高中數學中的立體幾何的解題技巧

黃燦

【摘要】立體幾何是高中數學學習的重點內容，同時也是一大學習難點.掌握正確高效的解題技巧對立體幾何的學習尤其重要.作為高中生，我們必須重視立體幾何的學習，除了多聽例題講解、多做練習之外，還要探究怎樣更快更正確地去解題.在練習中總結經驗，掌握更豐富的解決技巧，才能開展更深入、更有效的學習，促進立體幾何學習質量的提高.

【關鍵詞】高中學生;數學學習;立體幾何;解題技巧

高中立體幾何是高中數學學習中公認的難點內容，我們在學習過程中必須有一定的立體感，才能理解立體幾何的概念、原理、解題思路和方法.這就需要我們在汲取知識的同時，有意識地培養自己的立體感，拓展解題思路，再加上反復練習、總結經驗，必然有助于立體幾何解題能力的提高.以下將結合本人的學習經驗，談一談立體幾何的解題技巧.

一、建立空間觀念，提升自身空間想象力

進入高中之后，我們不但需要對平面圖形有所了解，而且還需要逐步了解立體圖形，這對我們是一種挑戰，更是知識學習的飛躍.我們要清晰認識到飛躍需要一個過程，也就是知識過渡和進階的過程.在接觸立體幾何之初，我們可以自己嘗試制作空間幾何模型，根據教材內容進行觀察對照.或者結合教材上的立體圖形進行反復揣摩，在頭腦中構建起點、線、面、角的關系，嘗試從不同角度作輔助線，這些實踐都有利于我們建立立體空間感.在具體學習過程中，我們要結合自己的知識理解能力選擇更有效的學習方法，在反復觀察、探究、思考的過程中形成正確的立體空間觀念，提高自己的空間想象力，為后續學習的開展打下良好基礎.剛剛接觸立體幾何時，要有意識地強化空間感意識，平時主動去構建較為簡單的模型，以此提高自身的立體空間想象力.例如，先從直觀的長方體、正方體制作入手，對這些模型進行多層面、多角度的觀察，尋找點線面之間的關系，結合具體題目進行延伸，這樣的思維模式對提高立體幾何的解題能力有很大幫助.

理解立體幾何圖形中線與面的關系，才能提高解題正確率.這就需要在學習過程中強化自己的繪圖能力，通過親自動手描繪建立起立體感，詮釋其中的數量關系.最初可以從較為簡單的立體圖形繪制入手，在掌握繪制技巧之后，可以適當進行延伸，掌握繪圖方法對日后解答立體幾何問題有很大幫助，尤其是對空間想象力和圖形聯想能力的提高很有價值.

二、轉換圖形，學會運用運動觀點進行解題

在學習立體幾何的過程中，一定要有靈活的思維，才能及時應對題型及內容的變化.譬如，在“最值與范圍”相關問題的解答中，可以嘗試將圖形進行靈活變換，引入運動變化原理，才能對問題做全面分析.利用這樣的解題方法，能夠更快、更正確地得出解題答案.

例如，如圖1所示，直三菱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC=2，AC=6，BC1上的點P可以任意進行移動，請將CP+PA1的最小值求出.

解析把A1和B連接在一起，沿BC1展開△CBC1，其與△A1B1C1在共同平面中，如圖2所示，把A1和C連接，因此，CP+PA1D的最小值則是A1C的長度.計算可得∠A1C1C=90°，∠BC1C=45°，所以∠A1C1C=135°.通過余弦定理計算，可得出A1C=52，所以，CP+PA的最小值為52.

上述問題能夠強化我們對最小值距離概念的認識，并掌握相應的計算方法，通過題型變化來解答問題.因此，在立體幾何“最小值與范圍”的學習中，我們可以合理轉變圖形位置，引入變化觀念對既有問題進行分析，找到正確的解題方式，以此提高立體幾何的解題效率.

三、構建未知關系，簡化運算

在解答立體幾何問題時，我們也可以采用“設而不求”的方法，也就是根據已知條件設定最佳未知數，從而建立起已知和未知數量之間的關系，這樣就能提煉出解決問題的方法.但是，所設置的未知數卻無須在解答過程中求出.如果立體幾何問題較為復雜，而且已知條件不足，就能夠運用“設而不求”的方法進行解答，設置合理參數，設定既有問題和已知條件的關系，避開“不求”部分和參數，從而更有效地解決問題.

例如，S-ABCD為正四棱錐，截取平面A1B1C1D1為多面體，保證與地面平行，地面上部面積為Q1，下部地面Q2，側面面積P，求出這一多面體的對角面面積.

根據已經學過的知識，多面體對角面呈等腰梯形，通過上下地面面積能夠求出上下底的長，高則為多面體高.如果直接代入計算，不但過程復雜而且難度較大.而運用“設而不求”的方法，則能夠假設對角面面積為S，上下地面邊長設為a，b，高為h，斜高h′，計算可得

S=2+a+2b2h=22（a+b）（h′）2-b-a22

=24（a+b）4（h′）2-（b-a）2

=24[2（a+b）（h′）]2-（b2-a2）2

=24p2-（q2-q1）2.

利用上述方法，不但能夠有效減少計算步驟和計算難度，而且還能提高解題效率.運用這一方法需要我們多觀察、多思考，建立起新舊知識的聯系，充分發揮空間聯想力，從而提高解決正確率.

四、結語

綜上所述，在學習立體幾何的過程中，首先要建立立體空間概念，懂得如何通過變換圖形、巧設條件尋找更簡便、更正確、更高效的解題方法.正確理解立體幾何圖形的數量關系，在解題過程中認真分析、反復求證，主動尋求解題捷徑，善于總結和應用經驗，以提高自己的解題能力.