基于猶豫模糊COPRAS的多屬性群決策評價方法

王 乾，耿秀麗

（上海理工大學 管理學院，上海 200093）

0 引言

多屬性群決策（Multiple Attribute Group Decision Making，MAGDM）是多個決策者根據自己的知識，經驗和偏好通過一定的方式對已有決策信息進行集結并對方案進行排序和擇優。它的決策方法已經廣泛應用于經濟管理[1]、軟件應用[2]、環境保護[3]等領域，因此對多屬性群決策問題的研究有著重要的現實意義和理論價值。

由于決策者對客觀事物認識的局限性，以及客觀事物本身的復雜性和不確定性，導致決策者在決策時常常不能給出精確的決策信息。針對現實中不確定性條件下的多屬性決策問題，常用區間數、三角模糊數，直覺模糊數和云模型等方法來處理評價信息。文獻[4]通過風險偏好因子的引入,將區間數決策信息映射為實數決策信息，提出部分權重信息下考慮風險偏好的不確定多屬性決策方法；文獻[5]首先將三角模糊數決策矩陣轉化為含行為偏好的決策矩陣,通過建立線性規劃模型獲得屬性權重,從而客觀地給出了各方案的排序結果；文獻[6]針對屬性值為直覺模糊值的多決策者、多時間點、多屬性及多方案的多維度決策問題,提出基于新的記分函數等決策方法；文獻[7]通過云模型、前景理論將語言變量評價轉換成云前景決策矩陣,通過計算前景值貼近度來確定決策者權重。但在現有的決策問題中，決策者往往很難用單一的語言術語集去評價一個方案，這些方法難以解決專家在多個評價信息間猶豫不定的問題。

多屬性群決策需要解決的另一個問題是如何對處理的評價信息進行融合和排序處理。復雜比例評價（Complex Proportional Assessment，COPRAS）通常被應用在具有多準則并且己知它們的相對重要性的決策方案的排序與選擇上。本文將猶豫模糊術語集與COPRAS進行結合，提出基于猶豫模糊COPRAS的多屬性群決策評價方法。采用猶豫模糊術語集表達專家的評價信息；利用min-upper和max-lower算子集結專家的評價信息，將多粒度的猶豫模糊術語集轉化為語義區間數；采用二元語義詞計算方法將語義區間數轉化為相應的數值區間數；基于COPRAS排序方法的思想，以整體方案的滿意度最大化為目標函數建立線性規劃模型，客觀有效的解決了屬性權重問題；利用COPRAS的方法計算方案的效用度，為不確定性語言下的方案選擇提供了科學的依據。

1 基于猶豫模糊評價信息的處理

定義1：一個猶豫模糊語義術語集Hs為一個語義集合S的有序子集，S={si:i=0，1，2，…，g}，例如：S={s0:很差，s1:差，s2:稍差，s3:一般，s4:稍好，s5:好，s6:很好}，? 為一個語義變量，則為兩個不同粒度的猶豫模糊集合。

假設專家 Ek(k=1，2，…，l)對待評價項 ?i(i=1，2，…，n)進行評價得到的猶豫模糊術語集為和分別表示l個專家評價得到的HFLTS的下界、上界的集合，采用min-upper和max-lower算子集結專家的評價信息的步驟如下：

（1）計算HFLTS下界集合的最優語義評價和上界集合的最劣語義評價。

（2）確定集結結果。

二元語義主要采用一個二元語義組（si，αi）來表示決策者的語言評價信息，其中si表示事先定義的語言評價集S中的一個語言評價等級，αi表示決策者的語言評價信息相對于語言評價等級si的偏差，αi∈[-0.5，0.5）。本文采用二元語義詞計算方法對HFLTS進行分析處理。

定義2[8]：設語言評價集S={si:i=0，1，2，…，g}，si∈S為一個語言短語，則其相應的二元語義可通過下述轉換函數φ得到：

定義3[8]：β∈[0，g]為語義術語集S集結運算的結果，令i=round(β)，i∈[0，g]。與β相應的二元語義可由函數Δ得到：

式中:round為“四舍五入”的取整算子。

反之，令（si，αi）為一個二元語義信息，存在一個逆函數Δ-1將該信息轉換為相應的數值β∈[0，g]，即：

根據定義2，采用φ函數將轉化為由二元語義信息表示的區間數即：

根據定義3，采用Δ-1函數將中的二元語義信息化為精確數值，即：

現假設待評價方案有m種，方案構成的集合為A={A1，A2,…,Am}；每個方案的屬性有n個，記為C={C1，C2,…,Cn}。專家 Ek(k=1，2，…，l)根據語義術語集S={si:i=0，1，2，…，g}基于不同的屬性對方案進行評價，評價結果采用猶豫模糊語言表達。假設表示專家Ek對方案Ai基于屬性Cj的評價結果，采用式（1）至式（3）將專家的評價信息轉化為語義區間數，然后采用二元語義計算方法根據式（7）和式（8）將語義區間數轉化為數值區間數。基于轉化為數值區間數的專家評價結果=[rij，tij]建立決策矩陣:

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

2 使用COPRAS方法進行決策

專家的評價信息用區間形式的決策矩陣表達之后，本文采用COPRAS方法計算方案的效用度，根據效用度的大小進行決策，其具體步驟如下：

步驟1：對式（9）決策矩陣X進行標準化處理：

得到標準化后的決策矩陣：

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

步驟2：計算加權標準化的決策矩陣：

其中ωj表示第j個屬性的權重。

得到加權標準化后的決策矩陣?:

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

步驟3：計算評價對象的標準值之和Pi：

由于評價信息是基于猶豫模糊語言的形式表達的，所以本文所有的屬性都被認為是效益型。

步驟4：屬性權重的計算。

以整體方案滿意度最大化為目標函數建立以下線性規劃模型：

其中Λ為專家集體給出的各個屬性權重的約束范圍。解線性規劃模型，得到屬性的權重ω1，ω2，...，ωn。

步驟5：基于步驟4得出屬性權重值，代入式（16）中，得到不含參數的標準值之和P1，P2，...，Pm。

步驟6：找出標準值之和的最大值。

標準值之和越大，方案就越重要，它描繪了專家對方案的滿意程度，標準值之和越高的方案是最合適的候選方案。

步驟7：計算每種方案的效用度Ui。一種方案的效用度被定義為這種方案的標準值之和與方案最大標準值之和之間的比值。

從式（19）可以看出，每種方案的效用度的取值范圍是介于0～100之間，在進行方案選擇的過程中，應根據每種方案的效用度大小進行最佳方案的選擇，即對Ui從大到小進行排序，不妨設U1≥U2≥...≥Um，該順序即為方案的優先選擇順序。

3 案例分析

某大型國企欲選購一批空調來提高員工的生活和工作環境，采用本文所提到的決策方法，該企業要在5種不同品牌的空調供應商中進行采購。五種品牌的空調構成的集合為A={A1,A2,A3,A4,A5}。通過市場調研和專家討論確定了以下8種不同的考核指標（屬性）：制冷能力強（C1）、制熱能力強（C2）、噪音小（C3）、售后服務好（C4）、安裝方便（C5）、風力強勁（C6），污染小（C7）和節約能源（C8）。

3.1 專家評價信息的處理

由6位資深專家E（kk=1，2，…，6）基于不同的屬性對上述5種不同品牌的的空調進行語義評價，評價結果采用猶豫模糊術語集表達。假設語義集合為S={s0:很差，s1:差，s2:稍差，s3:一般，s4:稍好，s5:好，s6:很好}。專家E1給出的評價信息如表1所示。采用公式（1）至公式（3）集結專家評價信息，以第一種品牌的空調（A1）的屬性（C1）為例，給出專家評價信息的集結過程如表2所示。其中，集結后的專家語義評價信息如表3所示。最后采用二元語義計算方法根據式（7）和式（8）將語義區間數轉化為數值區間數如表4所示。

表2 空調（A1）的屬性（C1）的專家評價信息集結過程

3.2 用COPRAS方法進行決策

步驟1：根據公式（10）和公式（11）對表2中的決策矩

表3 專家評價信息的集結結果

表4 區間數表達的專家評價信息處理結果

陣進行標準化處理，標準化后的結果如表5所示。

表5 標準化決策矩陣

步驟2：以整體方案的滿意度最大建立線性規劃模型：

屬性權重構成的集合為ω={ω1，ω2，...，ω8}，Λ 為專家給出的屬性權重約束范圍：

Λ={0.2≤ω1≤0.4，0.3≤ω2≤0.5，0.1≤ω3≤0.2,0.05≤ω4≤0.1,ω5≤0.05,0.1≤ω6≤0.3，0.05≤ω7≤0.1,0.05≤ω8≤0.1}。

用Excel求解上述線性規劃模型，得到8個屬性的權重分為：0.200,0.300,0.150,0.050,0.050，0.100,0.100,0.050。

步驟3：基于步驟2中得出的屬性權重值，代入式（13）和式（14）中，得到加權標準化決策矩陣如表6所示。

表6 加權標準化決策矩陣

步驟4：基于步驟2中得出屬性權重值，代入式（16）中，得到5種空調的標準值之和P分別為0.022,0.014,0.024,0.031,0.034。

步驟5：根據式（18）找出標準值之和的最大值。

步驟6：根據式（19）計算得到每種品牌的空調的效用度分別為0.647,0.412,0.706,0.912,1.000。

由步驟6的結果可知，每種空調的效用度的取值范圍是介于0%～100%之間，在進行不同品牌的空調選擇過程中，應根據每種空調的效用度大小進行最佳方案的選擇，即對 Ui從大到小進行排序，排序結果為 U5〉U4〉U3〉U1〉U2。第5種品牌的空調的效用度最大，則該企業在采購時應優先考慮A5品牌的空調，若該品牌供應商的供應量能夠滿足該企業的需求量，則只需要采購該品牌空調即可；若供應量不足，則不足的部分應在A4品牌的空調供應商處采購，以此類推，直到采購的量滿足該企業需求量為止。

為說明本文方法的有效性，使用TOPSIS方法對方案進行排序。為了使對比效果更加突出，采用同樣的方法對專家的評價信息進行處理，即采用猶豫模糊術語集表達專家的評價信息；利用min-upper和max-lower算子集結專家的評價信息，將多粒度的猶豫模糊術語集轉化為語義區間數；采用二元語義詞計算方法將語義區間數轉化為相應的數值區間數；直接取區間數上限、下限的平均值作為TOPSIS方法決策矩陣的元素如表7所示。其中，參考本文案例步驟2得到各個屬性的權重值分別為0.200,0.300,0.15,0.050,0.050,0.100,0.100,0.050。最后采用TOPSIS方法計算每個方案的貼近度Si分別為0.346,0.005,0.827,0.255,0.980。根據貼近度的大小進行排序的結果為S5〉S3〉S1〉S4〉S2。通過排序結果可知，兩種方法對方案A4的排序位置存在差異，這是因為TOPSIS是一種補償方法，可以在各個標準之間提供明確的權衡，即允許在各種決定因素之間進行折中，一個因素的不良影響可以用其他因素的良好效應來補償。而COPRAS是根據決策屬性的重要度和效用度進行逐步排序、估計，使得排序結果更加貼近實際。

表7 基于TOPSIS方法的決策矩陣

另外，采用直接取上限、下限平均值的方法將區間形式的決策矩陣轉化為數值形式的決策矩陣作為TOPSIS方法的輸入，誤差較大。而COPRAS方法的輸入直接就是區間形式的決策矩陣，更加符合實際決策情境。

4 結束語

本文提出基于猶豫模糊COPRAS的多屬性群決策方法，建立線性規劃模型獲得屬性的權重。具有以下特點：

（1）采用猶豫模糊術語集表達專家評價信息，解決了專家在多個語義術語間猶豫不定的問題，利用min-upper和max-lower算子解決了多個專家不一致的評價信息。

（2）以整體方案的滿意度最大建立線性規劃模型計算屬性權重，客觀有效地解決了屬性權重的確定問題。

（3）采用COPRAS方法計算每種方案的效用度，該方法在評估和排序備選方案的過程中能夠考慮到不同方案的重要性和效度，并且計算過程簡單透明。

通過對國內某大型國企空調的選購問題的研究分析，表明了本文方法的有效性與可行性。但猶豫模糊術語集中各個語義概率相同，與實際中個別情況不符，進一步的研究將采用概率語義術語集對多屬性決策問題進行探討。