把握知識(shí)脈絡(luò)，滲透數(shù)學(xué)思想
——“圖形的相似”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

☉湖北省通山縣教育局教研室 袁觀六

☉湖北省通山縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉 林

最近，在湖北省2018年國培項(xiàng)目縣省級(jí)專家巡回講學(xué)活動(dòng)中，我縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉林老師的一節(jié)展示課“圖形的相似”，獲得了聽課教師與講學(xué)專家的一致好評(píng).筆者有幸經(jīng)歷了該課的設(shè)計(jì)指導(dǎo)，現(xiàn)將其教學(xué)設(shè)計(jì)及評(píng)析呈現(xiàn)出來，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)背景分析

本節(jié)課是人教版教材九年級(jí)下冊(cè)第二十七章“相似”第1課時(shí)的內(nèi)容，是全等圖形的拓展和延伸.

“圖形的相似”是在八年級(jí)對(duì)全等研究的基礎(chǔ)上，借鑒全等形研究的基本套路進(jìn)行研究的.它主要研究圖形形狀之間的關(guān)系，它與全等是一般與特殊的關(guān)系.相似在生活中隨處可見，相似圖形的性質(zhì)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用.教材從現(xiàn)實(shí)世界中形狀相同的物體談起，然后把形狀相同的圖形定義為相似圖形，舉例說明了放大和縮小這兩種操作與相似圖形之間的關(guān)系，接著給出了特殊的相似圖形——相似多邊形的定義，由相似多邊形的定義直接推出相似多邊形的性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)相似三角形奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

“圖形的相似”這節(jié)概念課蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想.從全等到相似，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；從相似圖形到相似多邊形，體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想；從相似圖形的定義到相似多邊形的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；相似圖形定義的得出，體現(xiàn)了從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想.準(zhǔn)確把握本節(jié)課的教學(xué)脈絡(luò)，適時(shí)滲透這些數(shù)學(xué)思想，無疑把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落到了實(shí)處.

學(xué)情分析：九年級(jí)學(xué)生已具備了一定的抽象概括能力，從具體實(shí)例中得出相似圖形的定義不難，理解放大和縮小這兩種操作與相似圖形之間的關(guān)系也不難，但對(duì)于教材為什么要直接給出相似多邊形的定義會(huì)感到突然，對(duì)“對(duì)應(yīng)邊成比例”的理解需要教師的引導(dǎo)，其中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想，更需要教師適時(shí)滲透、點(diǎn)撥.

（二）教學(xué)目標(biāo)及重、難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）通過具體的實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似；

（2）了解相似多邊形和相似比的含義，從中得出相似多邊形的性質(zhì)和判定方法，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)用；

（3）在探索相似圖形和相似多邊形的過程中，感受探索的樂趣，滲透從特殊到一般、從一般到特殊及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2.教學(xué)重點(diǎn)

相似圖形與相似多邊形的概念.

3.教學(xué)難點(diǎn)

相似多邊形的性質(zhì)及應(yīng)用.

（三）教學(xué)過程

引言：在八年級(jí)，我們學(xué)習(xí)了圖形的全等，這節(jié)課，我們一起研究圖形的相似.

板書課題：27.1圖形的相似.

1.觀察與思考

問題1：下面每組圖形有什么共同點(diǎn)？

圖1

師生活動(dòng)：學(xué)生交流想法，第（1）組和第（2）組圖形形狀、大小相同，第（3）組和你（4）組圖形形狀相同，教師適時(shí)揭示相似圖形的概念.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在觀察中感受全等圖形與相似圖形的特征，從而得出相似圖形的定義.

問題2：你能舉出一些相似圖形的例子嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生列舉生活中相似圖形的例子，教師適時(shí)小結(jié)，生活中相似圖形隨處可見，如汽車和它的模型，大小不同的足球，不同尺寸的照片，不同字號(hào)的相同文字等.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受生活中相似圖形的例子隨處可見，加深對(duì)相似圖形概念的理解.

追問：全等圖形與相似圖形有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生指出，全等圖形是特殊的相似圖形.教師適時(shí)小結(jié)，從全等圖形到相似圖形，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確全等圖形與相似圖形的關(guān)系，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

2.思考與探索

問題3：怎樣得到一個(gè)圖形的相似圖形？

圖2

師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，得出把一個(gè)圖形放大或縮小可以得到它的相似圖形.如果學(xué)生不能得出正確的結(jié)論，教師可啟發(fā)學(xué)生思考怎樣得到不同尺寸的照片.在學(xué)生得出結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師用課件進(jìn)行放大或縮小的動(dòng)態(tài)演示，加深學(xué)生的理解.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組討論，明確兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到，讓學(xué)生體會(huì)到兩個(gè)相似圖形存在一定的比例關(guān)系.

問題4：圖3是一個(gè)女孩從平面鏡及哈哈鏡里看到的自己的形象，這些鏡子中的形象相似嗎？

圖3

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固相似圖形的概念，讓學(xué)生牢牢抓住相似圖形形狀相同的本質(zhì)特征.

3.新知鞏固

（1）如圖4，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎？

（2）如圖5，圖形（1）至（6）中，哪些與圖6或圖7相似？

圖4

圖5

圖6

圖7

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成.

4.觀察與思考

問題5：如圖8，四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD相似嗎？

圖8

師生活動(dòng)：大多數(shù)學(xué)生可能通過觀察得到這兩個(gè)四邊形形狀相同，因此這兩個(gè)四邊形相似.此時(shí)，教師用課件動(dòng)態(tài)演示進(jìn)行驗(yàn)證，把四邊形ABCD按一定比例放大后，發(fā)現(xiàn)不能與四邊形A′B′C′D′完全重合，從而得出這兩個(gè)四邊形不相似的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：利用兩個(gè)四邊形看似相似實(shí)則不相似的視覺與實(shí)際結(jié)果的反差，讓學(xué)生體會(huì)到從形的角度來判斷兩個(gè)多邊形是否相似，眼睛有時(shí)會(huì)欺騙自己，判斷起來并不方便，從而引起學(xué)生的思考，試圖從其他的角度判定兩個(gè)多邊形的相似，為自然引出相似多邊形的定義作鋪墊.

5.明晰多邊形的定義

在問題5討論的基礎(chǔ)上，教師適時(shí)給出相似多邊形的定義：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形.

問題6：多邊形的定義中有哪幾個(gè)關(guān)鍵詞？

師生活動(dòng)：學(xué)生找出關(guān)鍵詞“邊數(shù)相同”“角分別相等”“邊成比例”.

追問1：邊成比例是什么意思？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，最后全班交流.讓學(xué)生明確邊成比例是指兩個(gè)多邊形相應(yīng)的邊的比相等.教師適時(shí)指出，對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似多邊形的相似比.

設(shè)計(jì)意圖：通過找出關(guān)鍵詞，讓學(xué)生抓住相似多邊形的本質(zhì)特征，加深對(duì)相似多邊形定義的理解.

追問2：相似圖形的定義是從形的角度來定義的，那么相似多邊形的定義是從什么角度來定義的？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考.

設(shè)計(jì)意圖：通過追問，讓學(xué)生明確相似多邊形的定義是從數(shù)的角度來定義的，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

問題7：根據(jù)相似多邊形的定義，怎樣判定兩個(gè)多邊形相似？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考得出，如果兩個(gè)多邊形的邊數(shù)相同，角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形相似.

追問：以四邊形為例，怎樣將文字語言轉(zhuǎn)換為符合語言？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立將文字語言轉(zhuǎn)換為符合語言，對(duì)于不規(guī)范的地方，教師引導(dǎo)學(xué)生糾正.

設(shè)計(jì)意圖：通過思考、追問，讓學(xué)生明確相似多邊形的判定方法，進(jìn)一步掌握把文字語言轉(zhuǎn)換為符合語言的方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

6.判斷與辨析

問題8：兩個(gè)大小不同的正方形相似嗎？為什么？?jī)蓚€(gè)大小不同的菱形、矩形呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，全班交流.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固相似多邊形的判定方法，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力.

7.明確相似多邊形的性質(zhì)

問題9：由相似多邊形的定義，你能得出相似多邊形的性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生得出相似多邊形的性質(zhì).

8.鞏固應(yīng)用

例如圖9，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的長(zhǎng)度x.

圖9

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師指明板演，集體訂正.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固相似多邊形的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生正確、規(guī)范的解題格式.

練習(xí)：

題1：如圖10所示的兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？

圖10

題2：如圖11所示的兩個(gè)五邊形相似，求未知邊a、b、c、d的長(zhǎng)度.

圖11

設(shè)計(jì)意圖：鞏固相似多邊形的判定方法和相似多邊形的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

9.課堂小結(jié)

（1）什么叫相似圖形？什么叫相似多邊形？相似多邊形有什么性質(zhì)？

（2）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想？

（3）類比“全等三角形”一章研究的主要內(nèi)容，本章接下來要研究什么內(nèi)容？

設(shè)計(jì)意圖：整體構(gòu)建圖形的相似的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從探究過程和思想方法的角度提升對(duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí).類比“全等三角形”一章研究的主要內(nèi)容，理清本章研究的知識(shí)脈絡(luò)，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系.

10.布置作業(yè)

教材習(xí)題27.1第1，3，5題.

附全課的板書設(shè)計(jì)：

二、設(shè)計(jì)評(píng)析

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，目標(biāo)明確，條理清楚，過程流暢，邏輯性強(qiáng).教者從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以問題為導(dǎo)向，牢牢把握知識(shí)脈絡(luò)，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想，較好地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)的提升，取得了良好的教學(xué)效果.

1.注重知識(shí)的自然生成

讓知識(shí)自然生成可以有效地促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)和思維相互促進(jìn)、同步發(fā)展.本節(jié)課從觀察每組圖形的共同特點(diǎn)來展開教學(xué)，讓學(xué)生在觀察中感悟全等圖形和相似圖形的聯(lián)系與區(qū)別，順理成章地得出相似圖形的概念，并通過列舉生活中相似圖形的實(shí)例，感受相似圖形在日常生活中普遍存在，加深對(duì)相似圖形概念的進(jìn)一步理解.在此基礎(chǔ)上，適時(shí)提出：怎樣得到一個(gè)圖形的相似圖形呢？借助學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，如：看電影，照不同尺寸的照片等，很容易得出把一個(gè)圖形放大或縮小就可以得到它的相似圖形.相似圖形既包含立體圖形，又包含平面圖形，但在初中數(shù)學(xué)中，我們只研究特殊的相似圖形——相似多邊形.通過教師的語言描述，很自然地指出了相似圖形研究的主要內(nèi)容，進(jìn)而引出相似多邊形的概念和性質(zhì).整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，自然延伸.通過對(duì)話、溝通和合作活動(dòng)，產(chǎn)生交互影響，以動(dòng)態(tài)生成的方式推進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的進(jìn)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)的內(nèi)在邏輯性，牢牢把握了知識(shí)的脈絡(luò).

2.注重?cái)?shù)學(xué)思想的適時(shí)滲透

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)從“雙基”發(fā)展到“四基”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)育人的新要求.而數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精髓、靈魂，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn).本節(jié)課的教學(xué)，教者善于挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想，適時(shí)滲透在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，并通過精心設(shè)計(jì)的板書凸顯出來，起到了潤物細(xì)無聲的效果.從全等到相似，讓學(xué)生領(lǐng)悟到了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；從相似圖形到相似多邊形，讓學(xué)生領(lǐng)悟到了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想；從相似圖形的定義到相似多邊形的定義，讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的思想.本節(jié)課中，學(xué)生經(jīng)歷了從具體到抽象、從一般到特殊、從形到數(shù)的思維過程，學(xué)生的思維品質(zhì)得到了鍛煉，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到了提升.

3.注重教學(xué)手段的有機(jī)結(jié)合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“合理地應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)，注重信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，能有效地改變教學(xué)方式，提高課堂教學(xué)的效益.”同時(shí)指出：“現(xiàn)代信息技術(shù)的作用不能完全替代原有的教學(xué)手段，其真正價(jià)值在于實(shí)現(xiàn)原有的教學(xué)手段難以達(dá)到甚至達(dá)不到的效果.在應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的同時(shí)，教師還應(yīng)注重課堂教學(xué)的板書設(shè)計(jì).”本節(jié)課中，教者實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)手段的完美結(jié)合.比如，教者用課件動(dòng)態(tài)演示把一個(gè)圖形放大或縮小得到它的相似圖形的過程，非常直觀.全課提綱挈領(lǐng)的適時(shí)板書，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)及其形成過程的進(jìn)一步理解和掌握.兩種教學(xué)手段相互補(bǔ)充，相得益彰.

這節(jié)課還有值得商榷之處，對(duì)于相似多邊形的定義，教材和教者都是直接給出的，由于學(xué)生沒有一定的感知，難免會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問：這樣定義能保證這兩個(gè)多邊形的形狀相同嗎？教學(xué)時(shí)，在相似圖形定義的大背景下，讓學(xué)生根據(jù)相似圖形的定義，聯(lián)系把一個(gè)圖形放大或縮小可以得到它的相似圖形這一基本事實(shí)，利用幾何畫板的特定功能，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)并探索出相似多邊形的性質(zhì)，再由性質(zhì)給出相似多邊形的定義，這樣處理是否更符合學(xué)生的認(rèn)知水平呢？