基于“學(xué)歷案”的數(shù)學(xué)微專題設(shè)計(jì)*

☉浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

最近，我縣舉行了“數(shù)學(xué)微專題設(shè)計(jì)”的評(píng)比活動(dòng)，筆者有幸擔(dān)任評(píng)委.數(shù)學(xué)“微專題”是指圍繞重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)的、利用具有緊密相關(guān)性的知識(shí)或方法形成的專項(xiàng)研究，或者結(jié)合學(xué)生的疑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)整合的、能夠在短時(shí)間內(nèi)專門解惑的問題集.與一般的大專題教學(xué)相比，微專題教學(xué)具有“因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深”的優(yōu)點(diǎn).

一、“微專題”設(shè)計(jì)有缺陷

本次“微專題”設(shè)計(jì)的主題是“函數(shù)綜合問題的解法探究”，面向的學(xué)習(xí)對(duì)象是高三學(xué)生.為了適應(yīng)高三復(fù)習(xí)課的需求，所有參賽教師均以“例題+練習(xí)”的方式來設(shè)計(jì)“微專題”.下面是比較有代表性的一個(gè)設(shè)計(jì)案例：

【主題】含參數(shù)方程有解的取值范圍問題

【例題分析】例1設(shè)關(guān)于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的實(shí)根分別為x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

【鞏固練習(xí)】

（1）已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+a+2|x2-1|在區(qū)間（0，3）上有兩個(gè)零點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

（2）已知函數(shù)f（x）=|x3+1|x，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

（3）已知函數(shù)f（x）=|x2-2|+x2+ax在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

上述的案例體現(xiàn)了“微專題”“小切口，深挖掘”的設(shè)計(jì)理念，對(duì)教學(xué)的難點(diǎn)起到了有效地突破.但我們也發(fā)現(xiàn)這樣的微專題與常見的練習(xí)或者復(fù)習(xí)資料沒什么區(qū)別，無非是問題更具針對(duì)性，例題數(shù)量減少了，在教學(xué)中還是難以擺脫“教師講，學(xué)生聽”的枷鎖，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式根本沒有得到任何改變.不僅如此，上述例題數(shù)量雖少，但難度很高，思維跨度較大，如果沒有鋪墊式的問題設(shè)計(jì)，那么學(xué)生直接面對(duì)如此復(fù)雜的問題情境恐怕在教學(xué)成效上會(huì)大打折扣.那么，如何彌補(bǔ)微專題的這些缺憾呢？

二、何為“學(xué)歷案”

“學(xué)歷案”是由華東師范大學(xué)崔允漷教授首先提出的.“學(xué)歷案”指的是教師在班級(jí)教學(xué)背景下，圍繞一個(gè)具體的學(xué)習(xí)單位，從期望“學(xué)會(huì)什么”出發(fā)，設(shè)計(jì)并展示“學(xué)生何以學(xué)會(huì)”的過程，以便于學(xué)生自主構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)的專業(yè)方案［1］.“學(xué)歷案”運(yùn)用建構(gòu)主義方法，將教學(xué)內(nèi)容的目標(biāo)、任務(wù)、方法、資源、作業(yè)、互動(dòng)、評(píng)價(jià)與反思等要素優(yōu)化組合為一個(gè)教學(xué)系統(tǒng)，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)的完整歷程，形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu).具體組成要素如下表所示［2］：

要素與關(guān)鍵問題 回答提示主題與課時(shí)：在多少時(shí)間內(nèi)學(xué)習(xí)什么內(nèi)容：課文或主題或單元；來自何處？知識(shí)地位？時(shí)間：2-6課時(shí)，依據(jù)目標(biāo)、教材、學(xué)情確定學(xué)習(xí)目標(biāo)：期望學(xué)生學(xué)會(huì)什么依據(jù)：課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、學(xué)情、資源等.目標(biāo)：3-5條；可觀察、可測(cè)量、可評(píng)價(jià)；每條指向?qū)W科關(guān)鍵能力或素養(yǎng)；相互之間有關(guān)聯(lián).三維敘寫：可分解成具體任務(wù)或指標(biāo)；至少三分之二的學(xué)生能完成評(píng)價(jià)任務(wù)：如何知道學(xué)生是否學(xué)會(huì)要求：包括情境、知識(shí)點(diǎn)任務(wù)；學(xué)生完成此任務(wù)后的表現(xiàn)與上述的任務(wù)或指標(biāo)一致.評(píng)價(jià)與目標(biāo)無須一對(duì)一對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)過程：經(jīng)歷什么過程才能學(xué)會(huì)資源與建議：達(dá)成目標(biāo)的資源、路徑、知識(shí)提示.課前預(yù)習(xí)：定時(shí)間，有任務(wù).課中學(xué)習(xí)：學(xué)習(xí)的進(jìn)階（遞進(jìn)或拓展）；評(píng)價(jià)任務(wù)的嵌入；體現(xiàn)學(xué)生自主建構(gòu)或社會(huì)建構(gòu)的真實(shí)的過程檢測(cè)與作業(yè)：如何鞏固已學(xué)會(huì)的東西要求：包括課前、課中與課后作業(yè)，整體設(shè)計(jì)作業(yè)；論述或綜合題要包括情境知識(shí)點(diǎn)（可多個(gè)）與任務(wù).明確功能：檢測(cè)題、鞏固題與提高題學(xué)后反思：反思自己如何學(xué)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生思考并梳理已學(xué)知識(shí)與學(xué)習(xí)策略；診斷自身問題、報(bào)告求助信息

三、基于“學(xué)歷案”的“微專題”設(shè)計(jì)

“學(xué)歷案”的編制需要思考學(xué)生學(xué)什么、怎么學(xué)、學(xué)到什么程度等問題，從學(xué)習(xí)內(nèi)容的確定到期望學(xué)生實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)的表述，再到達(dá)成目標(biāo)的教學(xué)活動(dòng)的安排，最終到檢測(cè)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)與否及其掌握程度的課內(nèi)評(píng)價(jià)設(shè)置，整個(gè)學(xué)習(xí)流程清楚明確，保障學(xué)生“在”學(xué)習(xí)，經(jīng)歷“真”學(xué)習(xí).

1.學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)歷案中的學(xué)習(xí)目標(biāo)要指明在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生將要獲得什么、如何獲得以及掌握到什么程度.學(xué)習(xí)目標(biāo)必須包含四個(gè)要素：行為主體、行為動(dòng)詞、行為條件和行為標(biāo)準(zhǔn)，即誰來學(xué)、學(xué)什么、在什么條件下學(xué)、學(xué)到什么程度，四個(gè)要素缺一不可.因此，在“微專題”的設(shè)計(jì)中，首先考慮的不是例題的選取，而是學(xué)習(xí)目標(biāo)的制定.針對(duì)“含參數(shù)方程有解的取值范圍問題”這個(gè)微專題，學(xué)習(xí)目標(biāo)可以這樣制定：

（1）通過具體的問題，梳理方程的根、函數(shù)零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)之間的關(guān)系，根據(jù)問題的要求能夠?qū)Ω⒘泓c(diǎn)、交點(diǎn)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化；

（2）經(jīng)歷方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的思維過程，結(jié)合具體問題，靈活構(gòu)建函數(shù)，能夠借助圖像的直觀性來解決抽象的數(shù)學(xué)問題；

（3）經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的思維過程，感受方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)或圖像的交點(diǎn)對(duì)于簡(jiǎn)化運(yùn)算的意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).

相對(duì)于課程標(biāo)準(zhǔn)中教學(xué)目標(biāo)的表述，“學(xué)歷案”中教學(xué)目標(biāo)的表述更加具體化、策略化，更加具有可操作性.

2.評(píng)價(jià)任務(wù)

“學(xué)歷案”關(guān)注的是學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成，因此它遵循的是一種逆向設(shè)計(jì)路徑，即“學(xué)習(xí)目標(biāo)——評(píng)價(jià)任務(wù)——學(xué)習(xí)過程”.“評(píng)價(jià)任務(wù)”的設(shè)計(jì)優(yōu)先于“學(xué)習(xí)過程”的好處是有助于教師厘清目標(biāo)達(dá)成的“標(biāo)準(zhǔn)”以及正確區(qū)分學(xué)習(xí)任務(wù)與評(píng)價(jià)任務(wù)，唯有這樣才能保證“學(xué)——教——評(píng)”的一致性與系統(tǒng)性［3］.

“含參數(shù)方程有解的取值范圍問題”的評(píng)價(jià)任務(wù)如下：

（1）完成問題1，回答思考1、思考2、思考3，完成練習(xí)1；

（2）通過提示，解答例1，完成練習(xí)2；

（3）通過合作學(xué)習(xí)，解決例2，回答思考4、思考5，完成練習(xí)3.

3.學(xué)習(xí)過程

“學(xué)歷案”遵循的是“以學(xué)為中心”的理念，它呈現(xiàn)的是一個(gè)完整的自主學(xué)習(xí)過程，因此，學(xué)習(xí)過程的設(shè)計(jì)應(yīng)該立足于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)與思維邏輯，通過問題驅(qū)動(dòng)的方式循序漸進(jìn)，層層深入，進(jìn)而充分展示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生以及發(fā)展的過程，讓學(xué)生成為知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)者.“含參數(shù)方程有解的取值范圍問題”微專題的學(xué)習(xí)過程可以這樣設(shè)計(jì)：

第一部分：探索根、零點(diǎn)、交點(diǎn)之間的關(guān)系問題：關(guān)于x的方程x2-ax-2=0在R上有根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

思考1：上述問題有幾種解題思路，請(qǐng)把解答過程寫出來.

思考2：方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、圖像的交點(diǎn)之間存在著什么關(guān)系？

思考3：你認(rèn)為對(duì)于這樣的問題，哪種解題思路更為簡(jiǎn)單？

練習(xí)1：關(guān)于x的方程x2-x-1-a=0在x∈［0，1］上有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

意圖：一方面，通過問題的解答梳理根、零點(diǎn)、交點(diǎn)之間的關(guān)系，掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)；另一方面，初步體會(huì)把方程的根的問題轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點(diǎn)、圖像的交點(diǎn)的好處，掌握基本的變形、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造等技巧.

第二部分：解題技巧的探究

例1 設(shè)關(guān)于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的實(shí)根分別為x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，則a的取值范圍是______.

解題視角一：轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)

提示1：把兩個(gè)方程直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)，畫出滿足上述條件的兩個(gè)函數(shù)的圖像.

提示2：觀察并分析圖像，列出滿足條件的代數(shù)式.解題視角二：轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)

提示1：通過變形，把每個(gè)方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn).

提示2：畫出滿足條件的圖像，觀察交點(diǎn)的分布，列出相關(guān)的代數(shù)式.

練習(xí)2：已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+a+2|x2-1|在區(qū)間（0，3）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

意圖：明確解題的視角，通過設(shè)置必要的提示，降低問題的難度，以啟迪學(xué)生思維.

第三部分：解題技巧的進(jìn)一步提煉

思考4：比較此題與例1的差異？

思考5：根據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來構(gòu)造函數(shù)？

練習(xí)3：已知函數(shù)f（x）=|x2-2|+x2+ax在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

意圖：類比例1的解題思路，掌握函數(shù)構(gòu)造的一般技巧，進(jìn)一步提煉解題策略.

學(xué)習(xí)過程的設(shè)計(jì)采用“師留白，生留痕”的策略，將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)、創(chuàng)造權(quán)還給學(xué)生，從而使課堂變得充滿靈性.

4.學(xué)后反思

“學(xué)后反思”是學(xué)歷案的重要組成部分，其要求學(xué)生在課后完成一個(gè)復(fù)雜的筆紙任務(wù)，包括對(duì)知識(shí)和學(xué)習(xí)策略的梳理，診斷自身問題，總結(jié)值得分享的觀點(diǎn)或成果，發(fā)出求助信息等.“學(xué)后反思”一方面是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的延續(xù)，另一方面有助于學(xué)生養(yǎng)成反思習(xí)慣，并主動(dòng)汲取學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而提高自身的原認(rèn)知水平.

對(duì)于“含參數(shù)方程有解的取值范圍問題”微專題的學(xué)習(xí)反思可以引導(dǎo)學(xué)生圍繞著以下幾方面進(jìn)行：

（1）構(gòu)造函數(shù)遵循的原則（如：一靜一動(dòng)，一直一曲）

（2）此類問題的解題策略（如：構(gòu)造函數(shù)，動(dòng)態(tài)分析，考慮臨界狀態(tài)）

（3）類似試題的整理

（4）你還存在著哪些困惑

相對(duì)于“例題+練習(xí)”微專題的“粗放”設(shè)計(jì)，基于“學(xué)歷案”的微專題設(shè)計(jì)就顯得非常精致，其更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn).學(xué)生只需按照“學(xué)歷案”設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)流程就能夠順利實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)“以教師講解”為核心的傳統(tǒng)高三復(fù)習(xí)課向“以學(xué)生學(xué)習(xí)”為中心的生本課堂的轉(zhuǎn)變.