由教材一例題引發的思考

◎ 武占斌

人教版A必修二129頁例3：已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0，C2：x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷兩圓的位置關系。

在解題過程中，當兩圓方程相減得x+2y-1=0此直線為兩圓公共弦所在的直線。試想C2將變為C3：x2+y2-4x-4y+4=0時，C1與C3相離，此時C1與C3的方程之差x+2y-2=0，此直線和C1與C3都相離，它又有何幾何意義？

為了解決此問題，需要從圓冪定理和根軸談起。

一、點到圓的冪

設P為圓O所在平面內任意一點，PO=d，圓O的半徑為r，則d2-r2就是點P對圓O的冪，記k=d2-r2(k∈R)。

二、圓冪定理

是平面幾何中的一個定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)的統一，例如如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交于A、B與C、D，則PA·PB=PC·PD。

三、過點P任作一條直線與圓O交于A、B，則由圓冪定理得PA·PB=k2，如圖：(1)(2)

四、到兩非同心圓等冪的點的軌跡是與此兩圓的連心線垂直的一條直線，這條直線稱為兩圓的根軸，可用圓冪定理來證明

圓 M：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓設P(x，y)為平面上一動點，過點P的直線與圓M交于C，D，與圓N交于E，F，PG，PH分別與圓M，N相切于點G，H。

當兩圓相交于 A，B 兩點，PG2=PC·PD=PA·PB=PE·PF=PH2，故等冪點的軌跡為AB直線(與連心線垂直)。如圖：(3)(4)

當兩圓相離時 PG2=PC·PD=PE·PF=PH2，所以 PG2=PH2，即，也即

所以(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0即為兩圓的根軸方程。

當非同心兩圓內也有類似規律，兩同心圓方程作差(F1-F2)=0，所以F1=F2此時兩圓重合。

可見，兩非同心圓的根軸方程為兩圓的方程之差所得的二元一次方程，顯然與連心線垂直。當兩圓相切時根軸為兩圓的一條公切線，當兩圓相交時為兩圓公共弦所在直線，當兩圓等大時為兩圓的對稱軸，當兩圓相離時為平面上圓外點引兩圓切線，切線長相等的點的軌跡。

這些理論在處理直線與圓有關的問題中有著廣泛的應用。

例1：(必修二144頁A組第6)已知圓x2+y2=4和圓x2+y2+4x-4y+4=0關于直線l對稱，求直線l的方程。

分析：兩圓相交對稱軸即為兩圓公共弦所在直線(根軸)x2+y2+4x-4y+4-(x2+y2-4)=0即：x-y+2=0

例2：①(必修二133 頁第7)求與圓C：x2+y2-x+2y=0 關于直線 l：x-y+1=0對稱的圓的方程。②(必修二144頁A組第7)求與圓C：(x+2)2+(y-6)2=1關于直線3x-4y+5=0對稱的圓的方程。

分析：這兩題與例1是逆向思維問題：已知一圓和根軸的方程求對稱圓，兩方程作差便可得對稱圓的方程嗎？由于方程x-y+1=0盡管表示根軸，但不一定是兩圓作差后的初始結果。為此有以下解法。

①x2+y2-x+2y-λ(x-y+1)=0，x2+y2-(λ+1)x+(2+λ)y-λ=0 此圓圓心為又它們的中點在 x-y+1=0 上，所以，所以所求圓的方程為：x2+y2+4x-4y+4=0②同理。

例3：(2013年山東高考理科第9題)過點P(3，1)作圓M：(x-1)2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()。

A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

分析：以PM為直徑的圓(x-3)(x-1)+(y-1)(y-0)=0，與圓作差得2x-y-3=0為兩圓的根軸，即為所求。

對知識無論做多深入的探究都不過分。數學是一種追求思維深度的藝術，寧靜方能致遠。