以數學實驗為載體 再探三角形中位線

◎ 錢靜靜

《全日制義務教育數學課程標準》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實驗、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。在完成一定階段的數學學習后，引入一節數學實驗拓展課可以為學生發現問題、提出猜想、驗證猜想和創造性地解決問題提供一個操作平臺。這也是完善學生認知結構，提高學生數學素養，并使其全面認識數學兩個側面的重要途徑。

筆者結合八年級教學進度，開設了一節數學實驗拓展課“折出面積為原圖形一半的矩形”，現將教學敘事與反思呈現。

一、教學敘事

學情分析：八年級學生剛剛結束第五章《特殊平行四邊形》的新知學習，初步構建起了平行四邊形、三角形的中位線、矩形、菱形以及正方形之間的知識體系，具備了一定的空間觀念、數感以及符號感，會通過幾何語言描述推理邊角關系以及面積計算。加之章節學習時經歷了折疊、剪拼等助學形式為新知學習帶來的愉快體驗。為了體驗數學實驗課的樂趣，體會知識點之間的聯系，擬通過折出面積為原圖形一半的矩形，讓學生經歷“想象——實驗——交流——推理——反思”這一系列數學規律探究過程，鞏固三角形中位線性質的應用，在活動中不斷提高學生綜合運用知識的能力。

教學目標：經歷觀察、猜測、實驗、抽象、交流、合作、推理與反思等一系列活動，通過折疊與剪拼鞏固三角形中位線的性質，更好地用中位線性質來計算邊長，發展推理能力。

教學重難點：引導學生探索如何折出面積為原圖形一半或相等的矩形。

課前準備：邊長為3cm，4cm，5cm的直角三角形紙片，任意形狀三角形紙片，剪刀。

教學過程：

1.提出問題

(1)圖1是一個邊長為3cm，4cm，5cm的直角三角形紙片，小明想將它折疊成一個矩形，并且矩形的面積為原直角三角形的一半。通過計算，小明發現折疊完成后的矩形面積應該為3cm2，可是確定不了邊長。你能設計一個折疊方案嗎？

圖1

圖2

(2)圖2是一個任意三角形紙片，你能用最少的步驟將其折疊成一個矩形，并且面積為原三角形的一半嗎？

設計意圖：通過問題(1)創設的簡單實際情境，直接引發學生探究興趣，具體的數據便于學生計算推理，學生可以借助折疊手頭上的紙片模型進行操作，同時解決問題(1)的過程也為問題(2)的解決提供了途徑。

2.提示交流

師：在問題(1)中，要想得到面積為3的矩形，可以考慮其兩邊長分別是原直角三角形直角邊的一半。那么應該怎么折疊呢？請嘗試一下。

類比問題(1)，考慮矩形的一邊長是BC的一半，一邊長是原三角形高的一半。那么怎么樣折疊能得到這個矩形呢？

設計意圖：呈現指向明確的問題后，學生立即置身在一個有趣而富有挑戰性的問題情境中去。這樣的實驗有了問(1)的方法鋪墊不會顯得高不可攀。學生都抱著“試試看也許能行”的想法動起手來操作，再加上教師的提示，讓他們具有“我可以解決”的信心。此時，學生的好奇心和求知欲自然而然引導著他們去猜想、操作、推理，甚至自發去和同學交流想法，親自經歷數學知識的發生過程，體現了數學實驗以教師為引導，學生為主體的教學原則。

3.問題解決

經過嘗試，學生對問題(1)的解決提供了以下方法(如圖3、圖4所示）：

圖3

圖4

在上面兩種折疊方法中，其折疊的順序不同，但是應用的原理都是三角形的中位線性質，即，由此得到面積為3的矩形。

在問題(1)解決的基礎上，學生類比得到問題(2)的解決途徑(如圖5所示)：

圖5

若以BC為底邊，先折疊出該邊上的高AD，通過折疊，將點A與點D重合交AC于點E，交AB于點F(即EF為中位線)，最后通過折疊，使點C與D重合，點B與D重合，即可得到面積為一半的矩形ECHF。

(1)精彩歸納

一位平時課堂很少發言的學生歸納道：通過上述兩個問題，我發現將一個三角形折疊成一個面積為一半的矩形的問題，可以通過三角形中位線性質來解決，一般步驟是：

第一步：折出三角形的一條高線；

第二步：沿著高線對折，使頂點與垂足重合(即折出第一條中位線)；

第三步：通過對折將剩余的頂點分別與垂足重合(即折出另外兩條中位線）；

此時便能得到面積為原三角形面積一半的矩形。

(2)意外生成

在筆者正準備出示下一題時，坐在第一排的一位女生小聲嘀咕：“我怎么折出來的是正方形?。俊蓖烂榱怂谎鄣溃骸澳惝嫷娜切翁厥饫??！庇捎诠P者接下來正好想展示關于折出正方形的例題，便將該女生的答案呈現(圖 6)。

圖6

圖7

師：這位同學折出了面積是原三角形一半的正方形，大家能說說原三角形特殊在哪里嗎？

此時學生炸開了鍋，小組成員之間互相交流討論驗證，特別是提出這個問題的女生，她未曾想到全班學生都在為她解決問題，顯得十分開心。

師：大家不妨反過來想想，如果四邊形DEFG是一個正方形，你能得到哪些結論？

經過簡單提示，有學生即刻恍然大悟，分享了自己的推理：由四邊形DEFG是一個正方形可知DG=GF，再利用中位線性質，易得AP=BC，也就是說原三角形一邊與它上面的高如果相等，就能折出正方形了。

師：一個不經意的疑問可以帶給我們探究的動力與方向，希望大家能勇于提出問題，一起協商解決。

隨后筆者呈現了事先預備好的例1，學生一見到便“哦”聲不斷，因為他們已經有了解決方法，同時也十分佩服之前那位女生的無心插柳。

(3)水到渠成

例1：如圖 7所示，已知△ABC 的面積為 8，AC=6，點 D，E，F，G 分別在三角形的三邊上，四邊形DEFG是正方形，且面積為△ABC的一半，求CF的長。

師：想一想，正方形是通過怎樣的折疊得到的？根據上面的步驟，你能求出哪些線段的長度？這些線段與CF是什么關系？

生1：由于正方形面積為三角形面積的一半，所以正方形可以由此前的圖6方式折疊得到。

圖6

生2：折疊則易知DG是△ABC的中位線，∵AP⊥BC，

……

師：通過對條件的充分挖掘，我們解決了原本看似不可能完成的任務，這是大家一起交流合作的成果，希望在接下來的環節中，我還能看到你們思維碰撞的火花。

(4)變式鞏固

師：三角形中的矩形面積如果為三角形面積的一半，我們通常考慮將三角形沿中位線折疊形成，由此便能得到相關的邊角關系。多嘗試，多探索，你會隨時樂在其中。請同學們再次發揮團隊作用，嘗試解決下面的問題。

例2：對于一個等腰三角形，我們可以通過以下方案將其剪拼成與之面積相等的矩形。

方案一：如圖8所示，沿等腰三角形底邊上的高線剪拼成矩形。

圖8

方案二：如圖9所示，先沿等腰三角形的中位線剪一次，再沿剪下來的小三角形的高線剪一次也可以拼成矩形。

圖9

請你設計一種方案，將圖10的任意三角形分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形。

圖10

短暫思考后，小組交流，學生代表說說思路。

生4：我們小組認為，要剪拼成矩形，可以先剪拼成平行四邊形。再沿著過平行四邊形一頂點的高線裁剪就可以拼成矩形，所以這個問題現在變成“怎樣將一個三角形通過裁剪拼成一個平行四邊形呢”了。

生5：這樣多麻煩，既然能剪成平行四邊形，為什么不一步到位剪成矩形呢？

生6：其實任意三角形和等腰三角形剪法不是類似的嗎？只要找到中位線和高線就可以了。

……

在學生的思維碰撞中，該問題的設計思路逐漸清晰，最后歸納出一般三角形的剪拼法：如圖11所示，先將三角形紙片沿著中位線剪(可以拼成平行四邊形)，然后沿著三角形的高線剪就可以拼成矩形。

圖11

生7：兩刀剪出個矩形，不就是“兩刀矩”？

師：這位同學歸納得很好，確實是很形象呢，這位同學你可以申請個“專利”。大家不妨猜想下，是不是還會有“兩刀正、兩刀菱”呢？

此時本節課接近尾聲。

師：三角形通過剪拼能得到面積相等或者面積為一半的矩形，那么一般的四邊形是否也可以實現呢？請同學們課后去嘗試一下。下課。

(5)課后衍生

當天下午，有一個小組的學生提供了如圖12的剪拼方案，先沿對角線剪開分成二個三角形，然后按例2的方法就可以拼成矩形,此時矩形面積與原四邊形一樣，不過折出面積為一半的矩形方案還沒有想好。

注：學生的模仿能力強，在不斷模仿中會逐漸產生創新的沖動，圖12的設計既可以看成是對例2的延續模仿，但也是有所創新的，能將四邊形分割成兩個三角形進行剪拼，本身就是對三角形和四邊形關系的一種正確認識與應用。學生能在次設計過程中感受到實驗操作的樂趣，同時收獲解決問題后的成功體驗。

圖12

二、教后反思

關于數學實驗的思想，Euler說，數學這門科學需要觀察，還需要實驗；Gauss也說，他的許多定理都是靠實驗、歸納法發現的，證明只是補充的手段。英國當代數學家D.A.約翰遜指出：“數學家用以發現新思想的方法之一是進行實驗?！彼且浴缎抡n程標準》的基本理念為指導，根據數學知識內容以及學生的身心特點，引導學生借助有關工具(紙張、測量工具、模型、制圖工具、計算機以及各類軟件)，通過操作、實踐、試驗、推理等一系列過程經歷數學知識的產生、發展過程，同時在合作交流中經歷感情體驗，獲得成功的喜悅。

1.抓準起點，融合趣味

數學實驗設計的時候起點要適中，不能過高，會造成學生的畏難情緒；不能太低，會無法激發學生的探究興趣。本節課教學起點建立在學生探究過三角形中位線以及中點四邊形的基礎之上，借助于特殊平行四邊形的相關知識以及新課講授過程中滲透的剪拼圖形法所進行的實驗，從特殊直角三角形到一般任意三角形，從面積的一半到面積相等，遵循了從一般到特殊，從常規到創新的探究規律，真正做到了讓學生在“做”數學的實踐中去感受和體驗數學學習的樂趣。

2.方法滲透，注意提煉

在整個數學實驗拓展課的過程中，有一點至關重要，就是關注數學思想方法的滲透。通過數學實驗的直觀展示，讓研究的數學規律以一種“可操作”的形式呈現，讓原本抽象的數學規律通過學生手中的紙張、剪刀具象化，并在可視化的操作中掌握數學語言的表達和推理。本節課中，學生就很自然將圖形割補、數形結合、類比歸納等數學思想方法滲透在解決問題的過程中。

3.師生互動，關注協調

《新課程標準》指出，教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。在數學實驗教學中，作為教師，要鼓勵學生親自動手操作實踐，大膽發表疑問，對學生提供的各種答案進行充分交流討論；還要引導學生利用小組合作進行思維碰撞，分享彼此的想法；時刻關注學生的參與狀態，及時發現同學們一閃而過的“妙招”，適時給予恰當的評價；找準時機進行小結歸納，對解題方法進行提煉，促使學生思考自己已有經驗與所要解決的問題之間的聯系，讓師生之間，生生之間的交流更有效。

4.積累經驗，收獲成果

數學實驗訓練了學生的學習技能，培養了學生的創新能力。學生在一個個精心設計的實驗環節中不斷積累活動經驗，并在已有的基礎知識和基本能力協助下提升解決問題、質疑問題的能力。為了使數學實驗教學的優勢最大化，作為教師要清楚認識目前自己學生的數學認知水平，為不同層次學生提供足夠的探索空間，設計出人人能參與，人人能體驗的活動。如本節課中，從開始的特殊圖形剪拼到一般圖形，從實踐操作到幾何推理，從模仿到再創，將課內知識延伸到課外拓展，一直關注學生的教學活動，讓他們在“折”中體驗，在“做”中反思，在“算”中總結，積極投入到數學知識的探究發現中去，這不正是學生基本活動經驗的積累過程嗎？