平面向量最值問題的常見解題策略

☉江蘇省常熟中學 李一舟

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 殷偉康

平面向量最值問題是高考熱點問題之一，是架起平面幾何圖形與坐標系下代數運算的樞紐，備受命題者的青睞.此類問題的特點是試題短小精悍，結構簡潔，而且試題新意不斷，亮點頻出，平實中顯精巧雅致，解題入口寬，解法靈活，蘊含著數形結合、化歸與轉化等數學思想.本文以近幾年江蘇省市級統考試題為例，對平面向量最值問題的常見解題策略進行歸類剖析.

一、合理建立坐標系，將向量最值問題轉化為函數最值問題

在解決一些平面圖形（如正方形、矩形、直角三角形、等邊三角形或直角梯形等）中的向量最值問題時，依據圖形的幾何特征，通過建立平面直角坐標系，將向量問題坐標化，使研究對象具有簡潔的代數表達式，將向量最值問題轉化為函數的最值問題.向量坐標法簡潔、流暢.

例1（2018年南通市高三第一學期期末）如圖1，已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=1.點P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ=45°，則的最小值為______.

解法1：建立如圖1所示的直角坐標系，則B（2，0），C（2，1），D（0，1）.

設Q（x，1），P（2，y）（0≤x≤2，0≤y≤1）.

圖1

解法2：以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1）.

評注：根據矩形ABCD的特征，建立直角坐標系，解法1是設出Q（x，1），P（2，y），利用條件“∠PAQ=45°”，尋找x與y的關系，將的最小值轉化為求解“（y+2）+”的最小值.解法2是通過設∠PAB=θ，用θ表示點P、Q的坐標， 將的最小值轉化為求解2tanθ-2”的最小值.

例2（2018-2019學年第一學期蘇州市高三數學期中調研測試）如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD=60°，CB=CD=若點M為邊BC上的動點，則的最小值為______.

圖2

圖3

解析：根據圖形，適當調整圖形的位置，以點B為原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立如圖3所示的平面直角坐標系，則△BCD為等邊三角形，且CB=CD=，易得.又∠xAD=60°，所以所以直線令y=0，則x=2，所以A（2，0）.設M（0，t）

評注：根據圖形的特征，變換角度，重新設置圖形（便于三角形的頂點用坐標表示），如圖3，以點B為原點，BA所在直線為x軸，建立直角坐標系，將向量數量積問題轉化為函數的最值問題.

二、利用平面向量基本定理，將向量最值問題轉化為函數的最值問題

在求解向量最值問題時，合理選擇基底，將待求的向量用基底表示，然后利用平面向量基本定理（平面內任何向量都可以用不共線的兩個向量線性表示）和向量的線性運算，將原問題轉化為函數的值域（最值）問題.

例3（2017年南通市高考模擬試題）在平行四邊形ABCD中，，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足最大值為______.

設h（λ）=-（λ+1）2+6，則h（λ）在［0，1］上單調遞減，所以當λ=0時，h（λ）max=5，即的最大值為5.故填5.

三、利用平面向量的幾何意義，構造幾何圖形解決向量最值問題

根據平面向量的幾何意義，挖掘向量問題的幾何背景，構造圖形（三角形、平行四邊形、圓等），利用數形結合思想進行求解.運用圖形意識，將向量最值問題置于適當的幾何背景之中，使各種數量關系在圖形中簡單明了，從而使抽象的向量問題直觀化，實現快速解題的目的.靈活掌握向量之間的圖形建構，展示了數形結合思想的魅力.

例4（2016·蘇北四市三模）已知a，b，c是同一平面內的三個向量，其中a，b是互相垂直的單位向量，且（a-，則|c|的最大值為______.

解析：建立平面直角坐標系，令a=（1，0），b=（0，1），設c=（x，y），則a-c=（1-x，-y），

例5（2018年揚州市高三第一學期期末）已知正三角形ABC的邊長為2，點P為線段AB中垂線上任意一點，Q為射線AP上一點，且滿足|的最大值為______.

解析：建立如圖4所示的直角坐標系，則A（-1，0），C（0，

圖4

評注：此題求解過程讓人有一種“看似尋常卻崎嶇，成如容易最艱辛”的感覺，究其原因，不知“如何合理引進參數、消參，求出Q的軌跡”.根據圖形特征建立平面直角坐標系，將向量最值問題轉化為幾何問題，目標是求出點Q的軌跡.設Q（m，n），P（0，t），從條件發，得到m+nt=0 ①后，不少人感到束手無策，也有人直接利用點到直線的距離公式求解，然而卻無功而返.若能結合“Q為射線AP上一點”這一條件，則，所以n=（m+1）t ②.再由①②消去參數t，則可以求出Q的軌跡方程（即圓M的方程），因此將原問題轉化為圓M上的點Q到定點C的最大距離問題.

四、引進適當的參數，利用三角函數的有界性求解向量最值問題

在解決向量最值問題時，引入適當的參數，是為向量最值問題的順利解決鋪路搭橋的一種思維方式.適當地建立坐標系和引入參數，可以使所要研究的向量有簡潔的三角函數表達式，將圖形的性質與特征賦予代數運算，將向量最值問題轉化為三角函數最值問題.

例6（2015年南通市三模）如圖5，已知正方形ABCD的邊長為2，點E為AB的中點.以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于點F.若P為劣弧的最小值為______.

圖5

解析：如圖5所示，以A為原點，邊AB所在的直線為x軸，邊AD所在的直線為y軸，建立平面坐標系.設P（cosθ，sinθ），其中D（0，2），C（2，2），所以（-cosθ，2-sinθ）=（2-cosθ）·（-cosθ）+（2-sinθ）2=5-的最小值為

評注：通過建立直角坐標系，引入角參數，利用向量坐標巧妙地將圓的參數方程與三角函數的相關知識連成的最小值轉化為三角函數的最小值問題.

五、運用極化恒等式探求向量數量積的最值問題

圖6

極化恒等式的幾何意義：如圖6，在△ABC中，D是BC的中點，化恒等式溝通了向量的數量積與向量線性運算的關系，將不可度量的向量的數量積關系轉化為可度量、可計算的數量關系.把向量的數量積用形象的幾何圖形展示得淋漓盡致，實現了向量與幾何、代數三者的有機結合.運用極化恒等式求解數量積的最值問題，可以獲得快速、簡捷的解法.

例7（2016年南通市二模）如圖7，在同一平面內，點A位于兩平行直線m，n的同側，且A到m，n的距離分別為1，3.點B，C分別在m，n上的最大值是______.

圖7

解法1：（坐標法）建立坐標系，如圖7所示，則A（0，3）.

解法2：（極化恒等式）如圖8所示，連接BC，取BC的中點D，則

圖8

評注：運用極化恒等式，把二元變量最值問題轉化為一元變量最值問題，運用數形結合思想與平面幾何知識確定一元變量的取值范圍，可使原問題簡捷求解.坐標法與極化恒等式兩種方法比較，極化恒等式的處理方式更簡潔.此題還有其他解法，但是運用極化恒等式的解法是最簡捷、最能體現問題實質的.

平面向量最值問題具有綜合性強、靈活性大等特點，其難點是解題方向不明確，往往感到無從下手.因此，解決平面向量最值問題的關鍵是：合理運用以上五種常見解題策略，善于運用數形結合、化歸與轉化等思想方法，選擇恰當的解題方法，可將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而快捷獲解.