軸對(duì)稱(chēng)特性的解題應(yīng)用探索

黃煥才

[摘 ?要] 軸對(duì)稱(chēng)以及性質(zhì)不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的知識(shí)，還是一種重要的解題工具.在解析問(wèn)題時(shí)若能合理利用軸對(duì)稱(chēng)變換或軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，則可以挖掘題目中的隱含條件，建立高效的解題思路.文章深入探索軸對(duì)稱(chēng)在幾何證明、圖形翻折、線段最值和函數(shù)運(yùn)算中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 軸對(duì)稱(chēng);證明;翻折;路徑;函數(shù)

軸對(duì)稱(chēng)及其性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，具有軸對(duì)稱(chēng)特性的圖形不僅存在外在的美感，還具有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性.利用軸對(duì)稱(chēng)的觀點(diǎn)去觀察圖形結(jié)構(gòu)、分析內(nèi)在聯(lián)系、構(gòu)造幾何圖形，可以挖掘題目中的隱含條件，從而降低思維難度，獲得問(wèn)題求解的思路，因此可以說(shuō)軸對(duì)稱(chēng)不僅是圖形的一種特性，同樣可以將其作為是一種工具應(yīng)用于解題.

軸對(duì)稱(chēng)在幾何證明中的應(yīng)用

幾何中存在一些具有軸對(duì)稱(chēng)特性的圖形，例如正方形、長(zhǎng)方形、菱形、圓等，將這些圖形沿著對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折可以使其完全重合.利用其軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以獲得眾多的等量關(guān)系，如對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)線段相等，在解題時(shí)充分利用這些性質(zhì)可以實(shí)現(xiàn)等角或等線段轉(zhuǎn)化，從而打開(kāi)解題的突破口.

例1：如圖1所示，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)P為其對(duì)角線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，連接PD，PB，EF，試求證：PD=EF.

分析 題干所給四邊形為正方形，該圖形具有軸對(duì)稱(chēng)的特性，解題時(shí)可以充分利用.分析可知PD和EF不具備存在于兩個(gè)全等三角形中的條件，不能通過(guò)求證三角形全等直接獲得，因此需要綜合利用圖形中的性質(zhì)進(jìn)行等邊轉(zhuǎn)化.具體思路為首先利用正方形的軸對(duì)稱(chēng)性得出PD=PB，然后證明四邊形EBFP為矩形，得出PB=EF，進(jìn)而證明PD=EF.

證明 已知四邊形ABCD是正方形，則頂點(diǎn)B和D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸AC對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離相等，即PD=PB. 又因PF⊥BC，PE⊥AB，所以四邊形EBFP為矩形，則矩形的對(duì)角線PB=EF，從而有PD=EF，證畢.

點(diǎn)評(píng) 求證不相關(guān)的兩條線段相等一般有兩種方式：一是直接進(jìn)行等邊轉(zhuǎn)化，二是通過(guò)求證三角形全等，利用全等性質(zhì)來(lái)完成. 上述在進(jìn)行等邊轉(zhuǎn)化時(shí)充分利用了正方形為軸對(duì)稱(chēng)圖形的特性，實(shí)現(xiàn)了第一步轉(zhuǎn)換，為后續(xù)的分析奠定了基礎(chǔ). 因此在分析問(wèn)題時(shí)要充分利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的特性，挖掘隱含條件.

軸對(duì)稱(chēng)在圖形翻折中的應(yīng)用

翻折是圖形變換的一種方式，在圖形翻折中隱含著角平分、三角形全等、對(duì)稱(chēng)等概念和定理.實(shí)際上，翻折前后的圖形關(guān)于折痕呈軸對(duì)稱(chēng)圖形，因此在分析翻折問(wèn)題時(shí)可以從軸對(duì)稱(chēng)角度出發(fā)，利用軸對(duì)稱(chēng)的觀點(diǎn)來(lái)挖掘隱含條件，建立問(wèn)題與條件之間的關(guān)聯(lián).

例2：如圖2所示，四邊形ABCD為菱形，其對(duì)角線分別為6和8，點(diǎn)O為兩條對(duì)角線的交點(diǎn).現(xiàn)選取過(guò)點(diǎn)O的一條直線MN為折痕對(duì)圖形進(jìn)行翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′，若B′M=1，試求線段CN的長(zhǎng).

分析 點(diǎn)N位于菱形的邊CD上，翻折前后的圖形關(guān)于折痕對(duì)稱(chēng)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得B′M=BM，CN=C′N(xiāo)，已知菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，利用勾股定理可求得菱形的邊長(zhǎng). 已知B′M的長(zhǎng)度，就需要利用全等三角形進(jìn)行長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化，建立DN與BM之間的等長(zhǎng)關(guān)系.

解 連接BD和AC，由題干可知四邊形BCNM通過(guò)翻折得到了B′C′N(xiāo)M，由軸對(duì)稱(chēng)可得B′M=BM=1，CN=C′N(xiāo). 菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，則AO=3，BO=4，△ABO為直角三角形，利用勾股定理可求得斜邊AB=5，即菱形的邊長(zhǎng)為5. 在△OBM和△ODN中，有∠MBO=∠NDO，OB=OD，∠BOM=∠DON， 所以△OBM？艿△ODN，所以DN=BM.CN=CD-DN=AB-BM=5-1=4，即線段CN的長(zhǎng)為4.

點(diǎn)評(píng) 翻折是一種較為特殊的圖形變化，其中隱含著眾多的“變”與“不變”，實(shí)際上其中的“不變”條件就可以從軸對(duì)稱(chēng)的角度來(lái)看，如上述圖形翻折前后的對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)相等. 考慮到翻折所得的圖形較為復(fù)雜，有時(shí)難以準(zhǔn)確提取其中的等量關(guān)系，分析時(shí)可以首先把握?qǐng)D形翻折前后的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和折痕，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)到折痕上任意點(diǎn)的線段長(zhǎng)相等.

軸對(duì)稱(chēng)在線段最值問(wèn)題中的應(yīng)用

線段最值問(wèn)題一直都是中考的經(jīng)典問(wèn)題，包括單線段最值和多線段和的最值兩類(lèi)，對(duì)于其中的某些特殊情形可以使用將軍飲馬模型來(lái)求解，實(shí)際上該模型就是對(duì)軸對(duì)稱(chēng)變換及其性質(zhì)的綜合利用. 在解題首先需要對(duì)線段所涉及的點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)，確定動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，然后通過(guò)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的形式實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的共線轉(zhuǎn)化.

例3：在圖4所示的△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為E. 現(xiàn)以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑畫(huà)圓，交AO于點(diǎn)F，試回答下列問(wèn)題.

（1）證明：AC是⊙O的切線;

（2）若點(diǎn)F是線段AO的中點(diǎn)，OE=3，試求圖中陰影部分的面積;

（3）在條件（2）成立的條件下，已知點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求PE+PF取得最小值時(shí)，線段BP的長(zhǎng).

分析 本題目為2018年揚(yáng)州市的中考幾何壓軸題，第（3）問(wèn)是關(guān)于線段和的最值問(wèn)題，求BP的長(zhǎng)，實(shí)際上求線段和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置.其中點(diǎn)E和點(diǎn)F是位于線段BC同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，而點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，顯然符合“將軍飲馬模型”的構(gòu)建要求. 只需要作點(diǎn)E關(guān)于線段BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接FG，與BC的交點(diǎn)就是線段和取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置，從而可求得線段BP的長(zhǎng).

解 作點(diǎn)E關(guān)于線段BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接EG交BC于點(diǎn)H，連接FG，與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)F、P和G三點(diǎn)共線，PE+PF取得最小值. 在Rt△EHO中，EH=EOsin∠EOH= ，BH= ，△EHP∽△FOP，由相似性質(zhì)可得2HP=OP. 又因?yàn)锽O=BH+HP+OP，可推得HP= ，所以BP=BH+HP= ，即PE+PF取得最小值時(shí)，線段BP的長(zhǎng)為 .

點(diǎn)評(píng) 上述通過(guò)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方式，將不共線的三點(diǎn)轉(zhuǎn)換到同一直線上，然后基于“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理，確立了線段和最小值的情形. 另外還可以這樣理解，通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)的方式實(shí)現(xiàn)了線段之間的轉(zhuǎn)換，使得不共線的兩條線段可以變換到同一直線上，為研究線段最值提供了可能.

軸對(duì)稱(chēng)在函數(shù)運(yùn)算中的應(yīng)用

拋物線是初中階段需要學(xué)生掌握的一種特殊曲線，其特殊之處不僅體現(xiàn)在其函數(shù)表達(dá)式上，還體現(xiàn)在曲線的對(duì)稱(chēng)性上，即對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c，其關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=- 對(duì)稱(chēng). 對(duì)于分布于對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2），若兩點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等，則縱坐標(biāo)的數(shù)值相等，即x1- =x2- ，則y1=y2，這也是拋物線中對(duì)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的體現(xiàn)，同時(shí)也可以利用其對(duì)稱(chēng)性來(lái)比較數(shù)值大小.

例4：已知拋物線y=x2+4x-5圖像上有A，B，C三點(diǎn)，若其坐標(biāo)分別為A- ，y1，B- ，y2，C ，y3，試比較y1，y2，y3的數(shù)值大小.

分析 對(duì)于該題目常規(guī)的思路是將A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式上，然后比較所求出的y值，但這樣的思路較為煩瑣，容易出錯(cuò).較為簡(jiǎn)潔的方法是利用拋物線為對(duì)稱(chēng)曲線的特性，通過(guò)比較點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離大小來(lái)比較y值的大小.根據(jù)拋物線的解析式可知其開(kāi)口向上，若曲線上的點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離越大，則對(duì)應(yīng)的y值也越大，根據(jù)該思路即可對(duì)其做出比較.

解 分析可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，點(diǎn)A位于對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，點(diǎn)B和C位于對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，因此可先求出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′- ，y1，分析可知點(diǎn)A′，B，C到對(duì)稱(chēng)軸的距離大小為dB

點(diǎn)評(píng) 上述在比較拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)值時(shí)，首先通過(guò)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方式將三點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)，然后通過(guò)比較點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離直接獲得了答案，該過(guò)程不僅利用了拋物線的單調(diào)性，還利用了拋物線的軸對(duì)稱(chēng)特性，為函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)值大小比較提供了借鑒.

總之，軸對(duì)稱(chēng)及其特性在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，上述只是其中最具代表性的幾例. 在分析問(wèn)題時(shí)，要注意觀察圖形，把握幾何特性和等量關(guān)系，合理利用軸對(duì)稱(chēng)的方式來(lái)構(gòu)建模型. 實(shí)際上軸對(duì)稱(chēng)變換也是一種重要的思維方式，在學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)拓展解題思維.