圓錐曲線動點問題探究

◎ 葉婷婷

此題為筆者所在學校的一次月考題，得分率很低，圖1中P、Q兩點分別在橢圓和圓上運動。隨著動點的移動，我們發現線段|PQ|與|PF2|的長度都在發生變化，兩個一起變化的時候，學生就束手無策了。那么，教師在講課過程中就應該讓學生先研究其中一個動點。因此，先把點Q看成定點，這樣此題就變成了求動點P到兩個定點之間的距離之和的最大值。根據三角不等式和橢圓的定義有，|PQ|+|PF2|=|PQ|+2a-|PF1|=|PQ|-|PF1|+6≤|QF1|+6(圖2)。

圖2

根據圖2，當點P在線段|QF1|的延長線與橢圓交點P1的位置時，|PQ|+|PF2|取得最大值|QF1|+6。接下來，我們再看點Q的運動。點Q是圓上的動點的，要使|QF1|取得最大，點Q在F1C的延長線且與圓C相交的點Q1時：

然而，在解題過程中，其實很多學生并不能想到先把其中的點Q當成定點。“Q點在圓周上運動，怎樣才能想到把它先當做定點呢？”如果我們仔細研究Q點的軌跡，它是在一個以C為圓心的圓周上運動。此圓圓心為C，假設它的半徑r不確定，當我們把此圓的半徑變得無窮小的時候，圓就壓縮成了一個點C(圖3)，此時，點Q與點C重合，我們有|PQ|+|PF2|=|PC|+|PF2|，再根據橢圓定義有|PC|+2a-|PF1|=|PC|-|PF1|+6，根據三角不等式找到點P滿足的位置。這樣點P的位置找到之后，再考慮把圓的半徑r慢慢變大，再考慮對應點Q的位置，就很容易理解了。這里采取的極限思想其實就是把圓的半徑無窮小，將圓壓縮成一個點，讓學生更好地先找到動點P的位置。

圖3

其實，本題除了考慮把圓壓縮成一個點這一極限方法外，我們還可以考慮把橢圓壓縮(圖4)，橢圓壓縮扁了之后就是一條線段F1F2，長度為6，點P 在 F1F2上運動且滿足：|PF2|=6-|PF1|，|PQ|+|PF2|=|PQ|+6-|PF1|≤|QF1|+6。

圖4

此時，我們很容易知道Q在F1C的延長與圓的相交點處。找到Q點的特征之后，再慢慢把線段還原成橢圓，也就能夠找到點P的位置，相信這兩種極限思想(圓壓縮成點，橢圓壓縮成線段)，都能夠有助于學生更加深刻地理解題目。類比橢圓和圓取極限的壓縮，雙曲線壓縮之后是兩條射線。

總之，用極限的思想把圓錐曲線特殊化，利用極限位置找到動點取到最值時的特征，再將圓錐曲線還原，不乏是我們平時研究試題一種巧妙的方法，也是我們探索該類問題的一種新穎的路徑。