妙用圖像規律 巧解函數問題

☉江蘇省蘇州市蘇州高新區第一中學 陳 瑜

函數是高中數學的核心內容，對于絕大多數學生而言，函數的學習是具有較大難度的，再加上函數部分涉及的知識點較多，因此有部分學生會存在畏懼心理.在考試中，函數試題變式繁多，涉及許多函數的性質及變化，在很多的壓軸題中，函數方法或思想是常見的考點，如果學生的函數學習基礎不扎實，對函數方法掌握得不到位，那么在分析、解答這些問題時就會遇到困難，甚至是毫無思路.借助函數圖像，學生能夠理解函數的各種性質以及變化規律，是輔助學生學習、答題的工具.

一、函數圖像的教學意義

（一）理解函數概念

函數的定義為：對于定義域中任何一個自變量，值域中都有唯一確定的值與之對應.學生對于這個概念缺乏直觀的認知，理解起來比較困難.借助函數圖像，學生就會發現，如果x在定義域內任意取一個值，表示的是x=m這一條直線與函數值域曲線至多有一個交點，如果出現了2個甚至多個交點，那么就不符合函數的定義.

（二）描述函數性質

函數圖像的變化規律、周期性、對稱性可以直觀地反映函數的單調性、周期性等性質，學生通過觀察圖像，可以更加直觀地感受到函數的這些性質.在教材中，函數性質的教學也都是借助函數圖像進行的.

（三）輔助解題

在解決函數問題時，圖像是一個很好的輔助手段，可以將函數的變化特征、性質等直觀地反映出來，在填空題的解決過程中，借助函數圖像可以省去復雜的推算過程，既化繁為簡，提高了正確率，又節省了答題時間.

二、函數圖像解題技巧

（一）巧解小題，節省時間

在考試中，時間是有限的，數學學科題目多，難度大，因此在日常的訓練中教師要引導學生發現、總結常見題型的最優解答方法，通過簡便的解題方法來快速、準確地解決問題，尤其是最前面的填空題，為難度大、分值高、解題步驟要求高的解答題爭取更多的時間.

在解答填空題時，我們經常會遇到比較復雜的題目.這時，我們就需要選用最為簡便的解答方式，因為填空題不要求書寫過程，答案正確就能拿分，所以要避免在這一題型中花費大量的時間，因小失大.具體來說，特殊值法、圖像法都是可以簡化解答過程的方法，需要我們轉換思維，將題目的有用信息提煉出來，盡可能地結合函數圖像快速獲解.

例1曲線與直線l：y=k（x-2）+4有2個不同的交點，則實數k的取值范圍為______.

解答：由圖1可知，當直線l在AM和AN之間時，和半圓存在兩個不同的交點.不難求解，直線AM的斜率此時直線與半圓相切，有且僅有1個交點，是臨界狀態；直線AN的斜率為因此，如果直線l和半圓有兩個不同的交點，那么直線l的斜率的取值范圍為］，即k的取值范圍為

分析：這是一道常見的函數問題，對于這類題，從代數角度直接運算是很困難的，在時間有限的考試中幾乎不可能準確求解.因此，我們就需要結合函數圖像進行分析與解答.顯然，曲線y的形狀為一個半圓，直線l：y=k（x-2）+4的解析式不確定，但是過一固定點（2，4）.通過以上分析，我們就可以大致繪制出題干信息中所描述的圖形關系，如圖1所示.

圖1

（二）繪制圖像，分類討論

在解決一些函數問題時，從題干信息我們并不能確定解題思路，需要深入分析.比如，在判斷函數圖像時，對于給定的函數關系式，我們不能確定唯一解，對于其他潛在的答案又不能直接否定，這時我們就需要借助函數圖像，結合函數性質來分類討論.

例2如果函k不為0）以及函數y=k（1-x）在同一個圖中，請繪制出符合條件的函數圖像.

圖3

分析：面對這樣的一種函數圖像問題，首先要做的不是去判斷圖像，而是去分析題干信息中的兩個函數解析式.y=k（1-x）=-kx+k，這是一個一次函數表達式，如果想要確定函數圖像就需要對k的取值情況進行討論.因為這個問題中兩個函數的k值是統一的，因此我們的解題思路就以該函數為主，以這一函數為輔，通過對前一個函數的圖像分析就可以確定這兩個函數圖像的整體狀態，不僅節約了時間，簡化了解答過程，而且提高了解答的正確率.

解答：對于函數y=-kx+k而言，如果k＞0，那么函數圖像必定經過第一、第二、第四象限，令x=0，y=k＞0，則函數與y軸的正半軸相交.函數的圖像經過第一、第三象限；如果k＜0，那么函數圖像一定經過第一、第三、第四象限，令x=0，y=k＜0，則函數與y軸的負半軸相交.函數的圖像經過第二、第四象限.根據以上分析，可以確定兩種情況符合題目要求，如圖2所示.

圖2

（三）數形結合，值域求解

在高中函數問題中，值域求解是常考題型，形式多樣，常與解析幾何、向量等考題共同出現.如果從代數角度著手求解，那么計算量會很大，也很難求出正確結果.如果結合函數圖像，那么值域的求解就會簡便很多.

例3已知A，B為橢圓y2=1上的兩個動點，點E的坐標為（1，0），如果滿足EA與EB垂直，試求向量數量積的范圍.

分析：這道題表面上是解析幾何以及向量問題，但是設問為向量積的取值范圍問題，我們就需要對題目進行轉化，將其變成函數值域問題.

解答：假設點A的坐標為（a，b）.由題目已知條件可知，EA與EB垂直，那么向量又因為A點在橢圓上，滿足，其中a的取值范圍為［-2，2］，所以可知，問題就轉化成了求解關于a的二次函數在區間［-2，2］上的值域，不難求解出的取值

三、結語

函數圖像的應用很廣泛，除了本文所述之外，在求解方程近似解、確定函數值域等方面也有重要的應用.借助函數圖像解決函數問題的實質就是數形結合的思想方法.要想在考試中能夠熟練應用這種方法，教師就需要在初等函數的教學過程中訓練學生的數形結合能力，歸納總結出常見函數圖像問題的解題思路，讓學生在遇到這類考題時能從容應對.