用時域有限差分法分析雙頻帶濾波器的教學探討

王本新

摘要：雙頻段濾波器是微納光學與材料課程中一類非常重要的器件，它在工業生產實際過程中具有廣泛應用。然而學生對此類器件的相關理論方面的內容是含糊不清的。為加強學生對本知識點的理解和掌握，本文借助時域有限差分法從理論上詳細討論雙頻段濾波器是如何構建以及如何工作的。鑒于所采用的教學輔助方法非常的直觀和形象，因此可明顯提高學生的學習積極性和對本知識點的識記。

關鍵詞：時域有限差分法;雙波段濾波器;理論模型

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）12-0118-02

一、引言

微納光學與材料是江南大學理學院光電信息科學與工程系開設的一門與光電領域相關的課程，該課程旨在討論近年來微納光學器件及材料在本學科領域的研究現狀、最新研究進展等方面的內容。雙頻段濾波器是本課程中一個非常重要的知識點，需要學生能重點識記和掌握。然而在現有課程體系中，該部分內容主要講解多頻帶濾波器是如何構造以及具備何種應用潛能，缺乏對器件的詳盡理論討論，這就使得學生對本部分知識點存在著理解盲區。如尋找到具有直觀化和形象化的教學輔助方法將有助于學生對本知識點掌握。近年來，基于時域有限差分法的數值仿真軟件廣泛應用于微納器件與材料的理論設計、分析與研究[1-3]。該方法在高年級學生（如碩士研究生和博士研究生）中具有較高的普及程度，而對低年級的本科生來說是非常的陌生。針對這一現狀，本文首先簡單介紹基于時域有限差分法的數值仿真軟件，緊接著用該軟件詳細討論雙頻帶濾波器是如何建模、如何工作等理論內容。

二、時域有限差分法簡介

時域有限差分法的英文全稱為Finite difference time domain method，該方法由美籍港人Yee于1966年首次提出并用于分析柱形結構的電磁散射問題[4]。但該方法并沒有得到科研工作者的廣泛關注與重視，這是由于當時的計算機水平還處于起步階段，無法滿足其對計算機內存的需求。后來，隨著計算機水平和計算機內存的快速擴容為該方法的普及提供了契機。時至今日，該方法已較為成熟，它已成為理論分析各類微納光電器件的重要手段之一[5，6]。更為重要的是，基于該方法的數值仿真軟件具有可視化程度高、操作易上手、易于掌控的優點，因此這一輔助軟件非常符合現階段本科生的接受水平。關于該方法和基于該方法的仿真軟件的詳細討論可參閱文獻5和6。

三、雙頻段濾波器的理論分析教學探討

圖1給出了一較為常見的雙頻段濾波器的結構示意圖。在該示意圖中，使用兩個相互嵌套的金屬環置于一特定厚度的二氧化硅襯底材料上用于分析和討論雙頻段濾波器。兩相互嵌套的金屬環的半徑分別為：R1=45 μm，R2=30 μm，它們的線寬度均為w=5 μm。二氧化硅襯底材料的折射率為n=1.5。真實情況的雙頻帶濾波器是內含無數個如圖1所示的晶格結構，為模擬或匹配這一情況，可采用周期性邊界條件實現。該晶格結構的周期為P=100 μm。當一束平面電磁波照射到兩相互嵌套的金屬環上時，便可實現對特定波長的俘獲作用，從而實現雙頻段濾波效應。

圖2給出了電磁波照射兩相互嵌套的金屬環陣列結構后的透射圖。可明顯觀察到兩個透射系數接近于0的低谷，分別標記為A和B。其中A點的頻率為0.93 THz，B的頻率為1.57 THz。由于A和B的透射系數均接近于0，表明該微納結構可實現雙頻帶濾波性能。那么同學們可能好奇為什么該微納結構可實現雙頻帶濾波，或其內在共振機理是什么呢？

為解決學生對以上問題的疑問，作者帶領學生一起分析為何該微納結構可實現雙頻段濾波。既然要分析實現雙頻帶濾波的原因，可借助該數值仿真軟件模擬每一頻率下的電場分布。如圖3（a）所示，A點處的電場主要集中在金屬環半徑為R1的外環上，而半徑為R2的內環上基本無電場分布。與此相反的是，B點處的電場主要聚集在環半徑為R2的內環上，而半徑為R1的外環上無明顯電場聚集，見圖3（b）。根據這些電場分布，可推斷出A點的共振主要與金屬外環有關，而B點的形成機理應與金屬內環有關聯。實際上，這個推斷是顯然的，根據經典的LC回路共振理論[7]，每一金屬共振器對應的濾波頻率均與其尺寸成反比。這就不難理解為什么A點和B點的形成機理分別源自于金屬外環和內環的共振響應。

根據這一理論，還能夠得到如下結論：（1）當金屬外環半徑R1變化而固定內環半徑R1時，應該僅僅影響雙頻帶濾波器件中A點的頻率，而B點的頻率固定不變或輕微移動;（2）當僅僅改變金屬內環半徑R2時，可明顯調控雙頻段濾波器件中B點的頻率，而稍稍影響A點的頻率。圖4（a）和4（b）分別給出了金屬外環半徑R1和內環半徑R2的變化對雙頻段濾波器共振性能的影響。結果展示，金屬外環半徑R1的變化可明顯影響濾波器件低頻點A處的頻率，而對高頻點B處的頻率幾乎無影響，見圖4（a）。與此相反的是，金屬內環半徑R2的變化可顯著調控濾波器件高頻點B處的頻率，而輕微影響低頻點A處的頻率，見圖4（b）。這些計算結果高度匹配經典LC理論模型的預測數值。

四、結束語

通過借助時域有限差分法的數值仿真軟件對雙頻段濾波器件的討論，能夠充分調動學生學習的積極性和主觀能動性，并能提高學生對本部分的理解與識記。隨著微納光學的進一步發展，相信該方法在微納光學與材料課程中將發揮更大的作用。鑒于該方法具有諸如簡單化、可視化和易操作的特點，預期學生在掌握本知識點的同時，能夠具備舉一反三和增強相關知識點的理解能力，從而在培養學生的自主創新能力和意識上具有重要的意義和作用。

參考文獻：

[1]胡瑞.基于復合微納金屬光柵—波導結構的雙通道帶通濾波器的設計[D].大連：大連理工大學，2015.

[2]羅虎.亞波長金屬結構光傳輸特性的時域有限差分模擬[D].衡陽：南華大學，2012.

[3]林靜.表面等離子微納結構光束調控器件的設計研究[D].北京：中國科學院研究生院（光電技術研究所），2013.

[4]Yee K.S.Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14（3）：302-307.

[5]葛德彪，閆玉波.電磁波時域有限差分方法[M].西安：西安電子科技大學出版社，2011.

[6]呂英華.計算電磁學的數值方法[M].北京：清華大學出版社，2006.

[7]Ye Y.，Jin Y.，He S.Omni-directional，broadband and polarization-insensitive thin absorber in the terahertz regime[J].Journal of the Optical Society of America B，2010，27（3）：498-503.

Teaching Analysis of Dual-band Filter Using Finite Different Time Domain Method

WANG Ben-xin

（School of Science，Jiangnan University，Wuxi，Jiangsu 214122，China）

Abstract：Dual-band filter is a very important device in the course of Micro-nano Optics and Materials.It is widely used in industrial production.However，students are ambiguous about the theoretical aspects of such devices.In order to strengthen the students' understanding and mastery of this knowledge point，this paper discusses in detail how the dual-band filter is constructed and how to work by using the finite difference time domain method.In view of the fact that the teaching aid method adopted is very intuitive and vivid，it can obviously improve students' learning enthusiasm and knowledge of this knowledge point.

Key words：finite difference time domain method;dual-band filter;theoretical model