《平方差公式》教學設計與反思

【摘要】本文以《平方差公式》教學為例，闡述在初中數學教學中向學生滲透從一般到特殊、從具體到抽象、數形結合等數學思想的途徑，以期提升學生數學學科素養。

【關鍵詞】平方差公式 數形結合 簡便運算

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）12A-0103-03

平方差公式是初中階段一個非常重要的公式，是學生掌握了多項式乘法后自然過渡到的具有特殊形式的多項式乘法，是從一般到特殊的認知規律的典型范例，它在初中階段的學習中具有重要的地位。某些具有特殊形式的多項式相乘，可以寫成平方差公式的形式。當遇到特殊形式的多項式相乘時，就可以直接運用公式寫出結果，優化運算過程。平方差公式也是后續學習因式分解中公式法的重要基礎，在代數中具有廣泛的應用。

一、內容和內容解析

（一）內容

平方差公式。

（二）內容解析

平方差公式的符號表示和語言表述揭示了公式的結構特征。公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具體的數，也可以是單項式、多項式、分式等任何代數式。平方差公式的得出，以多項式乘法與合并同類項為基礎，從一般形式的整式乘法運算到特殊形式的乘法運算概括出乘法公式，體現了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的過程，從具體的具有特殊形式的幾組多項式乘法的運算結果中，通過觀察、比較、抽象概括出一般的形式，并通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，體現了從具體到抽象的研究方法。用幾何圖形說明代數式，也是本章節的一條主線，所以本節課也利用圖形面積輔助對公式意義的理解。基于以上分析，筆者確定本節課的教學重點是：理解平方差公式。

二、目標和目標解析

（一）目標

1.理解平方差公式，能運用公式進行計算;

2.在推導平方差公式的過程中，經歷觀察、比較、分析、抽象和概括，發展學生的數感、符號意識和運算能力;

3.在探索平方差公式的過程中，感悟從具體到抽象的研究問題的方法，在驗證平方差公式的過程中，感知數形結合、轉化的思想。

（二）目標解析

達成目標1的標志是：理解平方差公式的基本結構和特征，會用符號表示公式，能用文字語言表述公式的內容，在字母表示具體的數、單項式、多項式時能正確地運用公式進行計算，同時能自己給出滿足平方差公式的式子。

達成目標2的標志是：學生知道由多項式乘法到平方差公式是一般到特殊的過程，能根據多項式的乘法法則推導出平方差公式。

達成目標3的標志是：學生在探索公式的過程中，體驗由具體到抽象的過程;在利用幾何圖形的面積驗證公式的過程中，了解驗證平方差公式的方法，感知數形結合的思想。切割不規則圖形拼接成規則圖形計算面積，感知轉化思想。

三、教學問題診斷分析

學生的基本認知能力有：（一）具備用字母代替數、多項式等的能力;（二）熟練掌握冪的運算和整式的乘法，在此基礎上繼續學習具有特殊形式的多項式乘法。平方差公式是結構特殊的多項式相乘，公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具體的數，也可以是單項式、多項式等，情況比較復雜，對于初次接觸平方差公式的學生來說，找準哪個數式是公式中的a、哪個數式是公式中的b有一定困難。為了突破這些難點，教師應加強對學生的引導，帶領學生分析公式的結構特征，總結兩個相乘式子中“一同一反”的量，讓學生進一步領會平方差公式的實質。因此，本節課的教學難點是：平方差公式的變式應用。

四、教學支持條件分析

學生可自主動手操作進行剪紙，展示圖形割補情況。在學生分小組探究時，教師可以利用多媒體直接展示學生的成果。

五、教學過程設計

師（引入）：上節課我們學習了整式的乘法，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，如（a+b）（x+y）=ax+ay+bx+by，某些特殊形式的多項式相乘，可以寫成公式的形式。

（一）探究平方差公式

問題1：根據所學知識，計算下列多項式相乘的積，并寫出結果。

（1）（x+1）（x-1）=

（2）（2+m）（2-m）=

（3）（2y-3）（2y+3）=

（4）（-a+b）（-a-b）=

師生活動：學生思考回答，教師板書，師生共同評價學生的回答，給予肯定。

設計意圖：復習并鞏固多項式與多項式相乘的法則，為本節課的學習鋪墊。四個具有代表性和層次性的多項式與多項式相乘，可以為之后抽象概括出公式的結構奠定基礎，也讓學生體會從一般到特殊的數學思想方法。

追問1：這些題目的結果有什么特點？

師生活動：學生觀察可以發現結果是平方差的形式，教師此時進行適當的引導。

設計意圖：從結果出發尋找公式的結構特征，讓學生理解平方差公式名稱的由來，體現了本節課的教學重點。

追問2：為什么結果是平方差？

師生活動：教師從結果的特點引導學生發現公式的特殊結構。

設計意圖：讓學生經歷觀察、比較、抽象概括的過程，從中體會從一般到特殊的基本思想方法。

追問3：看題目有什么特點？具有怎樣特點的兩個多項式相乘才得平方差？

師生活動：學生觀察發現兩個多項式相乘，括號內符號為“一同一反”。用一個字母a表示符號相同一項，用另一個字母b表示符號相反一項，根據結果特點，得出此公式（a+b）（a-b）=a2-b2;教師鼓勵學生用語言描述公式“兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差”，強調式子中的a，b可表示數或式子。

設計意圖：讓學生體驗并理解平方差公式的結構特征，抓住“一同一反”這個特征深入剖析平方差公式的本質，加深學生的理解，為后續的公式的靈活運用做好鋪墊，從而突破教學難點。

（二）驗證平方差公式

問題2：公式的結果含有平方，平方一般用于怎樣的計算？

師生活動：學生思考;教師引導學生由一個數的平方聯想到正方形的面積，由兩個不等數的相乘聯想到長方形的面積。

設計意圖：從平方差的結果入手，讓學生經歷從數到形的過程驗證平方差公式，同時感悟平方差公式的幾何意義，通過探究活動，學生在初次接觸平方差公式時能深刻地體會數形結合的思想。

追問1：式子右邊平方差你想到什么？

追問2：你可以用圖形面積解釋式子左右兩邊的含義嗎？

（預設學生可能會出現如下的拼圖形式）

師生活動：學生動手操作、交流，教師引導。

設計意圖：在計算面積時，引導學生將不規則圖形轉化成規則圖形，滲透數形結合、轉化的數學思想。拼圖、計算圖形的面積這個過程體現學生自主學習以及動手操作的能力，激發學生參與課堂的熱情。

（三）鞏固運用

例1 判斷：下列哪個式子的結果是平方差？如果是，請你把結果表示出來。

（1）（n-m）（m-n）? ? ?（2）（m+n）（n+m）

（3）（-m+n）（-m-n） ? （4）（-y-x）（x-y）

（5）（y+x）（-x-y）? ? ?（6）（3x+2）（3x-2）

（7）（-x+2y）（-x-2y）? ? （8）（2a+c）（2c-a）

師生活動：師生共同分析解答，教師板書示范解題過程。

設計意圖：通過辨析，認真剖析公式的結構特征，檢驗學生是否理解公式的本質，突出本節課的重點，又為下面讓學生自己出題鋪墊，從而更好地突破本節課的難點。

練習1 每組出兩道題并附上解答過程，看哪組的設計最好。

師生活動：學生小組合作交流，教師參與學生的小組討論，投屏展示典型、新穎的題目。

設計意圖：這樣的教學使學生對平方差公式的運用條件有更深入的體會，突破本節課的難點。在此處檢驗學生的課堂學習效果，捕捉課堂的生成教學，強化重點。讓學生明確學習平方差公式的目的是進行簡便計算。

練習2 計算：

（1）（x+[12]）（x2+[14]）（x-[12]）

（2）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

（3）（a+b+c）（a-b-c）

師生活動：學生思考并計算，教師引導學生觀察并發現規律，及時總結。

設計意圖：設計拔高類型的題目，考查學生能力。第（1）問將后兩個多項式交換一下位置，便可以運用平方差公式進行計算，得出結果又可以與剩下的多項式運用平方差公式計算，從而實現計算的簡便;第（2）問需要乘上（2-1）來構造滿足平方差公式的結構，根據等式的性質乘上（2-1）要同時除以（2-1）;第（3）問通過變形，找出完全相同的項是a，（b+c）是符號相反的項，此問難度在于變形，對學生來說解答時有一定的難度，培養學生分析和解決問題的能力。三道練習題，難度呈階梯式上升，兼顧不同層次的學生。

（四）小結

教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，并請學生回答以下問題：本節學到哪些知識？感悟到了哪些數學思想？

師生活動：學生自主回答，師生交流。

設計意圖：第一個問題使學生梳理本節課所學內容，明確本節課學習平方差公式的目的，能運用公式進行簡便計算，把握本節課的核心——平方差公式的應用。第二個問題讓學生回顧在探究平方差公式的過程中從一般多項式相乘中發現特殊形式可以直接套用公式，體現了從一般到特殊的數學思想;利用圖形面積來解釋公式的意義，用圖形輔助數，體現了數形結合思想;求不規則圖形面積時，運用割補法將不規則圖形轉化為規則圖形進而利用公式，體現了轉化的數學思想。

（五）布置作業

教科書習題14.2第1題。

（六）板書設計

（七）目標檢測設計

1.下列各式中，不能運用平方差公式進行計算的是（? ）

（A）（m-n）（-m-n） （B）（x3+y3）（y3-x3）

（C）（-m+n）（m-n） ? ?（D）（2x-3）（2x+3）

2.運用平方差公式計算

（1）（mn+9）（9-mn） （2）2x（x-1）-（2x+1）（1-2x）

3.計算

（1）1998×2002 （2）（9+1）（92+1）（94+1）（98+1）

六、教學反思

（一）對教材的反思

平方差公式是某些特殊形式的多項式的乘法，是學生在學習了多項式乘法之后學習的第一個重要的公式，為后續因式分解中公式法的學習，以及后面分式的化簡求值奠定基礎，是初中代數的重要內容。

探索平方差公式的過程，通過觀察、比較具體的具有特殊形式的幾組多項式乘法的運算結果，抽象概括出一般的形式，并通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，體現了從具體到抽象的研究問題的方法。

用幾何圖形說明代數式也是這一章的一條主線，所以本節課也利用圖形面積輔助對公式意義的理解。筆者在備課時積極研究教材的探究題以及課后習題，準確把握本節課的重點與難點。

（二）對教學過程的反思

在導入環節，筆者基于學生的知識生長點，從復習回顧多項式乘法法則入手，利用四個具有特殊形式的多項式相乘，通過設計問題鏈，引導學生觀察、比較，發現結果的結構特征：平方差，讓學生對平方差公式有第一印象。再引導學生思考產生這樣特殊結果的原因，讓學生去發現式子左邊多項式存在“一同一反”的特征，強化對公式結構特征的理解。

在抽象概括的環節，筆者注重培養學生的語言表述能力。驗證平方差公式時，從“平方”入手引導學生從圖形面積去驗證公式，公式右邊看作邊長為a的正方形的面積減去邊長為b的正方形的面積等。在此過程中，利用拼圖使學生更加直觀地感受面積的轉化，滲透數形結合以及轉化思想。

驗證公式后，筆者通過設置練習檢驗學生對知識的掌握情況。筆者通過例1帶領學生鞏固平方差公式;練習1讓學生自己設計題目并完成計算，學生必須在足夠了解公式結構的基礎上才能設計出好題目，此環節滿足不同層次的學生。學生的分享展示，體現公式應用的廣度和深度，在練習2設置了三道不一樣的提高題，讓不同層次的學生都收獲滿滿。最后從方法和思想兩方面進行課堂小結，再次向學生滲透相關數學思想。

注：本課例榮獲2019年南寧市初中數學優質課比賽二等獎。

作者簡介：陳佳（1987— ），女，廣西博白人，中學一級教師，理學學士。研究方向：中學數學教學。

（責編 劉小瑗）