平面運動機構自由度計算中特殊結構的應對

寧湘

[摘 要] 平面機構的自由度是指平面運動機構所具有的獨立運動的數目，其必定等于機構原動件數目，這是機構存在的充要條件。而在計算平面運動機構的自由度時，常常會出現按公式計算出的自由度與機構實際原動件數不相符合的情況。就如何正確計算平面機構自由度提出了應對方法。

[關 鍵 詞] 平面運動機構；自由度計算；復合鉸鏈；局部自由度；應對策略

[中圖分類號] B021.4 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2019）03-0192-02

組成機構的所有構件都在同一平面或相互平行的平面內運動的機構，稱為平面運動機構，又簡稱為平面機構。平面機構自由度是指平面運動機構具有的獨立運動的數目。平面機構中給定的獨立運動的規律是由原動件提供的，而每個原動件又只能提供一個獨立的運動。因此，平面機構自由度數目必定與機構原動件數目相等。計算平面機構自由度的目的在于判定機構是否正確，機構是否具有確定的相對運動。若不能正確計算平面機構自由度，就無法對平面運動機構的結構、運動及受力情況等進行正確分析和判斷。因此，平面機構自由度的正確計算在平面機構的設計中占有十分重要的地位。但在機構自由度的實際計算過程中，常常存在計算出的自由度與機構實際原動件數不相符合的錯誤情況。這主要是由于對機構中一些特殊結構所引入的約束數計算不正確導致的。

一、平面運動機構自由度的一般計算

在平面運動機構中的任何一個處于自由狀態的構件都具有三個自由度（即三個獨立的運動）。因此，當平面機構具有N個自由構件時，該機構應該具有3N個自由度。若用低副或高副等運動副將這N個自由構件聯接起來組成平面機構，則自由構件的運動必然會受到約束，自由度必然減少。不同類型的運動副所失去的自由度不同，所引入的約束也不同：每個低副聯接會使構件失去兩個自由度，同時引入兩個約束，而每個高副聯接則會使構件失去一個自由度，同時引入一個約束。

假設平面機構中共有PH個高副和PL個低副，則該機構共失去（2PL+PH）個自由度，同時共引入（2PL+PH）個約束。因此，平面機構自由度計算的一般公式為：自由度F=3N-（2×PL+PH）。

二、問題的提出

平面運動機構中原動件的數目必須等于機構自由度的數目，這是機構能夠具有確定相對運動的重要條件。當機構不能滿足這一條件時，會使機構出現運動不確定或薄弱環節發生破壞等現象。

如圖1所示各平面運動機構簡圖，各機構的原動件的數目均為1，機構的自由度數目也應該為1。然而，按平面機構自由度的一般計算公式分別對這三個機構的自由度進行計算如下：

圖1a所示機構：N=5，PH=0，PL=6，自由度F=3×5-（2×6+0）=3，與原動件數目為1不符。

圖1b所示機構：N=3，PH=1，PL=3，自由度F=3×3-（2×3+1）=2，與原動件數目為1不符。

圖1c所示機構：N=4，PH=0，PL=6，自由度F=3×4-（2×6+0）=0，與原動件數目為1不符。

為什么會引起上述計算錯誤呢？根本的原因在于忽略了機構中的一些特殊結構，如復合鉸鏈、局部自由度、消極約束等的存在。

三、面機構中的特殊結構及其應對措施

（一）復合鉸鏈

復合鉸鏈是指三個或三個以上的構件同時在一處用轉動副聯接組構成的運動副，如圖2所示。

復合鉸鏈應對策略：由m個構件組成的復合鉸鏈應具有（m-1）個轉動副。

如圖2a所示，由構件2、3和4在C處組成了一個復合鉸鏈，該復合鉸鏈包含由構件2和4組成的轉動副和由構件3和4組成的轉動副，如圖2b所示。所以，該機構N=5，PH=0，PL=7，機構自由度F=3×5-（2×7+0）=1，與機構原動件數為1相符。

（二）局部自由度

局部自由度是指在平面運動機構中所存在的與整個機構運動無關的自由度。

在平面運動機構設計中，有時為了減少高副接觸處構件間的摩損，常會考慮采用具有局部自由度的結構，以使高副接觸處的滑動摩擦變成滾動摩擦。如圖3a所示滾子移動從動件盤形凸輪機構，為了減少盤形凸輪1與從動件3之間的磨損，在凸輪1與從動件3之間裝了一個滾子2。但滾子2只繞其自身軸線回轉，其并不影響凸輪和從動件等構件的運動。所以，滾子2繞自身中心軸線的回轉就是一個局部自由度。

局部自由度應對策略：將機構中的局部自由度除去不計。

如圖3a所示，在計算自由度時，除去滾子繞自身中心軸線回轉的局部自由度，將滾子2與從動件3連為一體，則圖3a就演化成圖3b的形式。此時，機構自由構件數N=2，高副數PH=1，低副數PL=2，凸輪機構的自由度為F=3×2-（2×3+1）=1，這與實際相符。

（三）消極約束（虛約束）

消極約束是指在機構中與其他運動副的作用重復，但又對平面機構的運動沒有約束作用的約束，也稱為虛約束。從運動的角度看，消極約束就是重復的、不必要的、多余的約束。

消極約束應對策略：將產生消極約束的構件和運動副除去不計。

消極約束常發生于下列情況：

1.兩構件組成若干重合或平行導路的移動副時，實際只有一個移動副起作用，而其余都是消極約束。

如圖4所示盤形凸輪移動從動件凸輪機構，從動件5和機架之間分別在E處和F處各自組成一個移動副，都是只能允許從動件5沿Y軸方向移動。在計算自由度時，從動件5和機架只能按一個移動副計算。

2.兩構件組成若干軸線一致的轉動副時，只有一個轉動副起作用，而其余都是消極約束。

如圖5所示，齒輪軸1被兩個滑動軸承2（機架）支承，軸與兩個軸承組成了兩個轉動副，都是只能允許齒輪軸1繞軸線轉動。在計算自由度時，齒輪軸1和軸承只能按一個轉動副計算。

3.兩構件各連接點運動軌跡相互重合時，將產生消極約束。

如圖6a所示平行雙曲柄機構中，原動件曲柄1與從動件曲柄3等長且平行，連桿2與機架4等長且平行，連桿2始終保持平動。該機構自由構件數N=3，高副數PH=0，低副數PL=4，自由度F=3×3-（2×4+0）=1。連桿2上各點的運動軌跡均為圓心在機架AD線上，半徑等于曲柄長度的圓弧。因此，可以用一附加構件5分別于動點E和定點F兩處鉸接，從而構成平面五桿機構，如圖6b所示。機構中動點E的運動軌跡與原機構在E點處的運動軌跡完全重合，因而不會影響機構原有運動。但若忽視這種情況，而是按一般公式計算自由度，則機構自由度F=3×4-（2×6+0）=0，這意味著機構不能運動，顯然與實際情況不相符。這是由于附加構件5的引入，在增加了三個自由度的同時，引入了兩個轉動副，從而增加了四個約束，比原來多引入了一個約束。該多引入的約束仍是使點E的運動軌跡為圓心在點F的圓弧。很明顯，從運動角度看這個約束是重復的、毫無必要的，應為消極約束。因此，在計算該機構的自由度時，應除去附加構件5以及因其所引入的兩個轉動副。

4.平面機構中對傳遞運動不起獨立作用的對稱部分，將產生消極約束。

如圖7所示的行星輪系中，從運動的角度來分析，在對稱布置的多個小齒輪中，只需一個小齒輪就可以了，其他的小齒輪均是消極約束。該機構自由構件數N=3，高副數PH=2，低副數PL=3（其中，齒輪1、3與機架組成復合鉸鏈，含兩個轉動副），機構自由度F=3×3-（2×3+2）=1，符合實際情況。

在實際中，消極約束隨處可見，雖然它對平面機構的運動不起作用，但卻對提高機構剛性、改善機構的受力狀況有利。只有排除機構中的消極約束，才能計算出機構的真實自由度。

四、結束語

在計算機構自由度時，只有正確分析機構的結構，才能正確計算機構的自由度，從而為正確分析和判斷機構的運動、受力等情況提供保證。

參考文獻：

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編輯 尚思達