“問題—互動”教學中的數學活動研究

☉江蘇省南通中學 楊建楠

數學教學是數學活動的教學，數學素養是在特定的、情境化的、綜合性的數學活動中形成與發展、表現與評價的，數學教學活動所關注的重點不是教學結果而是教學過程，關注的是發展學生的“四基”“四能”，產生于“全人教育”思想指引下的“問題-互動”教學模式，在激發教育主體主動性的基礎上，構建融合了“問題解決”“教學互動”“探究性學習”等一體的教學模式，以此達成教與學的和諧統一.該模式在“問題”引領的“互動”中，教師更加關注學生的主體參與性及其實際效果，“問題—互動”教學模式需要教師和學生在情感、智慧以及意志方面以“問題”為基礎進行有效地“碰撞”，只有這樣才能擦出知識的火花.在這一“碰撞”的教學活動過程中，教師所關注的不能僅停留在學生知識的掌握程度和運用能力的層面上，而是應更多地關注學生對思想方法的掌握和思維能力的養成訓練上，這種“碰撞”也正是培養學生學科核心素養的土壤.在從“知識本位時代”走向“核心素養時代”的教學背景下，“問題—互動”教學的研究更具有現實意義.

一、以“問題”為靈魂 開展數學教學活動

案例1：《平均變化率》教學片段：

（蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書（選修2-2）·數學》）

教師給出三個生活情境：房價“暴漲”、股指“跳水”、氣溫“陡升”.提出三個問題：問題1：如何從數學角度刻畫房價“暴漲”、股指“跳水”、氣溫“陡升”呢？問題2：三個不同的問題情境，它們有共同的特征嗎？問題3：你能歸納出解此類問題的一般方法嗎？

學生討論后得出：都可以用比值來刻畫變量的快慢程度.

教師：我們把用來刻畫變量的快慢程度的比值，叫做平均變化率，這就是我們今天要學習的平均變化率.

案例1通過房價“暴漲”、股指“跳水”、氣溫“陡升”這三個貼近學生、貼近生活、貼近教材的情境，讓學生感知客觀世界中存在著變化快慢不同的現象，培養學生的數學直覺和數學意識，使學生形成一定的數學核心素養的外在表現.通過三個合理問題的引領，讓學生自主地進入問題思維過程，并自覺地進入計算思辨過程.使學生在已有認知結構的基礎上建構出新的知識，讓學生經歷平均變化率概念的形成過程，體會平均變化率是刻畫變量變化快慢程度的一種數學模型；感受數學模型在刻畫客觀世界中的作用，進一步領會變量數學的思想方法，強化概念形成的合理性和科學性.案例1中的問題的設計很好地關注了數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.在“問題—互動”教學中的“情境+問題”式的問題的引領下渾然天成的幫助學生形成數學核心素養的內涵.

1.“問題—互動”教學中“情境+問題”的情境數學化要求：

①確定現實情境中的一個或幾個（同類）問題的數學特征及關鍵變量，確認問題或情境中的數學結構（包括規律、關系和模式）.②簡化情境或問題，使其更有利于數學分析.③在建模過程中弄清楚各種限制和假設，并逐步簡化背景.④利用恰當的變量、符號、圖表和標準模型對問題情境進行數學表征.⑤用不同的途徑描述問題，包括數學概念和數學假設的利用.⑥理解和解釋用于描述同一問題的現實情境語言和數學形式語言之間的關系.⑦把問題轉譯為數學語言或數學表征.

2.“問題—互動”教學中的“情境+問題”式的問題引領它關注以下三個方面：

①情境是形成數學核心素養的環境.傳統的教學中數學知識的得出，主要是依據知識邏輯線索，缺少學生心理的發生過程，很大程度上是教師將數學知識“無私”地奉獻給學生，因此學生無法得到知識來源的心理依據，數學知識也就不能從心理意義上發生.情境是學生展開學習活動的環境載體：案例1中三個情境指向關鍵的數學問題——平均變化率，能讓學生去關注其數學本質，三個情境具有激趣特征，能激發學生的學習興趣，引發學生自主探究，具有恰當的情境自然和情境梯度，有利于學生挑戰問題，培養科學精神，同時三個情境有著真實而又簡潔的特征，能夠快速誘發學生的數學思考.

②問題是形成數學核心素養的靈魂.案例1中的三個問題的提出有這樣幾個特征：有明確的數學指向，它遵循自身邏輯關系來揭示數學本質；有明確的素養指向，問題的探究過程有利于學生充分體現數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等核心素養的過程性體驗；有明確的結構指向，通過計算比值明確問題指向的遠近目標；有明確的學習指向，問題邏輯線清晰，引領明確，問題梯度契合學生的認知能力水平，問題的啟發性和挑戰性并存.

③情境與問題和諧統一，使學生生成數學核心素養.案例1中的三個情境與三個問題融為一體，“境”為“問”服務，“問”由“境”引出，引導學生善于發現情境中所蘊含的問題.“境”利于數學關鍵問題的揭示與核心素養的磨礪性積累，“問”具有誘發性與遞進性便于后面的“互動”的展開.

二、以“互動”為載體 提升數學活動的質量

案例2：高三復習專題：《如何破解應用題》

教師：高考中對應用題主要考查兩個方面的能力：建立數學模型的能力（簡稱“建?！蹦芰Γ?、解決數學模型的能力（簡稱“解?！蹦芰Γ渲小敖！本褪墙柚谝延械闹R與經驗把文字數學化.如何數學化呢？就是要我們學會把常見的數學模型歸類，這樣數學化的方向才能明確.

互動一：對已經做過的一些應用題進行分類

生生互動（學生活動）、師生互動（小組交流、教師總結）得出結論.

互動二：學生之間交流并談談“建模”的關鍵點

互動三：感悟練習，交流方法

如圖1所示，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A處看建筑物CD的張角∠CAD=45°，則這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離BD=______m.

圖1

學生交流：設邊、設角、建系、設二元變量.

教師：通過剛才的感悟練習，結合你的體會談談“建?！钡年P鍵點是什么？

學生：變量的選擇，方法的優化.

教師：很好，下面根據同學們的感悟一起來完成下面的例題.

要求：請選擇不同的變量與方法解下題，找到你認為的最佳的解決問題的方案.

例題如圖2所示，攝影愛好者S在某公園A處，發現正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為S的眼睛離地面的高度為

圖2

（1）求攝影愛好者到立柱的水平距離和立柱的高度；

（2）立柱的頂端有一長2米的彩桿MN，繞其中點O在SA與立柱所在的平面內旋轉.攝影愛好者有一視角范圍的鏡頭，在彩桿轉動的任意時刻，攝影愛好者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由.

互動四：如何選擇變量與方法

活動后請學生思考：

（1）直覺引入哪個變量易“建摸”？

（2）引入哪個變量易“解摸”？

（3）選擇哪種方法對“解摸”更有利？

解：（1）略.

（2）方法一：連結SM，SN，設SN=b，SM=a，

則在△SON和△SOM中，

故在彩桿轉動的任意時刻，攝影愛好者都可以將彩桿全部攝入畫面.

方法五：幾何法

教師：感悟一下“解模”的難點與方法.

學生：“解?！钡碾y點是自變量的選擇方法的優化；“解模”的方法是靈活的運用函數求最值的方法.

互動五：你能談談感悟練習與例題的相似點與不同點嗎？

學生：相似點：它們都屬于米勒模型，并且是同一背景，例題中的第一問與感悟練習是同一題型，不同點：例題的第二問是把靜態的距離問題轉換成動態的最值問題.

教師：例題是否比感悟練習少一個條件？

學生1：不少，例題中過S點作垂線時是平分角的，感悟練習中的二角是不定的.

互動六：你能在例題的基礎上給出合理的、可行的、建設性的意見來對例題進行改編嗎？

學生1：實際問題不同，數學模型一樣：足球比賽，一個球員帶球垂直于底線運動，什么角度射門把握最大？看墻上掛畫的視角最大問題？立體幾何：狼山腳下路上，哪點處看支云塔最清楚？

學生4：可以求AB與α的最小值.

比如：r=2，AB=3，求α的最小值.

教師：剛才的改編題是以圓為背景，那么我們可以改變圓的背景嗎？

案例2分析：“問題—互動”教學中，問題引導下“問題串+活動串”式互動的特點：（1）互動活動中的雙質性：教學目標指向數學本質問題，指向學生心理本質規律，教育價值指向發展學生的數學核心素養.在互動的過程中體現發展學生核心素養的目的：學習經驗引領學生學會歸納方法，并利用分類思想總結出高中數學中應用題的類型.（2）互動活動中的雙邊性：教學過程是師生共同活動的過程，應以學生為主體，克服以教師的“教”為中心的教學傾向.教學中的互動意識不僅表現在教學行為上，還要銘刻在教師的思想里，教師應在學情分析、目標確定、過程設計中有自覺表達的行為，教學設計不忘有目的地組織學生一起去經歷探索的實踐.針對學生學習與互動過程展開合理的數學思維的典型問題，通過“師生對話、生生對話”來快節奏地開展探究活動，通過教師的啟發講解和學生之間的交流體現學生的主體地位與教師的主導作用的結合.（3）互動活動中的雙部性：既要注意學生的外部感知活動，又要重視學生的內部思維活動，關注學生的學習心理，教學中經歷從問題串到互動串逐漸深入的探究活動過程，有利于培養學生發現問題、分類討論、建立數學模型、推理論證等的能力，在具體的互動過程中提升直觀想象、數學抽象、邏輯推理等素養，積累數學探究活動經驗.（4）互動活動中的雙型性：既要重視重要數學思維方法的輸入型教學，更要重視學生以探究發現為主要標志的自主型學習引領.讓學生自主提出問題，調動學生的探索欲望，讓其積極參與到教學過程中，并嘗試解決問題，從而真正喚起學生主動參與的意識.讓學生經歷數學模型的形成過程，真實體驗如何通過數學的“眼睛”來觀察和分析問題.使后面的提出問題與自己編題的互動比前面更開放、更深刻.