高中數(shù)學概率題的思想方法研究

◎ 羅福兵

高中數(shù)學知識繁雜無序，對于學生來說，如果沒有建立自己的知識體系或者是數(shù)學思維，那么學起來會非常吃力。這也是很多人學不好高中數(shù)學的原因之一，就是忽視了數(shù)學思想方法的重要性，沒有將數(shù)學思想方法合理地歸類，這就導致在解題的過程中沒有一個明確的指導方法，最終的結(jié)果是解題錯誤或完全解不出。培養(yǎng)數(shù)學思想方法是高中數(shù)學學習過程中的重要手段，對于提升學習效率和學習能力至關(guān)重要。概率內(nèi)容是高考必考之一。高考對概率內(nèi)容的考查，往往以實際應用題的形式出現(xiàn)，這既是由這類問題的特點決定的也符合高考的發(fā)展方向。在解答概率題時，很多情況下，若能適當?shù)剡\用數(shù)學思想方法，就能迅速找到解題的突破口，從而順利解決問題。

一、隨機思想

隨機思想是概率論的核心，是從數(shù)量角度，對事件發(fā)生的偶然性和必然性進行了分析。學生在學習概率知識，解高中概率題時，應該積極感受最原始的隨機環(huán)境，理解隨機現(xiàn)象，感受隨機的特點。我們應該在各種具體事例中真正認識并理解概率，進而建立正確的概率觀念，在大量的實例中認識到不確定現(xiàn)象。概率論的學習過程就是概率數(shù)學思想和思維方法的掌握過程。概率論思想和邏輯推理的數(shù)學思想之間有著較大的差異，存在著客觀的不確定性，隨機思想是概率統(tǒng)計思想的核心，是對偶然現(xiàn)象表現(xiàn)出的內(nèi)在必然規(guī)律的總結(jié)，必然需要借助偶然來表現(xiàn)，偶然背后也有著深刻的必然。在解題過程中，可以通過對隨機事件概念的引入來對隨機現(xiàn)象進行研究，通過隨機試驗的形式，對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進行研究，通過大樣本數(shù)據(jù)的分析找尋隨機事件背后的必然規(guī)律。

二、化歸思想

化歸思想是把未解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解問題的一種重要的思想方法。通過不斷轉(zhuǎn)化，可把不熟悉、不規(guī)范、不簡單的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡單的問題。在高中數(shù)學中，熟練運用化歸思想可以幫助學生在各知識點之間相互滲透與轉(zhuǎn)化，促進重點知識的融會貫通，有助于學生形成良好的思維習慣。

從10位學生(其中6女，4男)中隨機選出3位參加測試，每位女學生通過測試的概率均為，每位男學生能通過的概率均為，試求：選出的3位學生中至少有1位男學生的概率。

解析：本題研究的是選取參加測試學生的問題。首先從10位學生中隨機選出3位學生參加的方法有幾種；然后計算“至少有一位男同學”的選法分為以下三種情況：1男2女，2男1女，3男，于是共有種，則為所求。

事實上“至少有一位男學生”等價于“不都是女學生”，而都是女學生的情況有種，所以至少有一位男學生的概率是。

化歸的正難則反原則在此類概率題中的作用非常明顯，實現(xiàn)了由難到易的轉(zhuǎn)化。

三、模型思想

概率中往往出現(xiàn)復雜的問題，與實際生活聯(lián)系密切。這時就應該利用所學的知識，將具體實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型解決問題。數(shù)學模型使得問題從我們不熟悉的領(lǐng)域到了我們熟悉的數(shù)學領(lǐng)域，有利于快速高效地解決問題。下面通過舉例說明模型思想的重要性。

例如，A箱子中有紅球和藍球分別為x個和y個，B箱子中有藍球和紅球分別為x個和y個，從A、B兩個箱子中隨機取出一個球，試求兩球同色和異色的概率大小關(guān)系。

根據(jù)題目要求，由于每個箱子都有x+y個球，則一共具有(x+y)2種取法。令兩球同色的事件為M(其中包括兩球都是紅色或兩球都是藍色)，則；令兩球異色的事件為N(其中包括一紅一藍或一藍一紅)，則，通過數(shù)學計算P(N)≥P(M)。當x=y時，兩球同色和異色的概率相等。

顯然，本題是利用了數(shù)學模型的思想解決概率問題，當我們用概率公式進行計算時會增加我們的運算量，增加解決問題的難度。通過數(shù)學模型的構(gòu)建，能夠直觀地分析問題，更加高效地解決問題。所以，當遇到困難的問題時，先不要著急去套用公式，可以把復雜的實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，通過建立數(shù)學模型將兩者聯(lián)系起來，用數(shù)學的方式解決問題，最后再回到實踐上面。

數(shù)學的思想方法還有很多，它們的蹤影在概率解題中無處不在。這些思想方法是打開難題之門的“萬能鑰匙”，只有在平時的學習中加以重視，才能在做題的過程中達到融會貫通、運用自如的效果。