給定四邊的凸四邊形面積范圍的探究

☉廣東省惠州市實驗中學 劉劍鋒

2017年江蘇大聯考給出了下面一道試題（改編）：平面凸四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，求該四邊形面積的最大值.

此題簡潔明了，趣味深刻.本文想通過對四邊形面積的最大值的求解，進一步探究四邊形面積的取值范圍，最終將求四邊形面積的取值范圍的結論推廣至一般情形.

一、求解四邊形面積的最大值

這里給出兩種求解方法：

圖1

圖2

圖3

解法一：如圖1，連接AC，設AC=x.結合圖2、圖3，，且由海倫公式得四邊形ABCD的面積：

解法二：由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=AD2+DC2-2AD·DCcosD，

即22+42-2×2×4cosB=32+52-2×3×5cosD，

所以15cosD-8cosB=7.①

所以15sinD+8sinB=2S.②

①2+②2得：152+82-24cos（B+D）=72+（2S）2，

即S2=60-60cos（B+D）.

注意到∠D增大，則AC增大，從而∠B也隨之增大.隨著∠D的減小，B、D、A趨于共線時（如圖2），∠B+∠D趨于π-arccos隨著∠D的增加，A、B、C趨于共線時（如圖3），可見∠B+∠D的取值范圍為所以當且僅當∠B+∠D=π時，S2取得最大值120，即∠B+∠D=π，四邊形ABCD內接于圓時，此時面積S取得最大值為

二、探究凸四邊形ABCD面積的取值范圍

在上述解法二中，令∠B+∠D=α，

則S2=f（α）=60-60cosα，且 α ∈

三、給定四邊的凸四邊形的面積范圍

如圖4，在平面凸四邊形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，不失一般性，不妨a≥b，a≥c，a≥d，b≥d，即AB不比其他任何邊短，與AB相鄰的邊BC不短于AD.要構成平面凸四邊形，必有a＜b+c+d.

圖4

連接AC，由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=AD2+DC2-2AD·DCcosD，

即a2+b2-2×a×bcosB=c2+d2-2×c×dcosD，

所以2abcosB-2cdcosD=a2+b2-c2-d2.①

所以2absinB+2cdsinD=4S.②

①2+②2得：4a2b2+4c2d2-8abcdcos（B+D）=（a2+b2-c2-d2）2+（4S）2，

即（4S）2=4a2b2+4c2d2-（a2+b2-c2-d2）2-8abcdcos（B+D）.

圖5

圖7

圖6

注意到∠B增大，則AC增大，從而∠D也增大.隨著∠B的增加，A、D、C趨于共線（如圖5），從而∠B+∠D趨于π+arccos當a+d≥b+c時，隨著∠B的減小，B、C、D三點趨于共線（如圖6），從而∠B+∠D趨于π-arcco；當a+d＜b+c時，隨著∠B的減小，B、A、D三點趨于共線（如圖7），從而∠B+∠D趨于

所以當a+d≥b+c時，∠B+∠D的取值范圍為

當a+d＜b+c時，∠B+∠D的取值范圍為

因此，無論a+d≥b+c，或a+d＜b+c，∠B+∠D都可取得π，從而（4S）2取得最大值M=4a2b2+4c2d2-（a2+b2-c2-d2）2+8abcd=（a+b+c-d）（b+c+d-a）（c+d+a-b）（d+a+b-c）.

當a+d≥b+c時，（4S）2關于∠B+∠D

綜上可得如下一般性結論：

任意給定凸四邊形的四邊，當最長的邊及與其相鄰的較長的邊夾角變小，凸四邊形趨于一個三角形時，凸四邊形的面積趨于其下限；凸四邊形變為內接于圓時，其面積取得最大值.

實戰：凸四邊形的四邊依次為3，5，7，11，求其面積的取值范圍.

根據上述一般性結論，當長為7，11的兩邊夾角變小，凸四邊形趨于以3，11，7+5為邊的三角形時，凸四邊形面積趨于該三角形的面積為；當凸四邊形變為內接于圓時，其面積取得最大為.因此該凸四邊形面積的取值范圍為