基于空間模型面向化學工科專業線性代數教學例證研究

左路

[摘 要]針對化學工科專業的線性代數課程教學，教師可以以化學化工領域的動力系統模型為應用背景，探討基于空間及矩陣幾何模型的教學模式，并提出以幾何直觀性為寬基礎的金字塔式教學模式，及定位于培養學生幾何直觀思維方式的教學目標，從而增強學生對科學研究的興趣，夯實數學基礎并實現為專業研究與應用服務的目的。

[關鍵詞]化學工科專業; 教學研究;線性代數課程; 教學模型;幾何直觀

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）02-0086-04

對于本科階段學生而言，在校四年的學習過程應以真正欣賞和熱愛科學研究，理解研究工作的價值，并且最終全身心投入研究工作為目標，因此有效的科學思維方法的訓練必不可少. 而數學類課程的學習正是促進科學思維方法形成的必經過程，線性代數就是其中的必要一環.線性代數的重要性從瑞典數學家Lars G?rding的著作Encounter with Mathematics中可窺見一斑：“如果不熟悉線性代數的概念，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多.”[1]但是“線性代數是通過公理化來表述的，……，這就帶來了教學上的困難”[1].自然界現象在人們思維中以幾何形象呈現，但是數學知識體系經過幾千年的發展演變，至今形成了嚴謹且抽象的公理化體系. 嚴謹的抽象性就像一柄雙刃劍，當新知識的教與學過程喪失直覺性后，將不易被學習者理解，更不用說得心應手的應用. 如果線性代數的學習建立在幾何直覺基礎上，將學習者帶來極大的便捷. 笛卡爾、A. R. 費歇爾和C. R. 勞均非常重視幾何直觀作用，其中費歇爾正是因為具備這種非凡的幾何直觀思維，才能夠在極短的時間內解決他人需耗費很久時間才能解決的問題[2].

不同專業數學類課程的教學不能一概而論。身為教育者大家都有共同認識，即數學基礎課程的教與學應重視數學思維訓練，以專業應用為導向，許多一線基礎數學教師已經對此展開了深入的探討與研究[3-4].對于化工專業而言，其數學訓練更不同于一般工科數學[5].從計算機誕生以來，傳統的化學工程學科與計算機科學的結合，衍生出了高度模型化與數學化的新學科，如化學反應工程、過程系統工程等. 化學工程領域需要在化工實驗中進行數據處理與分析、對化學問題進行建模與分析，以及對化工過程進行模擬與優化，而這些應用都需要數學分析技術，線性代數知識正貫穿于此三方面需求中. 為了在保證數學知識的基礎性的同時保證針對性，教學內容與過程就需要適量、適度. 為了實現這個目標，教學模式應輔助學生構建一個層層遞進、兼顧應用、基礎寬厚的知識體系，同時也應考慮到學科發展趨勢，并數學思維訓練與直覺培養融入其中.過去我們一直將線性代數教學建立在數值計算基礎上，然而如何準確選擇工具、解釋計算結果，并產生方法的創新需要未來的研究者對于線性代數有更多的本質認識，那么幾何直觀性便成為實現這一目標最堅實的基礎.因此，本文作者針對化學工科線性代數課程教學，采用金字塔式教學目標模式（參見圖1），以動力系統為為例，探討如何利用空間與矩陣為輔助工具建立幾何直觀模型實施教學.

一、空間的構成

學習任何新知識的第一步，都應為認識其研究對象，學習線性代數的第一步便從認識空間及其構成開始.代數研究中，常抽象地將具有某種共同“行為方式”的元素納入空間這個“容器”. 粗略而言空間就是滿足同類行為方式的元素構成的集合. 在線性代數中，“行為方式”可以理解為空間內的運動或者變換. 盡管在各類研究領域中出現的空間類型繁多，但是都有共性，即與實數域的線性空間同構，因此我們立足于最基礎的空間上，以線性空間為核心建立幾何直觀模型，依此可以推廣至所有的同構空間. 接下來需要解決第二個問題，即線性代數的構成元素應具備何種共同的行為方式？線性變換就是線性空間元素的共同行為方式.那么何為“線性”？這是理解線性代數的關鍵一環，線性運算即為滿足可加性和比例性的運算.以二維向量空間為例，其自然基為[e1=（1，0）T]，[e2=（0，1）T]，則其中任何元素[x=（x1.x2）T=x1e1+x2e2]均可以由[e1，e2]“創造”，如5（1，0）T+（0，1）T=（5，1）T. 此時線性運算的系數5和1構成向量在基[e1，e2]下的坐標. 實際上用于創造元素的基并非唯一. 若[e1，e2]由先構造出線性無關的向量[ζ1=3e1+5e][2]，[ζ2=e1-e][2]，則[ζ1]，[ζ2]可以替代[e1，e2]作為空間的基從而生成具有“新”坐標[34]和[114]的空間元素[34]（3，5）T+[114（1，-1）]T=（5，1）T.至此空間有了描述方式，也具備了結構特點， 線性代數的研究實體便立體的呈現于學生思維中.

采用矩陣符號將上式簡記為[L（x）=Ax=y]，即線性變換[L]：[Rn][→R][n]，那么空間元素之間的關聯可以通過矩陣運算進行描述. 由于容納運動，空間將不再是一個“靜態的容器”，從而可以采用動態的方式研究空間元素.實際上由于線性變換遵循規則[L（x+y）]=[L][（x）]+[L][（y）]與[L][（kx）]=[kL][（x）]，空間元素將保持可加性與比例性，這便是該變換被稱為線性運算的本質原因. 若直觀地解釋線性變換，其是指空間中的直線經變換后仍保持直線狀態不會被彎曲，且原點保持不變. 若采用抽象描述方式，線性變換也可以被解釋為一種函數映射規則，即將空間元素（向量）x映射（運動）到另一個元素（向量）y的規則. 如果目標向量y固定為b，于是得到線性方程組Ax=b. 可見線性方程組的解即為空間中所有可以在變換規則矩陣A下運動至目標b的原像. 不過我們更傾向于解釋L為線性變換，因為“函數”一詞更側重抽象的邏輯關系，而“變換”則傾向于從幾何角度解釋線性變換對應于空間元素的運動. 在教學實踐中，從運動的視角建立直觀解釋更容易讓學生理解線性代數運算的本質.

借助矩陣，我們可以擴展看待空間的視角. 由于（2.1）式的線性變換矩陣的列向量組即為基向量，記基[e1，e2]構成的矩陣記為[e]，基[ζ1]，[ζ2]構成的矩陣記為[ζ]，令[[x]]表示在基*下的坐標向量. 如果另有基矩陣[η]，使得[[x]]e=[η][[x]][η]=[ζ][[x]][ζ]，則不同基下的坐標之間通過線性變換關聯起來，即[[x]η][η-1][ζ[x]][ζ]，且不同基之間滿足[ζ]=[ηη-1][ζ][ηP].因此我們便擁有了在不同的基下看待空間的不同“視野”（如圖2所示），這也給研究者提供了在不同視野下切換以尋求最便捷研究方法的途徑.

二、空間與離散動力系統

由于空間的最基本特征是包含元素的運動，在線性空間中我們通過線性變換描述運動，即通過矩陣乘法將運動對象、運動目標和運動方式合成為線性函數[L（x）=y]. 但是現實世界的運動常常附加一個新維度-時間，于是附加上時間維度的線性變換便成為動力系統的分析工具.化學化工領域存在的各種系統，例如復雜反應網絡、反應系統的動態模擬、化工合成過程，以及多單元多因素系統的耦合分析等均可以視為動力學系統.如果在離散時間節點測量動力系統的狀態，線性變換就形成了離散時間點上的“躍遷”運動. 將系統狀態由向量序列[x0，x1，]…，[xn]，…表示，[xn]為第n個時間離散節點的系統狀態，其滿足離散動力方程[xn+1=Anxn]，其中[An]為描述系統狀態變化的轉移矩陣. 根據線性變換結果，可以在相空間繪制出動力系統的運動軌跡，預測未來時間節點系統狀態趨勢.可見矩陣承擔著動力系統行為分析核心工具的重任.

例如，對（2.1）式實施若干次線性變換[3? ? ? ?1 5? ? ? -1][n][n0]，其中n=1，2，…， 便可以得到空間元素的運動軌跡，即向量序列[xn=c1λn1v1+c2λn2v2]，[n=]0，1，2，…，其中[λ1]，[λ2]為線性變換矩陣[A=][3? ? ? ?1 5? ? ? -1]的特征值，[v1]，[v2]為A分別對應[λ1]，[λ2]的特征向量，系數[c1]，[c2]由系統的初始狀態決定.因此得到動力系統的運動軌跡（如圖3所示），初始點在[v2]所在直線以外的位置的軌跡均隨著時間演變，最初趨近于[v1]所在直線，然后遠離[v1]并向無窮方向延伸. 而落在[v2]所在直線上初始點的軌跡，將以震蕩方式趨近于無窮（如圖4所示），且震蕩幅度隨著時間遞增，可見系統（2.1）是不穩定的體系.對于動力系統而言，變換系數矩陣的特征體系描繪出了系統的行為方式與運動趨勢，特征值的符號預示著系統趨于穩定抑或趨于發散，而作為子空間的特征空間則指示出系統運動的方向與速度.

三、空間與微分動力系統

若系統狀態隨著時間連續變化，則離散差分方程推廣至微分方程組. 復雜反應網絡正是依賴于微分動力系統進行動力學行為分析. 盡管反應體系因反應級數的差異通常與非線性微分方程組相關聯，但是實際中非線性微分方程組可以經過線性近似化為線性微分方程組[5]. 因此微分動力系統常采用線性分析方法，從而可以借助相空間和矩陣的特征體系分析微分方程組的動力學行為. 此種方法便是復雜網絡分析中的特征向量法，該方法由Wei和Prater[6]在1962年針對復雜一級可逆反應網絡的動力學分析而提出，Silvestri、Prater和Wei在1967至1970年間將其推廣至含不可逆一級反應系統[7，8，9]，此后Christoffel將此方法與Gavalas法和曲線擬合方法加以比較后得出結論，盡管實驗工作量較大，特征向量法在數據處理量和結果精度上還是具有很大優勢[10-11].

上式中，xi為組分[Ai]的摩爾分數，kij為反應[Aj] [→][Ai]的速率常數. 乘積項kijxj表示由組分[Aj]生成[Ai]的速率，而項[-j≠i3kji]xi表示由組分[Ai]生成[Aj]的速率.采用矩陣乘法可以將系統（4.1）記為[dxdt]=[K][x]，令x表示系統狀態向量，[K]為速率常數矩陣.由于遵循質量守恒性與反應量的非負性，系統（4.1）還應滿足兩個約束，[j-13xi=1]與[xi?0（i=1，2，3）].因此系統狀態向量[x]處于經過點（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1）的反應平面上（如圖6所示）. 當系統從初始狀態[x（0）]反應至[x（t）]，在反應平面上經過的曲線即為動力系統的反應路徑（即圖6中[x（0）]至[x（t）]間虛線所示曲線路徑）.

由系統（4.1）速率常數矩陣k的元素構成特征可見，k必有零特征值（記為[λ][0]）與負特征值，零特征值意味著此反應存在反應平衡點，即[λ][0]對應的特征向量v[0]在相空間中的位置.系統（4.1）的通解為[x（t）=i=13civieλit]，[ci?R]. 同樣，此處[λ][i]為（4.1）式系數矩陣k的特征值，[v][i]為k對應[λ][i]的特征向量，系數[c][i]由系統的初始狀態[x（0）]決定. 由解形式可見，系統（4.1）的解軌跡隨著時間演變呈指數函數規律變化，并趨于反應平衡點，其運動方式與速度由所有特征向量共同決定，因此系數矩陣特征值與特征向量成為分析系統解軌跡性態的關鍵[12]（參見表1）.系統（4.1）反應路徑如圖7所示，不同初始狀態下反應路徑最終均匯至平衡點，且在平衡點處具有共同切線. 由圖7可見當反應沿著特征向量的所在直線路徑進行，反應衰減最快.如果通過實驗尋找到這兩條直線路徑，則可以在直線反應路徑上可以單獨地解耦求解系統（4.1），這便是特征向量法給反應動力實驗數據處理帶來的便捷之處.以上僅是微分系統系數矩陣的特征體系在動力分析實驗中的貢獻的一方面.

另一方面，如果實驗是用于確定反應系統的速率常數[kij]，即此時系數矩陣k是未知的，那么需要通過實驗路徑反過來確定反應速率常數[kij].由于（4.1）式是強耦合系統，狀態向量x的各分量不能分別求解，那么由實驗數據需要同時確定[n（n-1）]個動力學參數（假設n為不同組分數量）. 如果將（4.1）式先進行解耦處理，即將系數矩陣k對角化為矩陣[Λ=diag（λ0，λ1，k，λn-1）]，引入虛擬組分[y=（y1，y2，k，yn）T]，得到[dydt=Λy].則[y（t）=diag（eλ0t，eλ1t，k，] [eλ2t）（a0，a1，k，an-1）T]，[ci][?]R，[t?0].可見此時虛擬組分各分量可以實現單獨求解，并且通過選擇特征向量方向上的直線反應路徑，可以將需要確定的動力學參數個數降低為n[6，13].因此利用矩陣特征體系可以帶來簡化數據處理的實驗設計方法.

實際上，化工系統數學模型的求解往往受到強耦合性的約束，造成計算和數據處理的高度復雜性. 利用矩陣與線性變換的概念在線性空間中可以實現系統的解耦，將n個強耦合的線性方程解耦為一系列彼此獨立的方程，實現單獨求解從而簡化實驗設計與實驗數據處理. 正是基于此類應用性，線性代數的基于空間幾何觀點的教與學旨在給學生在專業領域的研究帶來便捷.

四、結語

綜前所述可見，盡管化學是以實驗為核心的科學，但是它與數學關聯緊密. 一方面，因受到了近代物理學（主要來自量子力學與統計力學）的極大影響，現代化學采用逐步數學化的語言從微觀層面探討物質的組成、構造及反應機理. 另一方面，實驗需要更嚴格的定量方法，自然就涉及數學更多技術層面的應用. 這兩方面的原因決定了化學學科必定需要數學在語言、技術層面上更加強有力的支持. 但是無論從語言還是技術層面來說，歸根結底數學對于化學工作者而言只是一種工具而已，不能取代化學本身.但也不能因此將數學的“工具性”理解過窄. 不可否認，一個化學工作者的數學能力越強，他所能處理的問題也越多. 在強調科學間融科合交叉的今天，數學無疑是一項有助于科研工作的利器. 作為教育者，我們要避免將知識孤立化，否則這種教育模式下培養出來的學生知識面窄，無法勝任交叉學科的研究工作.因此對于線性代數的初學者，尤其是其中需要具體領域背景的學習者而言，在學習過程中如果能夠借助專業背景模型在思維中構建各種數學概念和方法的幾何背景，并描繪出清晰的物理圖像，將有助于他們在未來的研究工作中從知識體系中選擇合適的觀點形成新的思想和概念，從而形成創新. 我們在此提出的以空間幾何直覺為基礎的教學模式正是以此為目標. 不過，應明確的一點是，基于空間觀點的教學模式并非單純強調幾何性，其終極目標仍然要回到培養嚴謹的邏輯思維上.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] Lars G?rding. Encounter with Mathematics[M]. New York： Springer-Verlag， 1977.

[2] Salsburg D . 女士品茶——20世紀統計怎樣變革了科學[M]. 邱東譯. 北京：中國統計出版社， 2004.

[3] 黃鳳英. 以問題為導向的教學模式的嘗試與探討——以線性代數的教學為例[J]. 大學教育， 2012（9）：117-121.

[4] 陳建華，劉金林. 促進學生數學理解的線性代數教學研究與實踐——以為學生提供問題解決情境為抓手[J]. 大學教育， 2014（1）：91-93.

[5] 李希. 化工問題的建模與數學分析方法[M]. 北京： 化學工業出版社， 2006.

[6] Wei J.， Prater C D. The structure and analysis of complex reaction systems[J]. Adv. Catalysis， 1962（13）：203-392.

[7] PraterC.D.， Silvestri A.J.， Wei J.On the structure and analysis of complex systems of first-order chemical reactions containing irreversible stepsI general properties[J].Chem. Eng. Sci.， 1967（22）：1587-1606.

[8] Silvestri A.J.， PraterC.D.， Wei J. On the structure and analysis of complex systems of first-order chemical reactions containing irreversible steps-II Projection properties of the characteristic vectors[J].Chem. Eng. Sci.，1968（23）：1191-1200.

[9] Silvestri A.J.， PraterC.D.，Wei J. On the structure and analysis of complex systems of first-order chemical reactions containing irreversible steps-III Determination of the rate constants[J].Chem. Eng. Sci.， 1970（22）：407-424.

[10] Christoffel E. G.，Kinetics of Simultaneous Isomerization and Cracking of the Five Hexane Isomers by Use of the Wei-Prater Method [J].Ind. Eng. Chem. Prod. Res. Dev.，1979（18）：143-148.

[11] Christoffel E. G.，Parameter Estimation in Linear Chemical Reaction Systems[J].Ind. Eng. Chem. Prod. Res. Dev.，1980（19）：430-434.

[12] 王高雄， 周之銘， 朱思銘，等. 常微分方程（第三版） [M]. 北京： 高等教育出版社，2006.

[13] Froment G F， Bischoff K B， Wilde J D. Chemical Reactor Analysis and Design[M]. New York：John Wiley& Sons， 2011.

[責任編輯：林志恒]