關于小學四則運算的幾點思考

廣西師范大學數學與統計學院 伍溪燕

一、四則運算基本定義

人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》四年級下冊給出的四則運算定義如下：

1.把兩個數合成一個數的運算，叫作加法。相加的兩個數叫作加數，加得的數叫作和。

2.已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，叫作減法。在減法中，已知的和叫作被減數，減法是加法的逆運算。

3.求幾個相同加數的和的簡便運算，叫作乘法。相乘的兩個數叫作因數，乘得的數叫作積。

4.已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，叫作除法。在除法中，已知的積叫作被除數，除法是乘法的逆運算。

二、關于四則運算的幾點思考

1．四則運算中為何要先學加法

人類發展史上，由于物物交換的需要，人們把交換雙方的物品一一對應排列好，久而久之，人們便意識到舍棄物品的物理屬性后，物品依然有共同的屬性，即“數”，數的產生與形成是數學史的開端，其對人類文明的發展起到了非常重要的作用。認知的歷史發生原理表明個體知識的發生過程遵循人類知識的發生過程。遷移到數學領域，就是說個體要學習數學，應該以認識與學習“數”為開端。研讀小學教材發現，學生學習數學的確以學習“數”為開端，并且是借助現實生活中的物體，由物抽象出“數”，再現了數學史上“數”的產生。研讀人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》一年級上冊發現，學生認識“數”，是借助直觀的物，由物抽象出數，先認識1～5，接著以生活場景為例介紹“分與合”，先學1～5的分與合，再學1～5的加與減。先學分，再學合，照此推斷應該可以先學減法，再學加法，可事實卻非如此。因為教材中看似先學“分”，實際上先學的依然是“合”。

上文中所說的“數”是我們現在稱之為“自然數”的數，而自然數的產生是加法思想萌芽的前奏。由“物”抽象出“數”，物越多，數越大，物是從無到有，從少到多，只有最少的“無”，而無最多的具體數量。也即有最小的自然數，而無最大的自然數。由“1”加“1”可得到“2”，“1”加“1”再加“1”可得“3”，以此類推可得到任何自然數。但因為自然數的個數有無窮多個，所以找不到最大的自然數，然后減“1”，一個個減而得到剩余的自然數。學生學習數學要先學習“數”，而“數”的認識中已蘊含了加法思想，自然數個數的無窮性決定了“數”的認識中不可能由減法開始，所以四則運算中先學加法，后學減法是必然的。

2．除法的定義中是否有必要體現“平均分”

用乘法的逆運算定義除法，可借助表內乘法口訣方便求解表內除法運算，于計算帶來了很大的便利，卻也同時遮住了除法的本質。在人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》二年級下冊“除法的初步認識”中，以“將6顆糖分成3份，有三種分法，其中，2，2，2為平均分”來引導學生認識除法，即除法的現實基礎是平均分。用乘法的逆運算定義除法，未能直接體現“平均分”這一本質。相比于用“平均分”來定義除法，其加深了除法的抽象程度，并不利于低年級學生理解與學習除法。但若只是用“平均分”來定義除法，則會給計算帶來很大的困難。因此，是否可以考慮用“平均分”來定義除法的同時挖掘除法與乘法的聯系？比如，把除法定義為“把一個數平均分成幾個數的運算”或者“把一個數分成幾個相同數的簡便運算”，乘法是求幾個相同加數的和的簡便運算，也即是把幾個相同的數合成一個數的運算，而若按前面所說，除法是“把一個數分成幾個相同數的簡便運算”，則乘、除法依然互為逆運算，依舊可借助表內乘法求解表內除法運算，既能體現除法本質，又便于計算。

3．除法的定義中是否需要體現與減法的聯系

在人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》四年級下冊給出四則運算定義前，小學生學習減法都是以“分”為基礎，除法的本質是“平均分”，是特殊的“分”，也即除法是特殊的減法。乘法的定義是求幾個相同加數的和的簡便運算，減法是加法的逆運算，用乘法的逆運算定義除法，除法與減法仍有聯系，但卻未能很好地體現出除法是“特殊的減法”這一點。除法與減法的這種聯系對教學來說是重要的，比如除法豎式的演變，減法豎式可能是最早的源頭之一，比如21÷7=3的羅馬數字豎式如圖1所示，除法豎式是小學最難理解的內容之一，相比傳統教學，換種角度，以減法來促進對除法的理解，可能會事半功倍。

圖1

四則運算是數學計算的基礎，在數學教學中占有重要地位，通過對小學課本的研讀、對相關資料的查閱，提出有關四則運算的幾點不成熟的思考，分別是對四則運算中為何先學加法的思考，對除法定義的有關思考等。期望通過思考，加深對四則運算的理解，更好地指導教學。