數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究

邵奇 戎海武

摘要：近年來，對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究方興未艾。數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值逐漸得到認(rèn)同，廣大數(shù)學(xué)教育者普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢。通過分析數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義、原則以及應(yīng)用方法，并給出教學(xué)課例，進(jìn)而得出關(guān)于數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一些反思和建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;高中數(shù)學(xué);教學(xué)

中圖分類號：G4文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.08.075

1數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育

數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)研究具有重要的指導(dǎo)作用，正如法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊所說：“若想預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，正確的方法是研究它的歷史。”在教育方面，國外數(shù)學(xué)教育者很早就意識到數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值。1972年，第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（簡稱HPM），將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的研究推向了新的高度。國內(nèi)方面，自 20 世紀(jì) 90 年代開始，以華東師范大學(xué)張奠宙教授為代表的一些學(xué)者也對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系進(jìn)行了深入研究。后來，更多的國內(nèi)學(xué)者開始從歷史的視角討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，并在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)史的滲透。

2數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)教學(xué)作為高中教學(xué)的重要組成部分，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力具有重要作用。與初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)更加抽象，知識密度更大，理論性和系統(tǒng)性更強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求更高。最新出版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在“實(shí)施與建議”中明確提出，數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，教師應(yīng)有意識地結(jié)合的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程。可以預(yù)見，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，將在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演越來越重要的角色。對于數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，主要有以下幾個(gè)方面。

（1）數(shù)學(xué)史為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富的教育資料。高中數(shù)學(xué)知識相對抽象，如何恰當(dāng)導(dǎo)入新課成為數(shù)學(xué)教師必須要思考的一個(gè)問題。通過引用數(shù)學(xué)史料導(dǎo)入新課，會使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的來源有一個(gè)清晰的認(rèn)識，不失為一種有效的課堂教學(xué)方式。例如，人教版高中數(shù)學(xué)必修一教材第一章為集合論的內(nèi)容，高中一年級新生對新知識十分陌生，比較難于理解，為教學(xué)實(shí)踐帶來很大挑戰(zhàn)。而將數(shù)學(xué)史引入課堂，為解決集合論的教學(xué)問題提供了一個(gè)合適的突破口。集合論的孕育及萌芽可以追溯到古希臘時(shí)期，最終于19世紀(jì)末由德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立起來。高中數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容充分體現(xiàn)了康托爾的核心思想，數(shù)學(xué)史料配合課本進(jìn)行教學(xué)更易于學(xué)生進(jìn)行理解。

（2）數(shù)學(xué)史可以激發(fā)高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化提供了有效途徑。受多年應(yīng)試教育的影響，部分高中生對數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生畏難心理，缺乏學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。將數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以活躍課堂氣氛，提高教學(xué)效果。中國作為四大文明古國之一，數(shù)學(xué)研究有著悠久的歷史。南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的化簡多項(xiàng)式的算法，早于西方幾百年。再如，同為南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝研究的楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在西方被稱為帕斯卡三角。這一成就，同樣領(lǐng)先西方幾百年之久。

（3）數(shù)學(xué)史可以陶冶高中生的人文修養(yǎng)和道德情操。整部數(shù)學(xué)史也是數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)業(yè)史，先賢們不畏艱辛，披荊斬棘，終有所成。教師通過講授一些數(shù)學(xué)家的故事，可以起到正向激勵(lì)學(xué)生的作用。例如，牛頓和萊布尼茲突破思維禁錮，另辟蹊徑，各自創(chuàng)立了微積分的事例，可以鼓勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新，樹立遠(yuǎn)大志向，進(jìn)而陶冶學(xué)生的人文修養(yǎng)和道德情操。

3數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的原則

符合學(xué)生認(rèn)知水平原則。數(shù)學(xué)教師在運(yùn)用數(shù)學(xué)史料進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要充分考慮高中學(xué)生的認(rèn)知水平，甄選適宜的數(shù)學(xué)史資料，合理安排課程的難易程度。

目的性原則。所選資料要有很強(qiáng)的針對性，符合教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，對學(xué)生理解和學(xué)習(xí)知識起到積極作用。

適度性原則。數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)要堅(jiān)持適度性原則，過多的引入數(shù)學(xué)史料與故事將擠占正常的教學(xué)時(shí)間，反而不利于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

4數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用方法

利用數(shù)學(xué)史巧妙導(dǎo)入新課。相比于公理化的推導(dǎo)與證明，學(xué)生更易于從數(shù)學(xué)故事中了解和接受新的知識。比如通過斐波那契數(shù)兔子問題導(dǎo)入數(shù)列的教學(xué)，讓學(xué)生從歷史故事中來領(lǐng)悟數(shù)列作為一種離散型函數(shù)的特殊性。

挖掘數(shù)學(xué)史料中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，滲透到課堂教學(xué)中。常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有用字母表示數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、分類思想等等。數(shù)學(xué)史中不乏體現(xiàn)這些思想方法的案例。例如，在《隨機(jī)事件的概率》的教學(xué)中，教師應(yīng)著重滲透必然與偶然的數(shù)學(xué)思想方法，可以列舉法國數(shù)學(xué)家帕斯卡和卡爾達(dá)諾關(guān)于賭博游戲的例子，來向?qū)W生說明隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性。

借助數(shù)學(xué)著作引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展歷史中，相關(guān)著作卷帙浩繁。高中數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，篩選出部分可讀性、可用性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)作品引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)。例如，《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)的代表作，其中第五卷《商功》里記載這樣一個(gè)問題：“今有委米依恒內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”意思是：“在屋內(nèi)墻角處堆放米，米堆里底部弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”高中數(shù)學(xué)教師可以考慮將古代文化“依垣”和高中圓錐曲線知識相結(jié)合，進(jìn)行相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)。

再現(xiàn)數(shù)學(xué)史情景進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。許多高中數(shù)學(xué)知識都來源于現(xiàn)實(shí)生活，發(fā)現(xiàn)過程具有一定的故事性。高中數(shù)學(xué)教師可以重現(xiàn)這些歷史情境，引導(dǎo)學(xué)生置身于當(dāng)時(shí)的社會經(jīng)濟(jì)文化條件中去考慮問題。例如，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。文藝復(fù)興后的歐洲，生產(chǎn)力迅速發(fā)展，需要更為先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，如何作曲線的切線和求函數(shù)極值即為問題之一，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出的方法中構(gòu)造了f（A+E）-f（A），其中因子E就是我們所說的導(dǎo)數(shù)f'（A），隨后導(dǎo)數(shù)理論不斷被完善，最后由法國數(shù)學(xué)家柯西給出嚴(yán)格定義。

5數(shù)學(xué)史融入高中教學(xué)的課例分析

5.1數(shù)學(xué)史融入高中虛數(shù)教學(xué)思考

如何讓學(xué)生正確理解虛數(shù)，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生根據(jù)在初中習(xí)得的知識，負(fù)數(shù)沒有平方根，無法進(jìn)行開方運(yùn)算。人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書選修1-2中“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”一節(jié)通過導(dǎo)入問題“x2+1=0在實(shí)數(shù)域有無解”來啟發(fā)學(xué)生思考如何處理負(fù)數(shù)的開方問題。然而“判別式Δ<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解”這一結(jié)論已經(jīng)在學(xué)生腦海中根深蒂固，所以我們嘗試借助數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)來幫助學(xué)生了解虛數(shù)的概念以及它產(chǎn)生的背景。

5.2教學(xué)過程

師：同學(xué)們，1545年意大利數(shù)學(xué)家卡丹在他的數(shù)學(xué)著作《大術(shù)》中提出這樣一個(gè)問題：“將10拆分成兩部分，使它們的乘積為40。”請問同學(xué)們應(yīng)該如何拆分？

生1：通過設(shè)未知數(shù)聯(lián)立方程組進(jìn)行求解。將10拆分為X、Y兩部分，則有“X+Y=40，XY=10”，然而求得的一元二次方程Δ<0，方程無實(shí)數(shù)解，因此無法完成拆分。

師：好的，卡丹本人最初也是這么認(rèn)為的，但是他發(fā)現(xiàn)（5+√5）+（5-√15）=10，（5+√5）*（5-√15）=40，正好滿足問題的要求。

生2：老師，根號下必須是大于等于零的數(shù)，而不能是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)無法進(jìn)行開方運(yùn)算。

師：是的，負(fù)數(shù)不能開方是問題的關(guān)鍵。在歷史上這個(gè)問題也困擾了數(shù)學(xué)家?guī)装倌陼r(shí)間。最終有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，只要-1能開方，那所有負(fù)數(shù)有可以開方，同學(xué)們想想對不對？

生3：對！任意一個(gè)負(fù)數(shù)可以表示成-1乘以一個(gè)正數(shù)的形式，正數(shù)本身就可以開方，如果-1也可以開方，那整個(gè)負(fù)數(shù)就可以進(jìn)行開方運(yùn)算了。

師：非常正確！歷史上大數(shù)學(xué)家歐拉與同學(xué)們不謀而合，在1777年，他提出了一個(gè)新數(shù)i，并且定義i2=-1，這樣就解決了負(fù)數(shù)開方的問題。歐拉也意識到這個(gè)新數(shù)是想象出來的，所以用了“imaginary”一詞的首字母來表示它。

教師進(jìn)行總結(jié)：新數(shù)i叫作虛數(shù)單位，i2=-1，并且實(shí)數(shù)與i可以進(jìn)行四則運(yùn)算，并且符合加法與乘法的運(yùn)算律。

5.3課后整理

整節(jié)課教師以虛數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史為主線，通過重構(gòu)歷史過程引導(dǎo)學(xué)生思考如何解決負(fù)數(shù)開方問題，比較好的將數(shù)學(xué)史融入高中課堂教學(xué)中，增強(qiáng)了學(xué)生對新概念的認(rèn)知和理解。

6反思與建議

6.1數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的反思

數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的操作過程中，出現(xiàn)了一些問題，比如部分教師盲目堆砌史料，沒有合理地將其融入教學(xué)中去。再如課堂上數(shù)學(xué)史的引入擠占了較多的教學(xué)時(shí)間，影響了正常的教學(xué)進(jìn)度。基于這些問題，數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視科學(xué)性和實(shí)用性。科學(xué)性是指教師向?qū)W生傳授的數(shù)學(xué)史知識必須是正確的，符合教學(xué)要求的。實(shí)用性是指數(shù)學(xué)史的引入對高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須起到有效的作用。只有實(shí)現(xiàn)科學(xué)性與實(shí)用性的統(tǒng)一，方才稱得上是有效的教學(xué)。

6.2數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的建議

實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)結(jié)合，關(guān)鍵在于提高教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)和教學(xué)創(chuàng)新意識。高中數(shù)學(xué)教師不僅要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)科功底，同時(shí)還要具備一定的人文素養(yǎng)，對數(shù)學(xué)史料的把握與運(yùn)用要達(dá)到爐火純青的地步，并敢于探索與創(chuàng)新，在實(shí)踐中尋求更好的結(jié)合方式。同時(shí)，建立一套科學(xué)的教學(xué)過程評價(jià)體系也十分重要，通過科學(xué)合理的手段了解學(xué)生對知識的掌握情況，不斷改善教學(xué)方法，從而提高數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的水平和質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[3]羅增儒，李文銘.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2003.

[4]張奠宙，李士.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5]李永新，李勁.中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)概論[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[6]李文林.數(shù)學(xué)史概述[M].北京：高等教育出版社，2011.

[7]于書敏，曲元海.論數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值[J].現(xiàn)在教育科學(xué)，2006，（1）：153154.