權和熵權的組合權重法給出了多屬性決策問題的排序方法。