由一道模擬向量題的最值問題解法及變式引發的思考

☉安徽省寧國市津河中學 汪庭斌

涉及平面向量的最值問題一直是高考平面向量部分比較常見的考查形式，往往涉及向量的模、向量的夾角、向量的數量積、參數值等相關最值的求解，也是各類模擬卷、自主招生中比較常見的題型.此類問題的切入點多，方法多樣，而且難度一般都不低，是知識的交匯點，其創新應用強，能力體現高，是數學素養培養與提升的重要場所.

例在邊長為1的正三角形ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的動點，且滿足，其中m，n∈（0，1），m+n=，N分別是EF，BC的中點，則|MN|的最小值為（ ）.

本題以“E，F分別是邊AB，AC上的動點”這個“變”的關系與“這個“不變”的式子來設置，結合“M，N分別是EF，BC的中點”，利用其中點M的“動”與點N的“不動”這一對關系來確定“|MN|的最小值”.充分體現了動與靜，變與不變，常值與最值等矛盾與統一的辯證關系，也充分聯系起平面向量、函數、幾何等知識點之間的交匯與綜合，可以達到綜合考查能力，培養素養品質的目的.

基底法是解決平面向量的常用方法與常見技巧，一定要熟練掌握.其本質是通過平面向量的線性關系理清向量之間的關系，把所要求解的|MN|轉化為相應的基底向量的線性關系，然后利用模的平方建立起含有參數m，n的關系式，并結合兩參數之間的關系加以轉化，化為只有其中一個參數的二次函數問題，最后利用二次函數的圖像與性質來確定最值即可.

解法1：由于M，N分別是EF，BC的中點，

共線向量定理是平面向量中關于平面向量線性關系的一個重要定理，可以有效構建起平面向量的線性關系與相關三點之間的位置關系.借助平面向量的中點公式加以轉化，構造出新的點G、H，并結合共線向量定理可以確定點M的軌跡為線段GH（不包括兩邊的端點），再利用平面幾何性質來確定|MN|的最小值.

圖1

解法2：由題n，又由于M是EF的中點，則有n

因此根據共線向量定理可知點M的軌跡為線段GH（不包括兩邊的端點），

又根據平面幾何性質可知當點M為線段GH的中點時，|MN|取得最小值，其值為正三角形ABC的高的

在破解一些有關平面幾何問題的選擇題時，經常可以利用平面幾何的一些相關基本性質，選取特殊位置來進行特殊化處理，進而得以快捷處理并正確破解.這里利用正三角形ABC的圖形的對稱性可知，最值處必定是在相應的平衡位置，由此確定兩參數m，n相等，進而確定 |MN|為正三角形ABC的高的，再結合三角形的性質得以快捷處理.

解法3：根據正三角形ABC的圖形的對稱性可知，最小值只可能產生于平衡位置，

三、變式拓展

變式方向1：改變兩參數m，n的和為其他滿足條件的常值，其他條件均不變，進行變式拓展.

變式1：在邊長為1的正三角形ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的動點，且滿足，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分別是EF，BC的中點，則|MN|的最小值為（ ）.

變式方向2：改變兩參數m，n的和為一般性的滿足條件的參數，其他條件均不變，進行變式拓展.

變式2：在邊長為1的正三角形ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的動點，且滿足n∈（0，1），m+n=λ∈（0，1），M，N分別是EF，BC的中點，則|MN|的最小值為______.

解析：由于M，N分別是EF，BC的中點，

在解答涉及平面向量的最值問題時，關鍵是要正確把握題目條件，從題意入手，從平面向量的相關概念與相關運算的本質出發，選取代數與幾何、數與形等方式，用向量法、幾何法、函數法、三角法、圖像法、不等式法等行之有效的基本方法來解決，進而達到解決相關最值問題的目的.