例談數學概念教學的“誤區”

☉廣東省中山市實驗中學 李兆勤

數學教學的核心是概念教學，正如李邦河院士所說“數學根本上是玩概念，不是玩技巧.技巧不足道也！”數學概念教學要關注生成，能促使學生主動建構的教學理念，也得到了越來越多老師的共識.最近，我校舉行了數學概念教學課堂展示活動，上課的主題是“弧度制”，筆者有幸參加并全程觀摩了各位老師的教學過程.總體感覺數學概念課不僅不好上，而且操作不當的話很容易陷入“誤區”.

一、無視“必要性”，忽視動機激發

學習動機需要在一定的教學情境下，利用一定的誘因，使已形成的學習由潛在狀態變為活動狀態，從而形成學習的積極性.學習動機的激發是課堂教學的起點，而展現概念學習的必要性往往是激發學習動機的切入口.

【片段1】國際油價13日大幅下跌，截止當天收盤，紐約商品交易所12月交貨的輕質原油期貨價格下跌4.24美元，收于55.69美元.

國際上大宗交易一般都是用美元，而我們用的是人民幣，這涉及到匯率，1美元=6.9546人民幣.

點評：這個例子只是說明了貨幣單位的多樣化，可以是美元、日元、人民幣等，類比得到角度的單位也有很多種，但它跟弧度制到底有什么深層次上的聯系？通過這個例子根本無法說明學習弧度制的必要性.

【片段2】師：在本章中要學習三角函數，在函數這一章中均以實數集或其子集作為定義域，這樣便于運用函數圖像來研究函數的性質.要研究三角函數的圖像，勢必要把定義域也放在實數集或其子集上，也就是要用實數度量角的大小.因此，我們要學習一種新的角度單位——弧度制.

點評：利用知識學習的連續性來揭示學習新知識的必要性也是一種常用的教學手段.但在本節內容中，上述的理由不僅不充分，而且不正確.角度制雖然是60進制，但并不影響它和實數集或其子集建立一一對應關系.不僅如此，三角函數的圖像到底是怎樣的，學生并沒有印象，因此，利用圖像來解釋學習弧度制的必要性也是行不通的.實際上，學習弧度制的目的在于“簡化運算”，因為角度制涉及60進制與10進制的換算很不方便，并且弧長公式、扇形面積公式在弧度制下的結構比在角度制下的結構更為簡潔.因此，學習必要性的解釋要在“簡化運算”上作文章，要通過具體的例子進行比較、分析，最終讓學生真正的感受到學習弧度制的必要性.

二、束縛“手腳”，壓制思維建構

教學應立足于學生已有的經驗，通過建立新知識與舊知識之間的聯系來促使學生自主建構.因此，學生的“學情”是概念教學中首先要考慮的問題，上課的時候一定要關注學生是如何想的？學生會采用什么樣的方法？

【片段3】問題1：給出三個半徑不同的扇形，比較扇形所對應圓心角的大小.

師：現在我提供給大家一根繩子與一把直尺，通過測量弧長與半徑的比值來比較三個角的大小.

問題2：證明當圓心角大小確定時，弧長與半徑的比值為定值.

點評：角度制是最常用的，因為它在生活中無處不在，而弧度制在生活中卻很少見到，學生對弧度制缺乏直觀的感受，這也是為什么學生在學習弧度制后還是習慣用角度制的原因.角的度量單位其實有很多，希臘天文學家托勒密在研究天文觀測問題時，曾制作了一張與三角函數表相仿的弦表：把圓周360等分，半徑60等分，把弧所對的弦長定義為角（?。┑南抑?；印度數學家阿耶波多改進了正弦的算法，把圓周360等分，把半徑3438等分，把二倍角所對弦的半弦長定義為角（?。┑南抑?每種度量方法都有其思考的視角，那么學生對于角的大小的刻畫是如何思考的呢？遺憾的是教師提供了“繩子”與“直尺”，規定了測量的方法，但學生只是在驗證方法的可行性，并沒有發揮學生的主觀能動性.學生會想出怎樣的方法來測量角度的大小呢？學生能否獨立發明“弧度制”或者找到相關的線索？學生思維的靈動性顯然被教師的完美預設扼殺了，換來的就是對弧度制的“死記硬背”.

三、表達“隨意”，挑戰數學理性

教師在課堂中的一舉一動都受到學生的關注，尤其是教師對于數學觀點的表達直接影響學生對數學的理解與認識.教師不能以活躍課堂氣氛或者激勵學生的學習興趣為理由而對數學的一些常識隨意地發表自己的意見.

生：比度制.

師：這種表示角的方法叫做弧度制，如果你能早生幾百年，就可以用“比度制”來命名了.

點評：數學概念的名稱難道可以隨意命名嗎？難道僅僅是人為規定的嗎？眾所周知，人的“姓名”不僅僅是一種稱呼，同時還承載著眾多的社會文化功能，比如，代表個體群體、表明等級身份、彌補命運缺憾、體現社會評價等.數學概念的“命名”也是如此，在數學概念名稱與定義表述中往往隱藏著一些能體現概念本質屬性的關鍵字詞.比如，“常用對數”：顧名思義就是“經常用到的對數”；“空集”：“空空如也” 的集合；“離心率”：“偏離中心的程度”等等.數學名稱的命名是否合理直接會影響到人們對數學的理解，最容易引發誤解的命名要數“無理數”了，很多學生在剛開始接觸這個名字的時候很容易理解為“無理數”就是“沒有道理的數”.“無限不循環小數”，沒有規律可尋，確實給人以“無理”的感覺.但實際上“無理數”的命名是翻譯上的一次錯誤，“無理數”的英文原意是 “不可比數”，但日本人把它錯譯成 “無理數”，而我們恰恰直接借用了日本的翻譯.因此，數學概念的命名是一件很嚴肅的事情，也并不是“學生早生幾百年”就可以隨意更改的.數學是理性的，理性應貫穿于數學概念教學的全過程，教師不能根據自己的喜好而隨意更改.

四、刻意“求新”，違背認知規律

公開課貴在創新，“上出與眾不同的課”已經成為很多教師備課的方向.雖然追求創新是課堂教學的一種美好愿望，但前提是不能違背學生的認知規律，不能為了創新而創新.

【片段5】師：弧既有度數又有長度.

______的弧所對的圓心角為1弧度.

點評：通過與“1°”的定義進行類比，得到“1弧度”的定義，這樣的設計從表面上看很有新意，但仔細斟酌后感到非常不妥.角度制與弧度制的定義視角完全不同，兩者很難找到共同點進行類比.盡管在單位元“1”的定義上，兩者似乎存在著某種聯系，但這是知道了弧度制的概念后，再對弧度制概念進行辨析才能發現的結論.上述教學把這個結論作為引出弧度制的依據，顯然是本末倒置，違反了學生的認知規律.對于“弧既有度數又有長度”這個“真理式”的表述更為不妥，要得出這樣的結論至少要對角的度量方法有過深入的研究.正如對一個三歲的小孩說“光速是宇宙間最快的速度”一樣，直接拋出這樣的“真理”只會讓學生對角的度量感到更加迷惑.

上好數學概念課確實不易，衡量概念課是否成功的唯一標準是“是否揭示了數學的本質”，而要實現這一標準的唯一途徑是立足于學生已有的經驗，遵循學生的認知規律，切不可為了追求所謂的“新穎”而忽視教學的基本規律.