空間解析幾何教學內容的改革與探索

郭愛麗 李雪佳

【摘要】空間解析幾何課程是高校數學與應用數學的專業基礎課，本文結合空間解析幾何的教學改革，利用調查訪談和課堂教學反饋的結果，針對該課程教學內容方面存在的問題，對空間解析幾何課程進行了積極的改革與探索。

【關鍵詞】空間解析幾何 教學內容 教學改革

【基金項目】貴州工程應用技術學院2017年校級本科教學質量提升工程項目“空間解析幾何的教學研究與探索”（2017JG018）。

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）03-0137-02

空間解析幾何課程是師范專業數學系開設的三門專業基礎課之一，其基本思想是用代數的方法研究幾何問題，其目標是培養理論基礎扎實，具有創新思維和創新能力的應用型人才。但在實際教學中，學生普遍反映空間解析幾何的教學內容抽象，對一些概念難以理解，圖形難以想象，因此，如何使學生掌握空間解析幾何的主要內容，并培養他們嚴密的邏輯思維能力和空間想象力，是我們教學工作者要解決的主要問題。本文結合空間解析幾何的教學改革與實踐，利用調研、課后訪談和課堂教學反饋的結果，分析了空間解析幾何教學內容存在的問題，給出相應的改革策略。

一、理論和實踐相結合，化抽象為具體

空間解析幾何作為基礎課，部分知識在中學階段略有接觸，所以，學生以為這部分知識很簡單就不愿做過多的深究，不知道學這些知識有什么用，對空間解析幾何課程的學習出現懈怠情緒；另外，在教學過程中若過多強調基本概念的解釋和定理、性質的推導，會使理論和實際相脫節，這種滿堂灌的教學方法會使學生感到單調乏味。圖形教學是空間解析幾何教學形式之一，特別是在講解二次曲線和二次曲面時，面對抽象的理論學生只能憑空想象，而有的曲面又不容易想到，使得學生缺乏學習的主動性和積極性。空間解析幾何教學重在培養學生的空間想象力，因此，在該門課程的教學中一定要注意理論聯系實際，使學生知道所學知識的具體應用，從而認識到該門課程的重要性，從思想上想學，愿學，進而才能學好。如在向量及其運算中，主講教師不僅要求學生掌握向量的有關理論知識，還要利用向量作為基本的運算工具解決他們熟悉的問題，如利用向量證明三角形的垂直平分線共點、海倫公式、三角形的正余弦定理等，通過對比學習讓學生意識到空間解析幾何中的向量法解決問題要比他們在中學階段的幾何法證明同樣的問題要高效簡潔的多，從而增強其學習的信心和探究的欲望；再如，學習二次曲面的理論時，通過現實生活中的直觀實例可以讓學生了解其在生活中的應用，如北京的鳥巢是典型的馬鞍面、鉛錘和漏斗是典型的圓錐、橄欖球的表面是橢球面、花瓶的設計利用了單葉雙曲面等。通過這種理論聯系實際的教學形式可以在教學過程中激發、引導學生的空間思維訓練。

二、因材施教，分層次教學

從學生對教學內容的需求方面來說主要分為兩類：一類是將來考研的學生，他們對空間解析幾何的理論知識需求較深較廣，對定理的證明和推導有較強的探索欲望，他們希望授課教師在講課時盡可能詳盡的講解知識的來龍去脈。空間解析幾何因其對其它后續課程有著重要的影響，如幾何中空間想象力的培養程度影響著學生對數學分析中多重積分、曲線積分、曲面積分的掌握程度，而數學分析在數學專業學生考研中占有較大的比重，所以，針對這類學生對教學內容的較高需求主講教師應在課堂上對空間解析幾何的理論知識講解的詳細些，深層次些，精心組織好習題課，引導學生主動思考、積極探索、歸納總結所學知識內容，并在平時的考核中注重自學能力和創造力的培養。另一類是直接就業的，那么，現在的學習主體將是未來的中學教師，所以，在教學中教師要注意發揮自身的示范作用，將一些教學基本技能潛移默化的傳授給學生，經過一定的積累之后，可以適當安排習題課或某一知識點讓學生來實踐，然后通過教學設計或教案來進行平時考核。另一方面，對致力于就業的學生，在教學內容的選擇上更應注意大學幾何和中學幾何知識的銜接，從內容上增加指導中學教學，幫助學生用高等幾何的邏輯思維方法多角度分析解決初等幾何的各類問題，如向量法在初等幾何中的應用、坐標法研究點、線、面及其位置關系等。所以，空間解析幾何課程的教學除了傳授知識、技能、發展思維能力，保證本科程度數學專業師范生的數學基礎和素養外，還要根據中學數學教育教學的發展，挖掘自身潛力、擴大內涵、為培養合格的中學數學教師服務。總之，針對學生對教學內容的需求不同而選擇分層次教學，有利于對學生因材施教。

三、整合教學內容，提高教學效果

教學內容的改革是空間解析幾何課程改革的重要組成部分，針對目前高校擴招導致學生基礎薄弱以及教學內容不變而課時逐漸壓縮的情況，在培養方案和教學大綱的指導下，將空間解析幾何的教學內容進行如下有效整合，以期提高課堂教學效果：

第一章：向量及其運算，由于向量的基本知識在高中有所體現，所以，為避免因知識的重復降低學生的求知欲和提高教學效率，建議把向量的定義和表示、向量的線性運算、向量的內積及夾角、直角坐標系中的向量運算、兩點間的距離公式、定比分點公式以及軌跡與方程等略講或不講，但要講解向量法在解決初等幾何中的應用，讓學生深刻體會“向量法”的數學思想；向量的外積和混合積可結合實例講解其理論，然后給出其在解決問題中的應用。

第二章：空間中的平面與直線，研究空間中的平面方程和直線方程所用的思想方法相同，都是根據確定平面和直線的要素得出代數方程，所以，授課教師可以詳細的講解空間平面方程的建立過程及推導、證明和應用，而把空間中的直線方程留給學生自學，有條件的情況下讓學生講解，這樣既可以促進學生自主探究的欲望，還能培養學生的自學能力和表達能力，但要求教師必須進行好宏觀的調控和微觀的考核評價。

第三章：常見的二次曲面，柱面、錐面和旋轉曲面的研究方法都是根據幾何圖形的直觀特征采用“消參法”建立代數方程，在教學內容上可以把這幾節整合在一起，重點討論其中一種曲面，對其他兩種曲面簡化處理，引導學生緊緊把握“消參法求方程”的數學思想，再如，研究橢球面、雙曲面和拋物面的形狀和性質均采用“平行截痕法”，在教學內容的處理上可以把這幾節整合在一起，重點講授其中一種曲面，另外兩種曲面簡單講解或學生自主探究。

第四章：二次曲面和曲線的一般理論，二次曲線是前面所學知識的應用，所以，授課教師要重點詳細講解二次曲線的化簡、分類和性質，二次曲面的一般理論則是學生在學有余力的情況下了解的內容，授課教師可視課時的多少自由把控。

第五章：正交變換和仿射變換，是采用“幾何變換”來研究圖形幾何性質的變化規律，在講解這部分內容時，可詳細探討平面上正交變換和仿射變換下的不變性和不變量，對空間中的正交變換和仿射變換可引導學生采用相同的方法自主探究。

在空間解析幾何的教學過程中，針對具有相同思維方法的教學內容予以優化、整合和重建可以使學生獲得對教學內容基本概念和其內在聯系的透徹理解，深化培養學生在理性分析、邏輯思維和空間圖形構建等方面的能力。

參考文獻：

[1]李修昌，徐明躍.高師院校“空間解析幾何”課程教學模式的改革與實踐[J].教育探索與實踐雜志，2011（1）：7-9.

[2]胡豐華，周小燕.提高空間解析幾何教學質量的探索[J].浙江科技學院學報，2007（1）：60-63.

[3]毛衛華，張勝祥，萬安華.關于空間解析幾何的學術形態和教育形態[J].大學數學，2012（6）：123-127.

[4]李養成.空間解析幾何[M].北京：科學出版社，2010.

作者簡介：

郭愛麗（1979-），女，山東菏澤人，副教授，理學碩士，研究方向為矩陣理論及其應用。