破解題設(shè)陷阱，構(gòu)造函數(shù)巧解導(dǎo)數(shù)小題

石勇

構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，本文詳細(xì)介紹了導(dǎo)數(shù)小題中構(gòu)造函數(shù)的常見方法.

一、與不等式有關(guān)的函數(shù)構(gòu)造

例1.已知函數(shù)f（x）=lnx-（x-1）22.求證：當(dāng)x>1時，f（x）

證明：令F（x）=f（x）-（x-1），x∈（0，+∞）.則有F′（x）=1-x2x.

當(dāng)x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）<0，所以F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x>1時，F(xiàn)（x）1時，f（x）

解題技巧：構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.

二、與等式有關(guān)的函數(shù)構(gòu)造

例2.函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），滿足xf ′（x）+2f（x）=lnxx，且f（e）=12e，則f（x）的極值情況為（ ）

A.有極大值無極小值

B.有極小值無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值也無極小值

【解析】∵xf ′（x）+2f（x）=lnxx

∴x2f ′（x）+2xf（x）=lnx，∴x2f（x）′=lnx

∴x2f（x）=xlnx-x+c，將x=e代入可得：e2f（e）=elne-e+c

∵f（e）=12e，∴c=e2則x2f（x）=xlnx-x+e2，得f（x）=2xlnx-2x+e2x2

∴f ′（x）=-xlnx+2x-ex3

令g（x）=-xlnx+2x-e則g′（x）=1-lnx，

當(dāng)x∈（0，e）時，g′（x）>0，當(dāng)x∈（e，+∞）時，g′（x）<0，

故當(dāng)x=e時，g（x）取最大值0，故g（x）0恒成立，故f ′（x）0恒成立，故既無極大值也無極小值，故選D.

解題技巧：這類問題在構(gòu)造函數(shù)時，注意逆向思維，構(gòu)造出的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與已知條件相同，或者能夠利用已知條件求解.

三、與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)構(gòu)造

例3.已知函數(shù)y=f（x）對于任意x∈-π2，π2滿足f ′（x）cosx+f（x）sinx>0（其中f ′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式不成立的是（）

A.2f π3

B.2f -π3

C.f（0）<2f π4

D.f（0）<2f π3

【解析】構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）cosx，則F ′（x）=f ′（x）cosx+f（x）sinxcos2x，導(dǎo)函數(shù)f ′（x）滿足f ′（x）cosx+f（x）sinx>0，則F′（x）>0，F(xiàn)（x）在（-π2，π2）上單調(diào)遞增，把選項轉(zhuǎn)化后可知選B.

解題技巧：sinx，cosx因為導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性，所以也是重點考察的范疇，常考的幾種形式.

F（x）=f（x）sinx，F(xiàn)′（x）=f ′（x）sinx+f（x）cosx;

F（x）=f（x）sinx，F(xiàn)′（x）=f ′（x）sinx-f（x）cosxsin2x;

F（x）=f（x）cosx，F(xiàn)′（x）=f ′（x）cosx-f（x）sinx;

F（x）=f（x）cosx，F(xiàn)′（x）=f ′（x）cosx+f（x）sinxcos2x.

構(gòu)造函數(shù)時注意正弦、余弦的導(dǎo)數(shù)公式，尤其注意余弦的導(dǎo)數(shù)公式的符號.

四、具體函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)構(gòu)造

例4.α，β∈-π2，π2，且αsinα-βsinβ>0，則下列結(jié)論正確的是（）

A.α>βB.α2>β2

C.α<βD.α+β>0

【解析】構(gòu)造f（x）=xsinx形式，則f ′（x）=sinx+xcosx，x∈0，π2時導(dǎo)函數(shù)f ′（x）0，f（x）單調(diào)遞增;x∈-π2，0時導(dǎo)函數(shù)f ′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.又∵f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和圖象可知選B.

解題技巧：這類題型需要根據(jù)題意構(gòu)造具體的函數(shù)關(guān)系式，通過具體的關(guān)系式去解決不等式和求值問題.