淺析美與數(shù)學的對稱

摘?要：學會審美不僅可以陶冶情操，而且在對美的感受從感性走向理性的過程中，能使學生增強對數(shù)學本質(zhì)的認識。數(shù)學的美主要包括簡潔美、對稱美、周期美、和諧美。本文就數(shù)學對稱美從教材、試題出發(fā)，淺析教材、試題中數(shù)學定理、公式、函數(shù)、幾何以及折紙活動中蘊含的數(shù)學對稱美。旨在通過感悟數(shù)學的對稱美，提升學生的審美情趣，提升數(shù)學素養(yǎng)，感知數(shù)學來源于生活。

關(guān)鍵詞：對稱美;數(shù)學公式定理;函數(shù);幾何;折紙

意大利數(shù)學家帕喬利曾說過“沒有數(shù)學就沒有藝術(shù)”。生活中行星運動軌跡與橢圓圖形具有相似性，晝夜交替、四季循環(huán)與周期性相關(guān)，藝術(shù)品“最后的晚餐”中蘊含的黃金分割無處不在，是美與數(shù)學的結(jié)合。

數(shù)學也刻畫現(xiàn)實世界中的對稱美。世界上許多著名建筑例如印度泰姬陵、意大利蒙特城堡等等。自然界中如雪花、化學晶體等美的共性都與對稱性有關(guān)。對稱性在教材、試題中更是普遍存在，教師在日常教學中，除了傳授知識點以外，要帶領(lǐng)學生欣賞數(shù)學中的對稱美，培養(yǎng)學生的審美，提升學生的素養(yǎng)。

一、 數(shù)學公式、定理中的對稱美

數(shù)學公式、定理中，對稱美無處不在。代數(shù)中的對稱不似幾何對稱那樣直觀，它的表現(xiàn)形式十分靈活。例如，等差數(shù)列{n}（n=1，2…）在進行前n項求和時，可將Sn=1+2+…+n中第i項與第n-i+1項進行互換可得Sn=n+…+2+1，兩式相加過程中可發(fā)現(xiàn)得到的2Sn的每一項均為n+1，利用對稱性可容易推導證明等差數(shù)列{n}（n=1，2…）的前n項和公式。

二維形式柯西不等式：若a，b，c，d都是實數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時，等號成立。定理中不等式不僅反映了4個實數(shù)間的特定數(shù)量關(guān)系，而且在排列形式上規(guī)律明顯，具有對稱的美感。還有例如海倫公式：S=p（p-a）（p-b）（p-c），其中S為三角形的面積，p為三角形半周長，a，b，c為三角形三邊長;正弦定理：在任意△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的三邊分別為a，b，c，且△ABC的外接圓半徑為R，則有asinA=bsinB=csinC。這定理在交換其中的字母后仍然成立，都展現(xiàn)了數(shù)學的對稱美。

二、 函數(shù)中的對稱美

函數(shù)是整個中學數(shù)學重要的知識點之一，函數(shù)的性質(zhì)也是研究的重點，利用函數(shù)的性質(zhì)不僅有利于我們更全面地認識函數(shù)，在解題時也可以大大降低難度。例如三角函數(shù)中主要學習的正弦函數(shù)y=sinx的圖像既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，正切函數(shù)y=cosx的圖像是中心對稱圖形，在研究時，了解某一個對稱區(qū)間的性質(zhì)，則可以了解整個圖形的性質(zhì)，并且在解題時，也容易想到利用圖像的對稱性解決。另外，當我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上如果滿足f（x）=f（-x）或f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為偶函數(shù)或奇函數(shù)時，我們可將研究的區(qū)間縮減為一半，減少重復的工作。

例如2018年江西中考17題中第（1）小題：如圖，反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像相交于A（1，a），B兩點，點C在第四象限，CA∥y軸，∠ABC=90°。（1）求k的值及點B的坐標。其中反比例函數(shù)的斜率k由點A在反比例函數(shù)上可直接得出;從函數(shù)圖像的對稱性來看，可以發(fā)現(xiàn)點A與點B關(guān)于原點O（0，0）對稱，因此可以直觀地看出點B坐標為（-1，-2）。由此可發(fā)現(xiàn)利用對稱性可大大簡化做題步驟，為我們解決問題帶來便捷。

三、 幾何中的對稱美

畢達哥拉斯曾說過，“一切立體圖形中，最美的是球形;一切平面圖形中，最美的是圓形”，其最基本的緣故就是因為球與圓形具有典型的對稱性。數(shù)學教材中只要有幾何便處處有對稱美。

例如《坐標系與參數(shù)方程》中，教材介紹擺線后，就通過閱讀材料為我們展示了性質(zhì)優(yōu)美的幾種擺線圖形（如圖1）。不僅為我們介紹了星形線、介紹了內(nèi)擺線、外擺線，還讓我們在視覺上得到了享受。

擺線種類固定圓與滾動

圓的半徑之比?內(nèi)擺線4∶1?內(nèi)擺線5∶1

外擺線7∶3?外擺線1∶1

四、 折紙中的對稱美

我國的傳統(tǒng)藝術(shù)中例如剪紙、臉譜等都有軸對稱的共性，在數(shù)學中，時常涉及翻折這一有趣的幾何圖形，從翻折到軸對稱從而得出相等關(guān)系常常有助于我們進一步研究圖像的性質(zhì)。

例如，《拋物線及其標準方程》定義講解時，教師可采用折紙活動，給每位同學發(fā)一份學案，學案上呈現(xiàn)7條平行線l1（i=1，2，3，4，5，6，7），一條垂直于平行線的垂線，交點記為A1（i=1，2，3，4，5，6，7），及任意一點F。通過折紙將A1和F重合，折痕與對應(yīng)的平行線交點記為a1，將所得點平滑連接，思考兩條線段之間長度有什么關(guān)系，使學生在折紙中觀察出相等關(guān)系從而探索出拋物線的定義。學生在這樣的折紙活動中可以很容易從△A1a1P與△Pa1F對稱中得出a1到直線的距離與到點F的距離相等。不僅有利于學生學習思考，也能提升學生學習數(shù)學的興趣，讓學生感知數(shù)學來源于生活。

利用翻折，讓學生發(fā)現(xiàn)對稱的考試題也不在少數(shù)。例如2016年河北中考17題：如圖，將ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1=∠2=44°，則∠B為多少度？利用對稱，可以發(fā)現(xiàn)∠B的大小，利用對稱性使得問題迎刃而解。數(shù)學中類似的折紙對稱問題還有很多，在教學中帶領(lǐng)學生動手操作不僅體現(xiàn)“做”中學還能提升學生直觀想象素養(yǎng)。

感悟數(shù)學的對稱美，就是去發(fā)現(xiàn)在公式、圖形、結(jié)構(gòu)等方面表現(xiàn)出來的對稱、均衡性質(zhì)的數(shù)學結(jié)果。教材中還有很多對稱美等待教師和學生發(fā)現(xiàn)，為此，《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》提出了D類課程包含美與數(shù)學專題，提出了希望學生能培養(yǎng)在數(shù)學中發(fā)現(xiàn)美的眼光，對美的感受，能夠從感性走向理性。

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作者簡介：

吳莖潔，上海市，華東師范大學教育學部教師教育學院。