淺談初中數學中線段最值的求解策略

◎葉彬

線段最值問題的題型靈活、多變，是初中生較難解決的問題之一，也是棘手問題。這類試題都是立足于教材，能在教材找到基本的原形，如兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、軸對稱、旋轉等。解決問題的途徑，通常需要運用轉換思想，將較為復雜的問題轉換為常見的基本類型，從而找到解決問題的基本思路。下面，筆者將結合具體的實例，談談初中數學中線段最值的求解策略。

一、利用“垂線段最短”求最值

例 1.如圖 1，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝3，以 O 為圓心，半徑為1作⊙O，P是線段AB上一動點，過點P作⊙O的切線交⊙O于點Q，求線段PQ的最小值。

圖1

分析：在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝3，可得。因為PQ是⊙O的切線，所以，根據圓的切線性質作輔助線：連接OQ，則OQ⊥PQ，再連接OP，就可以組成一個直角三角形，如圖2，由勾股定理可知，OP2＝PQ2＋OQ2，由于 OQ 為定值，因此，當 OP 取得最小值時，PQ 也取得最小值。而點O是一個定點，點P是線段AB上一動點，當OP⊥AB時，OP取得最小值。此時，由三角形面積法可得，解得，，再由OQ＝1得，，所以，PQ最小值是。

圖2

小結：題目求解的切入點是利用圓的切線性質構造直角三角形，由勾股定理將“求PQ的最小值”轉換為“求OP的最小值”，也是將問題轉換為“垂線段最短”問題。求解過程中運用了圓的切線性質、勾股定理、面積法求高、垂線段最短等知識點，將上述相關性質結合，就可以變為解題的法寶。

二、利用軸對稱性質求最值

例2.如圖3，在平面直角坐標系中，∠OAB＝90°，點A在x軸正半軸上，點B的坐標為，點C的坐標為，斜邊OB上有一個動點P，求(PA＋PC)的最小值。

圖3

分析：由圖3觀察可知，點A和點C是兩個定點，點P是OB上的動點，求(PA＋PC)的最小值。很明顯，這是求“最短路徑”問題中的同側問題，因此，可以利用軸對稱性質解決問題。

如圖4，以OB為對稱軸，作點A的對稱點D，連接CD交OB于點P，此時，(PA＋PC)取得最小值，且PA＋PC＝PD＋PC＝CD。所以，只要求出 CD的長即可。

過點D作DN⊥OA，交于OA于點N，在Rt△OAB和Rt△DNA中，

因為，∠DAN＋∠DAB＝∠DAB＋∠ABO＝90°，

所以，∠DAN＝∠ABO，即∠ADN＝30°

圖4

小結：圖形經過軸對稱變換之后，會產生的等量關系(線段相等、角相等)，合理地利用相應的性質會使問題得到簡化，這會給解題帶來很大的幫助。本題中是作直線的對稱點，實現直線同側點到異側點的轉化，這是我們在解題中經常遇到的情況以及常見的解題方法。

三、利用三角形的三邊關系求最值

例3.如圖5，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A，B分別在邊OM，ON上。當點B在邊ON上運動時，點A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝1，運動過程中，求點D到點O的最大距離。

圖5

分析：如圖 6，取線段 AB 的中點 E，連接 OE、DE，此時，OD、OE、DE 組成一個三角形，根據“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”可得：OD＜OE＋DE；當矩形ABCD在移動變換過程中，存在一種特殊情況：O、D、E三點共線，這時，OD＝OE＋DE。綜上可得，OD≤OE＋DE。所以，當 O、D、E 三點共線時，點D到點O的距離最大。

圖6

小結：題目求解的關鍵在于選取一邊的中點，構造一個新的三角形，利用三角形的三邊關系得出不等關系式，從而找到最值。