知微見著看數(shù)列高考立意*
——以“數(shù)列的綜合應(yīng)用”的教學(xué)為例

☉江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 閆 輝

☉連云港師范高等專科學(xué)校 朱海燕

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘題目的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”本節(jié)課從教材范例和習(xí)題出發(fā)，通過啟發(fā)與引導(dǎo)，由淺入深、由易到難，讓學(xué)生逐步深入地挖掘證明等差數(shù)列的必要條件，由此領(lǐng)會(huì)2017年江蘇高考數(shù)列題目的立意，并在此基礎(chǔ)上拓展到等比數(shù)列領(lǐng)域，從而達(dá)到融會(huì)貫通的目的.下面是本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄，請(qǐng)同行和專家斧正.

一、探源，教材再出發(fā)

師：同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列，首先讓我們回顧一下等差數(shù)列的概念，如何用符號(hào)語言表達(dá)？

生一起回答：在數(shù)列{an}中，若an+1-an=d（n∈N*），d為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

師：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？

生1：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1+（n-1）d（n∈N*）.

師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些判定等差數(shù)列的方法？

生2：1.定義法；2.（遞推法）等差中項(xiàng)法，an-1+an+1=2an（n≥2，n∈N）；3.性質(zhì)法；4.通項(xiàng)公式法；5.求和法等等.

師：這里要說明一下，雖然判定方法很多，但是其他方法最終都要回歸到定義.今天我們重點(diǎn)來研究一下等差中項(xiàng)法.

（由于數(shù)列一輪復(fù)習(xí)剛剛結(jié)束，對(duì)于這些簡單的問題，同學(xué)們回答得很輕松，課堂氣氛波瀾不驚）

師：由蘇教版教材必修5第41頁第15題的證明，我們不難得到，在等差數(shù)列{an}中，an-k+an+k=2an，an為an-k，an+k的等差中項(xiàng)，那么現(xiàn)在有這樣一個(gè)命題.

（通過教材習(xí)題引入等差中項(xiàng)問題）

命題1：如果數(shù)列{an}滿足條件：an-k+an+k=2an（n∈N*，k∈N*，n＞k），那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

師：命題是否成立？

（同學(xué)們稍顯意外，不過立刻做出了反應(yīng)）

生3：不成立.

師：是一定不成立，還是不一定成立？同學(xué)們所指的等差中項(xiàng)法是什么？

（學(xué)生若有所思）

生4：不一定，等差中項(xiàng)法指的是k=1的情況，即an-1+

設(shè)計(jì)意圖：在無疑處看出有疑，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)識(shí)等差中項(xiàng)法，在討論中重新打開思路.在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題并提出問題；能理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而建構(gòu)知識(shí)框架.

師：當(dāng)k=2時(shí)，命題還成立嗎？

命題2：如果數(shù)列{an}滿足條件：n＞2），那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

生5：不成立.

師：為什么？

生5：因?yàn)槭情g隔一項(xiàng)成等差數(shù)列，但整體不一定是，比如數(shù)列1，2，1，2，1，2，1，2，…

師：很好的論證，那么繼續(xù)看，類似的，當(dāng)k=3時(shí)，命題成立嗎？

命題3：如果數(shù)列{an}滿足條件n＞3），那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

生6：不成立.

師：這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是什么？

生6：這是間隔兩項(xiàng)成等差數(shù)列，

師：反例不難找到，留給同學(xué)課后去完成.

（此時(shí)問題出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，拋出一個(gè)同學(xué)們意想不到的問題）

師：現(xiàn)在我們思考這樣一個(gè)問題，當(dāng)k=2且k=3等式同時(shí)成立時(shí)，命題是否成立？（用花括號(hào)直接作出推出符號(hào)）請(qǐng)同學(xué)討論討論.

（學(xué)生們感到新奇和興奮，課堂討論開始熱烈起來）

二、拓展，知識(shí)再生成

等差中項(xiàng)的組合類型1

當(dāng)k=2且k=3時(shí)等式an-k+an+k=2an同時(shí)成立的情況下，請(qǐng)問數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列？

這個(gè)命題是否成立，大家交流一下，

（教師巡視，轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行點(diǎn)撥、提醒）

師：哪位同學(xué)有想法？有同學(xué)舉手示意，

生7：由題意可知：

n＞2， an-2+an+2=2an， ①

n＞3， an-3+an+3=2an. ②

可以換元，由①知：an-3=2an-1-an+1， ③

an+3=2an+1-an-1. ④

所以a3，a4，a5，…成等差數(shù)列，設(shè)公差為d.

①式中，令n=4，則a2+a6=2a4，即a2=a3-d，①式中，令n=3，則a1+a5=2a3，即a1=a3-2d，故數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，從而養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣；當(dāng)兩個(gè)式子同時(shí)成立時(shí)，就增加了運(yùn)算空間，我們可以通過換元、消元，把不連續(xù)的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為相鄰的連續(xù)的三項(xiàng)關(guān)系，再借助等差中項(xiàng)法來證明.

（正當(dāng)學(xué)生沉浸在這個(gè)新發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，老師又拋出了2017年的高考題，將課堂氣氛推向一個(gè)高潮）

師：接下來，我們看一下這個(gè)方法在高考中的運(yùn)用.

等差中項(xiàng)的組合類型2

江蘇省2017年高考19題（PPT展示）

對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”.

（2）若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.

師：請(qǐng)同學(xué)們看一看、議一議、做一做.

（受到上面例題的啟發(fā)，不少同學(xué)迅速打開思路）

邀請(qǐng)生8上來板演

數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，因此，

將③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，

所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′.

在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′.

在①中，取n=3，則a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a2-d′.

所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

師：做完這道高考題之后，同學(xué)們還有其他想法嗎？僅在等差數(shù)列里討論似乎意猶未盡.

學(xué)生們心領(lǐng)神會(huì)，開始了熱烈的討論，有同學(xué)舉手示意，

生9：我猜想也許等比數(shù)列中也有類似的結(jié)論.

師：很好，我們來看下面例題.

三、遷移，立意巧類比

命題4：對(duì)于給定的正整數(shù)k，若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：an-kan-k+1…an-1an+1…an+k-1an+k=an2k對(duì)任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”.

若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{an}是等比數(shù)列.

經(jīng)過上面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們的思路完全打開，大家七嘴八舌地說起來，師生共同解決

即an-1·an+1=an2（其中n≥4）.

所以a3，a4，a5，…是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q.

a1，a2的驗(yàn)證，留給同學(xué)們課后完成.

（類比于等差數(shù)列的方法，非常順利做出證明）

設(shè)計(jì)意圖：類比推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，在中學(xué)階段代數(shù)的類比推理中，等差數(shù)列和等比數(shù)列具有很高的類比推理價(jià)值，通過設(shè)計(jì)案例，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的類比推理思維.

在高潮迭起的班級(jí)氣氛里，師又出其不意的問：還有其他解法嗎？

學(xué)生一臉茫然，突然陷入了沉思，氣氛又變得冷靜下來.

師稍作啟發(fā).

師：能否把這個(gè)等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列問題？大家討論一下.

（部分學(xué)生若有所思，很快有位同學(xué)興奮的做出了反應(yīng)）

生10：可以取對(duì)數(shù)，正項(xiàng)等比數(shù)列取對(duì)數(shù)后，變成一個(gè)等差數(shù)列.

令bn=lnan，

則證明{an}是等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為證明{bn}是等差數(shù)列.

又把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為2017年的這道高考題.

設(shè)計(jì)意圖：化歸與轉(zhuǎn)化是高中階段最重要的四種思想方法之一，化歸與轉(zhuǎn)化是將一個(gè)問題由難化易，由繁化簡的過程.如何做一個(gè)有數(shù)學(xué)靈魂的高中生，本質(zhì)上就是如何學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.這個(gè)設(shè)計(jì)意圖在于進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課設(shè)計(jì)目的：在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，注重邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生理解一般結(jié)論的來龍去脈，并形成舉一反三的能力，有利于學(xué)生形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣和交流能力，有利于學(xué)生提高探究事物本源的能力.