運用二次函數解析式求解三角函數最值問題

陳秀明 （江蘇金山中等專業學校）

三角函數的值域（最值）問題是一個比較復雜的問題，求法多種多樣，又有很強的技巧性，它往往與二次函數解析式、二次函數函數圖象、二次函數函數的性質（定義域）等知識聯系在一起。那么如何通過對二次函數在三角函數中的應用進而提升學生對知識的綜合和揉合能力成為我們追求的目標。

三角函數的值域、最值問題是常見考點之一，我們最常用的方法是借助三角函數的公式進行變換或代數換元，然后轉化為一個二次函數求值域或最值。下面從幾種常見的利用二次函數求三角函數值域的幾種題型出發，來分析探討這類題目的簡便解法。

這類問題的基本特征是表達式里含有不同名的三角形式，但又無法運用三角恒等變換將其轉化為三角函數的一般形式f(x)=Asin(ωx+ψ)。這時候需要二次函數作為連接的橋梁，可以通過換元的方式將原函數看成一個二次函數的復合函數，以三角函數作為內函數，再以多項式函數或其他基本初等函數作為外函數的形式。這里最常見的就是以三角函數作為內函數，以二次函數作為一個外函數的復合函數的模型。

一、二次函數解析式換元在三角函數中應用的實例展示

“三角函數”轉化為“二次函數”此類型分為兩種：下面分別用兩個例子來展示。

例 1：已知函數，f(x)=7cos2x+sin2x-4cosx，f(x)的值域。

分析：此類題目可以轉化為f(x)=7cos2x+bcosx+c型的三角函數的最值問題。

因為cosx∈[-1,1]

所以cosx=-1時，f(x)取得最大值

這種三角函數與二次函數結合的復合函數的基本特征是解析式化為同角式三角函數，就比較容易識別，一般的解題步驟可總結如下：

（1）將原來的三角函數解析式化為一個二次函數的形式，統一化為相同角的同一三角函數名的形式；

（2）就是換元，外函數表示為二次函數或其他簡單的初等函數，而內函數就是一個相對簡單的三角函數；

（3）最后利用二次函數的最值問題及sinx，及cosx的取值范圍進行解題。

但解析此類題目時應特別注意的是對“內函數”范圍的限制非常關鍵，常見的像-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1，如果忽視這個問題就得到錯誤的答案。

一種為另一種是令t=sinx+cosx的形式

例 2：求函數 y=（sinx+2）（cosx+2）的值域。

解：由 y=（sinx+2）（cosx+2）展開得

y=sinxcosx+2sinx+2cosx+4

此題利用的是（sinx+cosx）2=sinx2+2cosxsinx+cosx2，又與sinx2+cosx2=1之間存在互相轉化的公式，將不同名的三角函數名化為用同一個常數來進行替代后，我們發現本題就化為是閉區間上的二次函數求最值的問題，將繁瑣的三角函數類的題目轉化為一個我們比較熟悉的二次函數類的題目，符合化繁為簡的規律。

二、二次函數在三角函數中應用的注意點和學生產生的問題

通過三角函數的教學實踐，發現學生對數學問題的處理一般都是單方面的，應注重提高學生的三角函數換元方面的能力，一定要注意的是t的范圍，這也是學生很容易忽略的問題，通過教學實際，發現學生在“基礎性轉化”即只有一個知識點的轉化問題上有著比較高的能力，而知識點之間的轉化卻有一定的困難。

三、二次函數解析式換元在三角函數中應用的解決辦法及能力提升

要從知識整體性的高度上提點學生，認識三角函數背后所闡述的數學本質問題，從而加強學生猜想轉換的綜合能力。對上面問題研究,著重要培養學生從知識融合的高度開始，數學最基本的教學在于概念教學和基本知識、基本能力的教學，在此基礎上的問題正是引導學生對數學知識間合并的思考。通過這方面題目的訓練對職高起步階段的學生進行思維的推動和興趣的提高。