“大數論”探討

高長江

[摘要]與“大數”相關的理論可以稱為“大數論”，本文介紹了“大數”的含義，應用于“大數據”的運算，提出了大數理論內容——四個大數原理，還對其應用發展前景進行了探討。

[關鍵詞]數論;大數據;大數論

一、大數和大數論

定義：大數是很大的數值的數，可以接近無窮大。與“大數，，相關的理論可以稱為“大數論”。“大數”即很大數值的數，大數不是無窮大，可以接近無窮大。在實際應用中，“大數”是一個有意義的數字。大數實際舉例：人腦神經元的數量、互聯網信息的數量、銀河系恒星的數量等。

二、大數的表示和層級

（一）無窮大符號是∞，大數可以用∝表示

如果用∝表示大數個體，比如某個人腦神經元的個數，則大數群體可以用矩陣來表示。

其中∝_##表示大數個體，大數群體矩陣見圖1。

在數學分析中，有無窮大量和無窮小量的概念。

若自變量x無限接近x0（或|x|無限增大）時，函數值f|x|無限增大，則稱f（x）為x→0（或x→∞）時的無窮大量。無窮大量的倒數是無窮小量。無窮大量一定是無界量，無界量不一定是無窮大量。

無論多么大的常數都不是無窮大量。而大常數則為大數的典型例子。

對應于現實應用中，大數可隨時間變化。許多大數可以拆分表示為大常數與變量的和。即：∝_t等于C_∝加f（t）。

（二）大數的層級

1.大數的層級

大數個體定義為一級大數，大數群體為二級大數，以及三級、四級……大數。各級大數用∝_一、∝_二、∝_三……表示。

2.大數內部的層級

大數內部也可以由許多大數組成，也構成相應的層級。各級大數用∝_內一、∝_內二、∝_內三……表示。大數的層級是相對的層級，表現出數據間的相對層級關系。

三、大數運算的原理

大數運算，是指很大的數值的數進行的一系列運算。在數學中，數值的大小沒有上限，可是在計算機中，由于字長限制，計算機所能夠表示的范圍有限，對于較小的數運算時，這些數值沒超出計算機表示范圍，可以運算。但在實際的應用中，參與運算的數會超過計算機的基本數據類型表示范圍。比如天文學上，某星球與我們100萬光年距離，如果將其化簡為公里，或是米時將是一很大的數，因此計算機無法進行直接計算。

在某些領域內，甚至可以出現幾百萬位的數據運算。在計算機中無法直接表示，大數運算是通過數據結構的線性表，將大數拆分后存儲其中。大數除法，可類比人類手算，添位比較取商，中間結果與除數相減所得到的差參與下一輪的運算，直到結束。利用數組連續性，將大數每一位上數字單獨取出放人對應數組格內，然后再對每一位做單獨加減乘運算。這類似于小學學習加減乘所列出的式子。

（一）大數加法

∝_如加∝₂等于∝₃。即：兩個或多個大數的和仍是一個大數。

（二）大數減法

兩個大數的差可以是一個大數，也可以不是一個大數。

（三）大數乘法

∝_乖乘∝_鏢等于∝₃。即：兩個或多個大數的積仍是一個大數。低級大數的積可以得到高一級大數。

（四）大數除法和大數倒數

大數除法：兩個大數的商可以是一個大數，也可以不是一個大數。可以定義大數倒數為“小數”，可以接近。。

（五）大數乘方開方

大數乘方開方可以是一個大數，也可以不是一個大數。

在高等數學中，規定：x為實數，當x>0時，x除以0等于正無窮;當x<0時，x除以0等于負無窮;當x=0時，x÷0無意義。

+∞與實數加、減、乘、除、乘方、開方運算，結果永遠是+∞;-∞與實數加、減、乘、除、乘方、開方運算，結果永遠是-∞。（0乘以±∞無意義）

四、智能的層級和大數據的運算

（一）大數群體的層級以及大數內部的層級

尤其在與高度復雜化的系統對應時，則會伴隨著智能的產生。比如人腦智能的形成，以及社會人群對應的群體智能。智能的層級和智能管理（輻射）層級，從人腦解剖知識可知，人腦處理的信息，從分子層面到組織層面，再到神經系統層面。而管理則是現實世界在人腦中的映像管理，即人腦實現了對現實世界的宏觀管理。

由此可見，人腦實現了微觀到宏觀的信息過渡和統一，這正是人腦智能的根源所在。

（二）大數據的運算

大數據的運算，尤其是互聯網大數據運算，由此產生的“云計算”“云服務”。在現實社會和生活中的應用越來越深入和廣泛。

五、大數理論

（一）大數定律

概率論史上的第一個極限定理，屬于伯努利，后人稱為“大數定律”。概率論中詞論，隨機變量序列的算術平均值，向隨機變量各數學期望的算術平均值，收斂的定律。

大數定律有多個表現形式。高等數學中常用的三個重要定律：切比雪夫大數定理，伯努利大數定律和辛欽大數定律。

與“大數”相關的理論可以稱為“大數論”。“大數論”包含了多方面的領域。

大數在趨向于無限的遞增過程中，以及對應不同的實體特征，會產生不同的遞增效應，由此提出四個大數原理——累計/累積原理、極限原理、層級原理、交叉原理。

（二）數字“大數”原理

1.累計原理

大數表現為統計L的累計結果，是某集合內部元素累計結果，數量大小的度量。

2.極限原理

大數Qc的極限是無窮大m，“小數”的極限是。。

3.層級原理

層級原理對應于大數的層級。

4.交叉原理

交叉原理對應于大數加減法等運算。

（三）大數對應實體原理

1.大數理論的累積原理

大數理論的累積原理是：大數對應的大量實體聚集或實體某項參數指標超幅度變化等，由此產生的大量累積效應。

哲學上講的量變引起質變。而大數的量變是一種超量的變化，因此可以引起相應實體的實質性的、甚至是超常規的質變。“小數”則對應于實體的近乎無限分解，物質世界的近乎無限分解必然使宏觀物質世界進入微觀物質世界，量子效應就顯現出來。

2.大數理論的極限原理

大數在某些實際效應中，會有一個極值點，形成了該實體的極限特征。“小數”在某些實際效應中，會有一個極值點，甚至可以成為極限0（該極限0往往是相對極限）。

（1）速度的上限是光速C，即30萬公里/秒;速度在宏觀上下限為0（宏觀相對速度）。

（2）溫度的上限是普朗克溫度，1.417乘以10³²K（宇宙大爆炸第一瞬間溫度）。下限是絕對零度OK（開爾文），即零下273.15攝氏度。

3.大數理論的層級原理

大數對應的實體內部以及多個大數的組合，可以形成系統，并與一定的層級相對應。尤其在與高度復雜化的系統對應時，則會伴隨著智能的產生。

（1）大數內部的層級比如互聯網可以由區域網絡組成。

（2）大數群體的層級比如各星系系統構成的總星系。

（3）復雜的人腦系統就產生了智能。

4.大數理論的交叉原理

兩個或多個大數的相互交叉會彼此增強或沖抵，即可能會產生一個大數，也可能產生一個小數。交叉原理可用大數加減法等來解釋。

（1）交叉原理產生小數的一個例子，人眼觀測太陽或月亮的大小。太陽或月亮的實際大小是大數，而兩者與地球的距離也是大數，兩者相互交叉，則是人眼觀測到的視覺大小。

（2）“大數”在RSA加密方面的應用，RSA加密算法要用到足夠大的素數，這樣加密才能得到保障。

上述四個大數原理及其實體例子，也就是探討了大數理論的一些實際應用。宏觀宇宙的近乎無限以及微觀物質的近乎無限可分，是大數普遍存在的物質基礎和理論來源，現實世界以大數的模式存在、演化和發展。

六、“大數論”應用發展前景

大數據的運算，尤其是互聯網大數據運算，由此產生的 “云計算”“云服務”，在現實社會和生活中的應用越來越深入和廣泛。大數論在智能原理、極限分析、數據加密、信息統計分析等領域有著廣泛的應用價值，值得更為深入的研究和發展。

參考文獻：

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