學(xué)習(xí)進(jìn)階：思維課堂發(fā)展核心素養(yǎng)的新樣態(tài)

☉江蘇省宜興市丁蜀高級中學(xué) 吳湘蕓

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，反映了現(xiàn)實目標(biāo)的數(shù)量關(guān)系與空間方式的本體特征，學(xué)生從數(shù)學(xué)課堂中學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)思維是從數(shù)學(xué)的角度來思考問題和解決問題的思維活動方式.學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上圍繞著數(shù)學(xué)概念逐步展開學(xué)習(xí)探究，從簡單到復(fù)雜，從單一到綜合，從淺層到深度，有層次地進(jìn)行思維進(jìn)階，以促進(jìn)概念的優(yōu)化理解，從而逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、創(chuàng)設(shè)思維情境，探索概念形成

問題指引思維.課前根據(jù)上課內(nèi)容設(shè)置階梯問題，課中根據(jù)學(xué)生的實際情況適當(dāng)修改問題.問題帶有明確的指向性，可以啟迪學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的探索動機(jī).把握學(xué)生的思維方向，讓學(xué)生在問題情境中抽象出原始概念，然后通過實驗加以完善.在實踐過程中盡可能地讓學(xué)生合作探究或自我表達(dá)，并引領(lǐng)學(xué)生發(fā)展思維能力，引發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)的關(guān)注和反思，從而讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)概念的過程其實是自然有趣的，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

例《橢圓的幾何性質(zhì)》中的離心率的探索

操作的簡要過程：大家觀察一下橢圓和圓的形狀，發(fā)現(xiàn)有何不同？

生：圓的形狀都是相同的.

生：一個比較圓，一個比較扁.

師：這兩個橢圓的扁平程度不一樣，為何會產(chǎn)生如此差異？

發(fā)現(xiàn)：注意到兩個橢圓方程中a的數(shù)值相同，b的數(shù)值不同，b越大橢圓越圓，b越小橢圓越扁.

思考：選用什么樣的量來刻畫橢圓的“扁”的程度呢？

提問：刻畫“扁”的程度還有其他量嗎？

實驗：（1）將一根細(xì)繩的兩個端點固定在焦點處，用筆尖拉緊繩子，在平面上畫一個橢圓，然后調(diào)整繩子的長度（分別加長與縮短），并觀察橢圓的“扁”的程度的變化規(guī)律；（固定c不變，改變a）

（2）細(xì)繩的長度固定不變，將焦距分別增大和縮小，觀察橢圓的“扁”的程度的變化規(guī)律.（固定a不變，改變c）

設(shè)計意圖：讓思想發(fā)生，學(xué)生自由發(fā)言.讓學(xué)生通過實驗直接體會選用，因為a，c是定義中出現(xiàn)的量，并且a，c是確定橢圓的“原始”量.

結(jié)論：實驗1：a越大，橢圓越圓；a越小，橢圓越扁.

實驗2：c越小，橢圓越圓；c越大，橢圓越扁.

實驗結(jié)果說明橢圓由圓向扁的轉(zhuǎn)變與a是成“反比”的關(guān)系，與c是成“正比”的關(guān)系.由于橢圓“扁”的程度與a，c均有關(guān)系，且比值不同，所以用來刻畫比較好.

由于a2=b2+c2，所以也可用越趨近于0時，c越接近0，則b越趨近于a，因此橢圓越圓；當(dāng)越接近于1時，c越接近于a，則b越小，因此橢圓越扁.也就是增大時，橢圓越來越扁.

“離心率”這個名詞非常形象：在a的值確定后，c的值越大，焦點距離中心越遠(yuǎn)，橢圓就越扁.

二、尋找思維起點，把握概念內(nèi)涵

學(xué)生在學(xué)習(xí)新的概念時，往往尚未完全理解，便已經(jīng)開始對概念進(jìn)行記憶.但是一旦遇到變化形式的題目時，往往不會靈活運用到解題過程中.因此課堂中應(yīng)努力架設(shè)思維進(jìn)階的橋梁，使學(xué)生找準(zhǔn)思維進(jìn)階的起點，即要從題目中尋找對應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，緊緊抓住核心概念，不斷地啟發(fā)思考，找到思維路徑，加深學(xué)生對概念的理解.

例已知（fx）=log3x，則滿足（fx）≥0的x的取值范圍是______.

分析：有學(xué)生說看到題目之后想畫出函數(shù)圖像，但是沒能成功.教師引導(dǎo)學(xué)生審題，從讀題開始，幫助學(xué)生鋪設(shè)思維路徑.

思維進(jìn)階：先回到起點，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)，就應(yīng)該從函數(shù)的性質(zhì)入手.教師不妨提問：“函數(shù)有哪些性質(zhì)？”此時學(xué)生開始發(fā)言：“單調(diào)性、奇偶性等等.”實際上應(yīng)該先考慮定義域，這個很容易求解.也有學(xué)生很快地發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)遞增，然后畫圖、求解，就順利多了.

三、鋪設(shè)思維階梯，掌握數(shù)學(xué)概念

課堂中讓學(xué)生自主選擇作答，從題目的答復(fù)中往往能夠推測出學(xué)生掌握知識的具體層次，探求思維困難的本源，進(jìn)而幫助學(xué)生鋪設(shè)思維階梯，連接思維道路，引導(dǎo)學(xué)生精確深刻地理解概念，多角度地解析概念.

1.使用辨析思維使概念完善

通過題組辨析，從本質(zhì)上理解概念.通過正面論證、反面舉例，增強(qiáng)學(xué)生的思維辨析意識，增強(qiáng)學(xué)生的思維嚴(yán)密性.

例下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是______.

分析：本題主要考查的是對同一函數(shù)這一概念的理解.函數(shù)的三要素是定義域、值域、對應(yīng)法則.

2.通過類比思維使概念清晰

高中數(shù)學(xué)有很多概念具有共同屬性，可以類比記憶.通過概念的類比把握概念的實質(zhì)，使概念深化，思維拓展，豐富層次，產(chǎn)生相似聯(lián)想，并在腦海中構(gòu)造完整的知識網(wǎng)絡(luò)，從而加深知識點之間的聯(lián)系，讓思維更加深刻.

例圓錐曲線中的橢圓、雙曲線、拋物線復(fù)習(xí)時，都能從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、范圍、頂點、焦點、準(zhǔn)線、對稱軸、離心率等對比記憶.在復(fù)習(xí)直線與圓錐曲線的位置時，也能夠合并起來，然后增加特殊情況.

例 已知圓x2+y2=4，直線l：x=4，圓O與x軸交于A，B兩點，M是圓O上異于A，B的任意一點，直線AM交直線l于點P，直線BM交直線l于點Q.求證：以PQ為直徑的圓C過定點，并求出定點坐標(biāo).

思維進(jìn)階：將圓改成橢圓其實，原題中kAM·kBM=-1，而改題后變?yōu)?如果發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律，就會發(fā)現(xiàn)兩題解法的共通之處.

四、訓(xùn)練思維創(chuàng)新，應(yīng)用核心概念.

課堂中運用多種解法展示思維的遞進(jìn)，讓學(xué)生從多角度思考問題，使概念得到充分運用.然后從不同路徑尋覓解決問題的方式，鞏固概念，提高學(xué)生的思維能力，并熟練地應(yīng)用概念來解決問題.

（當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時取等號.）

高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生的思維發(fā)展，將思維貫穿到概念學(xué)習(xí)過程的始終，使學(xué)生形成自主思考、思維參與的好習(xí)慣，在不斷的概念學(xué)習(xí)中進(jìn)行學(xué)習(xí)進(jìn)階，從而有效提升思維的深度與廣度，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，促進(jìn)全面發(fā)展.W