返璞歸真，突出本質，發展數學學科核心素養*
——2018年福建中考數學試題分析與啟示

☉福建省福州第十八中學 陳 輝

☉福建省福州第十八中學 林進東

2018年是福建省中考采用全省統一考試的第二年，數學分A、B兩張卷（僅廈門用B卷）.2017年福建省中考是第一次全省統一考試，采用全省一張卷，當時為了平穩過渡，卷子的題型設計并沒有多大變化.而2018年的考題雖然題目數一樣，還是選擇題10道，填空題6道，解答題9道，但考查側重變化較大，特別是對數學學科核心素養的考查提到了一定的高度.筆者試著對其做些分析，并談談對數學教學的一些思考.

一、試卷分析

總體來講，A卷難度比2017年略有降低（B卷難度比2017年略有增加），雖難度略降，但內涵陡升，可謂“簡約而不簡單”，具體分析如下：

1.立足基礎，注重能力與素養，區分度高

試卷設計準確把握課程標準中的內容要求，沒有偏題、怪題，立意高，低起點、高落點，立足基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，關注到不同層次的學生，讓不同層次學生的水平都能得到展示.其中A卷的第1～8題，第11～14題，第17～19題，第22題（1）、（2）的①、第25題的（1），均為簡單題或送分題；第9題，第15題，第20題的（2），第21題的（2），第22題的（2）②，第23題的（1），為容易題（或介于容易與中等難度之間）；第10題，第16題，第23題的（2），第24題的（1），均為中等難度題；第24題的（2），第25題的（2），均為難題.這四類題分值比例約為6∶2∶1∶1.其中B卷從第1題到第23題的（1）與A卷題目一樣，后面就是把A卷第23題的（2）、第24題、第25題進行深度變式改成相應的題目，這幾題均加大了難度，第23題的（2）由中等難度題升為難題，第25題的（1）由簡單題升為中等難度題.這四類題分值比例約為4∶1∶1∶1.可見A、B卷均梯度明顯，有利于區分不同層次學生的“四基”、能力與數學學科核心素養，選拔功能強.

2.注重考查學生對知識形成過程的理解，引導初中教育關注學習過程

如第20題：求證：相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比.

要求：①根據給出的△ABC及線段A′B′、∠A′（∠A′=∠A），以線段A′B′為一邊，在給出的圖形上用尺規作出△A′B′C′，使得△A′B′C′△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡；

圖1

圖2

②在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據此寫出已知、求證和證明過程.

要求①其實是經歷相似三角形判定的學習過程后的延續，是讓學生用相似三角形的判定方法與之前應掌握的尺規作圖的基本功解決新“生成”的問題；要求②是要求①的有序的、遞進的問題，要求②的原型是人教版教材九年級下冊第37頁對相似三角形對應高線之比等于相似比的探究，現改成相似三角形的對應中線之比等于相似比的證明.整道題的解決實質上是探究相似三角形這一章內容的一個縮影.第20題的設計既考查了教師是否平時注重引導學生了解知識的來龍去脈，經歷知識發生、發展的過程，以及平時是否注重引導學生的問題意識與主動探索意識，又考查了學生平時學習過程中知識形成過程的方法和習慣，以及學生獨立思考、主動探索、動手操作情況也可窺見一斑.

3.凸顯應用意識，重視新情境下考查學生的數學建模、數據分析等核心素養

數學素養通俗的講就是一個人在多年以后就算把數學知識點忘得一干二凈，但仍然具有的用數學思維與方法分析與解決問題的能力，以及相應的情感態度價值觀.數學學科核心素養是其核心內容，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象與數據分析六個.2018年的中考卷很彰顯這些，如第8題是我國古代數學著作《增刪算法統宗》中記載的“繩索量竽”問題，與2017年中考卷中的“雞兔同籠”問題類似，均是以歷史文化典故為問題情境；2017年的數據分析題是以極具現代氣息的共享單車為問題情境，類似的，2018年的數據分析題第22題也是以具有現代氣息的快遞公司攬件數據與員工工資收入數據為問題情境；還有第23題的問題情境極具生活氣息：如圖2，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊共用了100米長的木欄.

（1）若a=20，所圍成的矩形菜園面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長；

（2）求矩形菜園ABCD的面積的最大值.

圖2

這些題目既讓卷子煥發古典文化韻味，又洋溢著現代生活氣息.由這些問題情境設置并引出創新性的問題，目的是考查學生在新情境下，能否用數學思維思考、分析問題，建立數學模型，并用數學思想與方法解決問題，具有“國際學生評估項目”測試（PISA測試）的味道，特別是B卷的第23題：空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米.

（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米長的木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米.如圖3，求所利用舊墻AD的長.

（2）已知0＜a＜50，且空地足夠大，如圖4，請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值.

此題是對A卷的第23題進行變式，PISA測試的味道更濃，可以說是PISA測試中實際問題的簡約版.對中學數學教育注重培養學生的數學建模、數據分析等核心素養有較強的導向作用.

圖3

圖4

4.凸顯知識關聯，知識背后的數學思想與方法的貫通，知識與核心素養的交融、協調，突出數學本質

如第10題考查學生對一元二次方程這一單元中方程的定義、方程的根的定義、根與系數的關系這三個關聯知識，以及邏輯關系的領悟與貫通的深入情況.再如剛才的第23題，先探討方程問題，再延伸到二次函數問題，由特殊到一般（方程問題是函數問題的特殊情況），并進行分類討論，特別是B卷的第23題，還要進行方案討論，策略的選擇，以及分類討論，其目的就是考查學生的學習遷移能力，以及思維的發散性與嚴密性.又如第25題是函數與幾何綜合題，涉及一次函數、二次函數、方程、圓、等邊三角形等內容.還有第16題：如圖4，直線y=x+m與雙曲線交于A、B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC的面積的最小值為______.

該題涉及一次函數、二次函數、反比例函數、方程、等腰直角三角形等內容.這類題均是考查學生對不同章節知識關聯下的貫通、融合并綜合應用的能力，也對學生的數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想、化歸與轉化思想等進行考量，當然均能體現更為上位的數學學科核心素養水平.

圖4

二、教學啟示

1.立足課本，重在平時學習過程

通觀整卷，可以發現約70%的題目來源于課本，或是課本例題、定理推導的改編，或是課本作業題目的改編或變式.目的就是考查學生也考查教師在平時上課過程中，是否有花足夠的時間把課本的內容探究深入、透徹，是否以科學的探究方式達到較好的學習遷移能力等.故教師平時在組織教學過程中，要以課本為基礎，以課標為依據，善于運用合適的引入新課的方式，比如，引入與現實生活密切相關又適合學生的問題情境，或是從“數學現實”出發，進行更能體現數學本質的、自然的新課引入，以引起學生學習的興趣與探索欲望；對于新知的生成，最好讓學生主動參與探究而共同獲得，不斷形成主動探究、合作交流的意識，也培養他們實踐操作與解決問題的能力.對新知識的獲得，教師要幫助學生了解知識的來龍去脈，對新知的可靠性進行充分論證，以培養學生嚴謹、科學的學習態度與數學語言表達論證能力.在新知應用環節，設計有序的、層層遞進的變式問題或變換情境，問題串之間應符合學生的最近發展區，讓學生不斷突破，提升能力與素養.

比如，第20題系課本改編題，如果學生在平時的學習過程中有充分的探究，對于要求①自然想到相似三角形的判定方法，結合本題已經具備的一對邊與一對角，會生成再構造該角的另一邊或該邊的另一個夾角的想法，再結合學生平時通過充分探究學習已深諳尺規作圖的原理和作法，便知道尺規作圖沒有對線段按比例縮放的作圖功能，會排除構造邊，采用作∠B=∠B′的作法，要求①便輕松達成.如果平時教師有對課本的結論進行充分論證，包括對文字語言、圖形語言和符號語言的轉化都示范給學生看，并適當進行變式訓練，那么對要求②的完成自然是水到渠成的.

其實，以課本為根本，重在平時的學習過程，也把思維引向縱深，為知識在新情境下的運用，為關聯知識融合下的整合創新打下堅實的基礎.

2.縱向深挖，結合實際應用，兼顧橫向聯系

除了在平時學習過程中多投入，教師還應多開設每章相應的專題研究課與綜合實踐活動課，這樣可以把核心問題進行有效變式，把思維引向深入，逐步由低階向高階提升，不斷強化實踐探索與應用意識.在平時的課后作業中，應多設計能在新情境下應用知識解決的問題，能體現思維過程，能體現過程性學習情況的好題目.這些都要求教師舍得花時間在新課和單元拓展上，不要僅為了中考的一點復習時間趕進度.新課進度太趕，必然導致教師在新課授課上直接上干貨，直接下知識點，然后訓練解題，學生對新知識是囫圇吞棗，沒有消化好，到中考總復習時也是炒夾生飯，總也炒不熟，也扼殺了學生探索與合作的精神，抑制了學生思維的發展，不利于培養數學學科核心素養，其實是舍本逐末.

筆者多年前就開設過“二元一次方程與長方形拼圖問題”公開課，2018年4月份開設了“一次函數與幾何圖形中的面積問題”公開課，這兩節均是綜合實踐活動專題課，筆者深感此類課既可以夯實基礎，又可以延伸思路，拓展能力，還可以培養數學思想與素養，可謂一舉多得.試想，如果每個單元都開設相應綜合實踐活動專題課，當然，學完一元二次方程與二次函數時相應開設“一元二次方程與幾何圖形面積問題”專題課，比如，此課程可初步設計成圍墻長度固定，用籬笆圍成直角三角形，變式成長方形，變式成長方形中間用籬笆隔成兩個小長方形，變式成大長方形開個缺口作門，橫向聯系到二次函數，便會變式成矩形面積的最值問題.當然，讓墻壁長度由固定數字變成字母的變式可能會想不到，但課堂上可以把開放性的問題給學生，學生很可能會想到這個變式，教師可以順勢而為，師生共同探討這個精彩的變式，達到教學相長.如果遇到第23題，學生有了平時課堂上探究問題的科學策略和解決辦法的積累，有了平時學習與思考良好習慣的養成，便可以很準確快速鎖定題目立意，選用相應的知識與科學的思想方法應對，就算不能完美解決，也能發揮到極致.

3.橫向廣泛聯系，比較個性與共性，提升綜合應用能力

心理學家皮亞杰指出：“學習知識是學生對知識網絡進行自主構建的一個過程，教師起到的只是引導和培養的作用.”鄭毓信教授指出：“基礎知識不應求全，而應求聯.”故教師在平時教學過程中，應引導學生自主歸納整理知識，構建四通八達且流暢的知識網絡結構圖.不僅要構建好章節知識網絡，還要構建好關聯章節與知識點的大網絡，做到心中有數.如此，不管是單元內容縱向關聯的深入考查，還是多章節內容綜合應用的橫向關聯的考查，都能從容應對.特別是中考復習時，多跨章甚至跨學科進行比較、滲透，并且滲透數形結合、分類與整合、化歸與轉化、函數與方程、特殊與一般、必然與或然的思想，能幫助學生提升綜合應用能力.

比如，在整理函數與幾何圖形知識結構時，除了可引導學生得到正比例函數與反比例函數共同點，還發現正比例函數圖像經過原點，反比例函數圖像不經過原點，并且與坐標軸無限接近；把正比例函數解析式加常數項b，圖像就會上下平移，反過來圖像上下平移，b也有相應值；函數圖像交點的坐標計算又和方程建立了聯系，其實方程是函數的特殊情況；再由交點構造三角形、四過形、圓等，又和幾何知識建立了聯系，上升為感悟到“函數是用于刻畫數量關系與變化規律的重要模型，這里的數量關系除了實際問題中兩個元素之間的關系，也可以是幾何圖形中元素之間的關系，圖形運動變化規律可以通過函數模型加以刻畫”，反過來，函數可以通過幾何圖形來直觀體現.如此在每個關聯知識領域，均進行橫縱聯系融合，提煉通性通法與數學思想，真正理解數學本質，那么遇到考卷第16題時就會較快領會題目立意，解題思路自然成：其實該題就是雙函數組合模型下產生的一個特殊幾何圖形——等腰直角三角形，在整個變化過程中，都可以用這個等腰直角三角形來體現，這個等腰三角形的面積又和兩函數圖像的交點坐標有關，交點坐標又轉化為直角三角形的直角邊長（從這里也可以發現是等腰直角三角形），然后用面積公式建立出面積表達式為二次函數解析式，最后用二次函數求最值的方法求得.該題的數學思想方法與平時的引導融合一脈相承，問題的解決也相對順利，數學學科核心素養的發展也得到了體現.

三、結語

中考不僅是考學生，也是考教師，倒逼教師認真研究課程標準與考試指導意見，認真分析試卷，特別是高質量的試卷（比如中考試卷），能夠清楚知道中考對知識和能力的要求，能夠真切感受中考對數學學科核心素養考查的重視程度.其實核心素養是育人目標，是方向，是指南針，指導著試題的編制［4］，教師分析中考試卷的同時，甚至也研究命制與中考題類似的基于核心素養的試題與評價體系，從而深入領會中考題的各項立意.總之，可以從不同程度上指導教師平時的教學，引導教師深化數學學科核心素養理解，自覺建立基于核心素養的教學目標體系，以數學學科核心素養組織教學，重視過程性學習，關注知識的橫向聯系與縱向深挖，善于創設真實問題情境，滲透數學思想方法，逐步培養學生善于用數學的眼光看問題，用數學的思維思考問題，用科學的方法分析、選擇與應用合理的數學思想方法，不斷構建，以順利解決問題，形成良好的思維習慣與品質，不斷提升能力與素養.