數值優化方法研究型教學改革探索

杜守強

[摘 要]研究型教學有助于突出學生的學習主導地位，培養實用型創新型人才。數值優化方法課程實用性強，適合開展研究型教學。文章探討了充分利用現代多媒體、網絡等技術并結合專業軟件開展數值優化方法課程教學模式，同時通過組織與引導學生有效開展課程論文撰寫、課堂研討等活動，激發學生的自主學習熱情，加深學生對課程學習內容的理解與掌握，提升學生解決課程相關實際問題的能力與創新學習能力。

[關鍵詞]研究型教學;數值優化方法;課程改革

[中圖分類號] G420.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）04-0093-04

研究型教學也稱為研討式教學，是教師以課程內容和學生的知識儲備為基礎，引導學生創造性地運用知識和能力，自主地發現問題、研究問題和解決問題，在研討中積累知識、培養能力和鍛煉思維的新型教學模式[1]。開展研究型教學的目的是突出學生的主導地位，改變學生被動學習的方式，讓學生從“讓我學”轉變到“我要學”的狀態;結合當今大學的“雙一流學科”建設，激發本科生的創新能力，提高學生綜合運用知識的能力;在現有教學資源的基礎上，實現教學質量的全面提升，培養出具有人格魅力與真知探索精神的當代優秀大學生。

數值優化方法課程是數學專業本科一門重要的應用型課程，主要介紹最優化數值計算方法，討論決策問題的最佳選擇方案，構造尋求最優解的計算方法[2-5]。近年來，由于計算機技術的高速發展以及互聯網技術、人工智能技術等技術的進一步成熟，最優化數值計算方法與思想已經在科學、工程、國防、交通、經濟管理、金融工程、大規模科學計算等領域得到廣泛應用。同時關于優化方法的課程也在全國高校的相關數學類本科專業、工科類專業、經濟管理類專業得到了廣泛開設。由于各高校課程內容設置的側重點不同，該課程名稱也略有區別，如最優化方法、最優化理論與方法等[6-7]。該課程的主要內容有最優化理論與方法數學基礎、線性規劃、線搜索與信賴域技術、無約束優化、線性與非線性最小二乘問題、二次規劃、約束優化、非光滑優化、特殊優化問題介紹等幾個大的知識模塊。其教學內容涵蓋了最優化領域的最基本、最實用、最有效的現代優化方法，課程學習者可以了解最優化方法的動機、算法設計步驟、方法收斂性質、收斂速度分析與數值實驗。

二、改革教學方法，建立創新模式

研究型教學是針對傳統大學教學方式提出的創新型教學改革探索模式，是新時代培養創新型人才、促進大學教育教學模式改革的重要推動力。研究型教學能有力促進人才培養質量提高，平衡大學中科研與教學的力量分配，盡最大可能發揮大學的育人功能，積極回應社會公眾對高等教育改革發展的期盼。數值優化方法課程由于具有極強的應用性，學生在學習完相關的數學分析、高等代數、數學模型等課程的基礎上可以結合實際問題開展專題學習與研討。教師可以采用啟發式教學方法，讓學生結合具體問題，利用教師給出的學習大綱在互聯網上查找相關的學習文件、課程講解大綱以及多媒體資源。改變教師既“導”又“演”而學生觀看的傳統教學模式。例如在講授完優化基礎知識與線搜索、信賴域等知識點后，可以讓學生結合學習的無約束優化方法設計框架自主學習無約束優化方法設計部分的梯度類算法、牛頓法。學生通過對梯度類算法、牛頓法、擬牛頓法等知識的自主學習，激發出設計優化算法的熱情，教師適時通過課堂講授算法收斂性分析、公式推導等理論知識，讓學生領悟算法理論、公式推導等知識點的重要性，避免感到數學理論推導的枯燥與煩瑣。

充分利用現代多媒體、網絡等教學手段，結合Matlab等專業軟件進行多手段、全方位教學，比如可以利用清華大學雨課堂教學平臺[8]，開展以手機微信平臺為載體的教學。雨課堂是基于MOOC的混合式教學模式，是清華大學于2015年9月啟動建設、2016年4月正式推出的智慧教學工具，這種工具能在教學過程中充分體現移動互聯技術、云計算以及數據挖掘等現代信息技術。雨課堂作為高等教育教學工具，主要分為手機端、電腦端、遠程服務器三個部分。學生通過登錄教師創建的課程班級可以實現課堂實時課件學習、疑難問答，教師可以利用網絡平臺開展實時提問、學生學習情況統計等一系列工作。學生通過學習Matlab程序軟件知識，可以完成優化算法的實時數值實驗，從中真正體驗到學習優化算法解決實際問題的樂趣。

結合大學生數學建模競賽與大學生創新項目立項開展專題式教學，讓學生參與科研教學活動，以促進學生創新能力培養。數值優化方法課程的專題可以通過優化問題的案例式教學開展[9]，設計具體的優化問題如圖像的恢復與重建優化問題[10-15]，主要研究如何通過觀測到的數據來恢復原始圖像。伴隨著相關科學技術的發展以及新的壓縮與采樣方式的出現，在保證圖像重構基礎上的少量數據恢復技術，對應的優化問題為欠定線性逆問題。對此類優化問題的求解研究十分活躍，近年來給出了很多相關的優化算法 （如文獻[10-15]），該問題描述為

通過具體問題的求解分析讓學生提高課堂學習主動性與課下學習研討的動力，通過對實際問題的分析求解，把學習的技能用于大學生數學建模競賽、大學生“挑戰杯”大賽與大學生創新項目立項等學生的學習創新活動，進一步激發學生創新學習的熱情。另外，結合優化問題研究進展，不斷更新主題研討優化問題算法的研究現狀分析，讓學生接觸到科技發展的前沿，比如可以結合梯度類算法的研究進展，讓學生在國內外學術網站上自主檢索最新的研究成果。

二、具體課程教學設計

此部分結合文獻[1-9]的理論以及筆者具體的教學實踐，給出數值優化方法課程的具體教學設計。

（一）課程性質與定位

數值優化方法是研究在有限種或無限種可行方案中挑選最優方案，構造尋求最優解的計算方法，其廣泛應用于各個領域，在數學教學中占有重要地位。數值優化方法課程系統地介紹了數值求解最優化問題的基本方法和基本性質，注重最優化方法的基礎性與實用性。通過本課程的學習使學生掌握利用優化方法解決實際問題，學會用Matlab等數學軟件求解優化問題，鍛煉數學思維能力和應用技巧，培養和增加將數學應用于工業生產、經濟管理等方面的興趣，提高科學素養。本課程旨在為提升全體學生的整體數學素質，以及為部分學生進一步考取運籌學與控制論專業、計算數學專業、應用數學專業、統計學專業、管理科學與工程專業等相關專業的研究生奠定基礎。

（二）課程設計思路

1.全方位參與學習

本課程的教學大綱以學生掌握優化理論與方法為重點，提高學生的創新能力為出發點，實行“三位一體”的教學方法。“三位”為教師、學生、課下輔導教師，“一體”為以學生小組為主體的研討。結合學校的大學生創新項目、“挑戰杯”競賽、數學建模競賽等活動，開展科技論文寫作訓練。

2.課堂研討與專家講座結合

最優化數值方法是一個不斷發展的學科方向，作為數學專業的一門重要專業課程，教師在課程教學過程中要不斷啟發學生進行科研學習訓練，鼓勵學生獨立開展創新性研究。課堂研討可以及時、有效地體現學生在研究過程中存在的問題，幫助教師高效地指導學生完成科研創新工作。專家講座可以讓學生開闊學術研究視野，及時了解到本學科前沿的發展情況，為其日后開展科技論文寫作、畢業論文寫作、考取研究生、選取研究方向奠定基礎。

（三）教學目標

本課程的教學目標為結合優化理論的發展，理論與實際相結合，培養學生解決數學、工程學、經濟管理學問題的能力和創新能力，幫助學生養成初步的科研素養，提高學生的數學素養，培養學生對優化理論與方法的學習研究興趣，為相關學科發展儲備人才庫。

（四）教學方法與策略

教師教學時結合課程內容，實施多邊的課堂互動。結合具體優化方法的學習，教師介紹方法的發展歷程、發展現狀，學生通過資料查找與研習在課堂上發表自己的研究思路，以教師為主導開展研究型教學。學生結合課下學習與專家講座，教師在教學內容、教學層次、教學方法、作業練習、課程評價考核等方面將教學內容與學科發展前沿相結合，鼓勵學生開展逆向思維、發散思維。

多元化課程考核除了傳統的期中、期末考試以外，增加科技論文撰寫、科技創新答辯、課程參與度評價等手段科學評價每一位學生。

（五）學習要求與方法指導

通過相關習題的訓練加深對課程學習的理解和掌握，提高靈活運用各種知識的能力。在科研小組訓練的過程中完成3篇課程研討論文，訓練學生的創新能力與綜合歸納能力。結合學校、學院大學生創新項目立項，發現一批成績優秀、科研能力突出的學生，爭取推薦到合適的高校、科研院所攻讀碩士研究生。

（六）教學資源與教學條件配置

1.配備助教

結合教師的實際情況，配備2名碩士研究生課外指導學生學習基本科技論文檢索、篩選等方法。

2.網絡教學條件

學校電子圖書館有中國知網、萬方等多個網站的檢索權限，方便學生進行科技論文檢索。學生可以到圖書館上網瀏覽學校的各類精品課程網站。

3.實踐性教學條件

學院報告廳周末時間可以讓學生開展學術論文報告、集中研討等活動。

（七）教材與參考資料

（1）孫文瑜，徐成賢，朱德通.最優化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

（2）袁亞湘，孫文瑜.最優化理論與方法[M].北京：科學出版社，2019.

（3）CLARKE F H Optimization and Nonsmooth Analysis[M]. New York：John Wiley and Sons， 1983.

（4）NOCEDAL J， WRIGHT S J. Numerical Optimization[M]. New York： Springer， 1999.

（八）課程考核

課程論文、課程作業占20%，研討發言占20%，課程考試占閉卷考試的60%。

（九）課程學時分配

（1）優化基礎理論與相關數學基本概念，4學時

研討主題：優化方法課程與以往課程的聯系

（2）線性規劃，4學時

研討主題：線性規劃的應用

（3）線搜索與信賴域法，6學時

研討主題：線搜索優化方法與計算

（4）無約束最優化方法，6學時

研討主題：無約束優化方法新發展

（5）線性與非線性最小二乘問題，6學時

研討主題：最小二乘問題的應用

（6）二次規劃，4學時

研討主題：經濟學中的凸優化理論

（7）約束最優化的理論與方法，6學時

研討主題：約束優化的理論與應用

（8）非光滑優化簡介，4學時

研討主題：非光滑優化特征

（9）特殊結構優化問題，4學時

研討主題：特殊優化問題的算法設計

（10）課程總結，4學時

教學內容：各研討小組結合一個學期完成的課程研討論文，匯報課程論文與相關工作，進行綜合評價。

三、結語

通過對數值優化方法課程的教學改革與實踐，我們加深了對研究型課程改革的認識，體會到研究型課程教學改革的重要性與必要性，認清教學活動的短板與改進的方向，并認識到因材施教的重要性、學生自主學習的必要性、課外師生交流活動的靈活性以及課業考核的嚴肅性。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 劉建清，李克武，鄭倫楚.研究型教學：探索與實踐[M].武漢：華中師范大學出版社，2012.

[2] 袁亞湘，孫文瑜. 最優化理論與方法[M].北京：科學出版社，2019.

[3] 孫文瑜，徐成賢，朱德通. 最優化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

[4] 袁亞湘. 非線性規劃數值方法[M].上海：上海科學技術出版社，1993.

[5] NOCEDAL J， WRIGHT S J. Numerical Optimization[M].New York： Springer， 1999.

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[責任編輯：龐丹丹]