微課在高等數學教學中的設計與應用

武利猛，張娟，李素紅

(1.河北科技師范學院數學與信息科技學院，河北秦皇島 066004；2.河北科技師范學院科研處，河北秦皇島 066004)

2008年，美國高級教學設計師戴·彭羅斯提出了微課概念。一般情況下微課教學的完成包含如下幾個方面：首先是明確教學內容；其次是給出合理的教學設計；最后是完善視頻，將教學視頻與課程任務上傳到課程管理系統[1]。初期，微課是以在線學習的形式參與到教學內容中，其時長一般為1～3min，主要目的是利用網絡視頻資源，引導學生對課上所學知識進行更好地理解，進而達到教學目的。在我國，微課教學隨著網絡技術的發達，已越來越多地深入到教學中來，對于提升教師教學和學生自學已起到不可或缺的作用[2]。國家已經成功舉辦了四屆數學微課教學設計比賽，越來越多的高校教師參與到這項教學賽事之中，對于微課教學的發展起到了非常大的促進作用[3-6]。基于此，本文將討論如何將微課教學應用于高等數學——以羅爾中值定理為例。

1 高等數學課程簡介

高等數學是一門重要的基礎理論課，通過學習使學生能夠掌握函數極限與連續、函數微積分學(包括二重積分)、常微分方程等方面的基本概念、基本理論和運算技能。通過學習，逐步培養學生具有較強的計算能力，抽象思維能力和邏輯判斷能力，從而提高學生分析問題的能力。這門課程對于很多學生來說是有一定困難的，大致有如下兩個原因：（1）高校在不斷改革，高等數學課時少了很多，但是內容并沒有太大變化，使得教師在有限時間的課堂上講授的內容知識量多，學生接受起來有困難；（2）高等數學本身是一門邏輯性強，抽象的課程，知識前后連接特別緊密，如果學生復習、做練習不及時，課上會聽不懂，降低了學習積極性。高校教師一般沒有坐班制，因此學生如果有問題的話，只能等到老師下一次上課再問，這樣在一定程度上削弱了學生學習效率。因此，對于高等數學這門課程來說十分有必要開展微課教學，這樣學生會不斷反復去學習某一個知識點，對于知識的理解起到非常好的促進幫助作用。

2 羅爾中值定理的教學設計

作者認為，微課作為一種有別于教室課堂教學的新型授課模式，要以其新穎、 科學的教學模式吸引學生，讓學生在短時間內能夠對于所學知識達到理解和掌握。教師在教學設計上應遵循如下原則：（1）教學設計要符合的教學安排；（2）教師更重要的任務是引導學生通過微課的學習能達到自主學習；（3）教學中一定要有例題和課后作業，這樣能在一定程度上保證教學質量。

2.1 復習提問，設題引入(2min)

多媒體課件是微課教學的重要組成部分，利用多媒體軟件可以將抽象的問題形象化，激發學生的學習興趣，從而提高學習效率。遵照知識的連貫性，回顧舊知識，使得課程自然地過渡到新課的學習中去。首先引導學生回顧導數的幾何意義，即函數y=f（x）在點x0處的導數值f'（x0）等于函數在點（x0，f（x0））處切線的斜率值。在本次課件設計過程中，筆者采用了Matlab 和幾何畫板數學軟件進行編程，形象地演示了導數的幾何意義；進一步畫出函數sinx，x∈[0，2π]和cos，x∈[0，2π]的動態圖像，引導學生從實例出發，發現正弦曲線在和處具有水平切線，而cos，x∈[0，2π]這一條曲線沒有，進而借助于圖像提出還有哪些曲線具有水平切線以及滿足什么條件曲線就會具有水平切線，函數圖像見圖1。

圖1 y=sin(x)和y=cos(1/2x)的圖像

引導學生聯想導數的幾何意義，從而得出函數y=f（x）在點x0處的切線若是水平切線，則在該點x0處導數值f'（x0）=0。讓學生繼續觀察函數sinx，x∈[0，2π]的圖像，考察所給函數在指定閉區間上是否連續，開區間內是否可導，端點的函數值是否相等，從而引出本節課內容“羅爾中值定理”。

2.2 探索新知，討論歸納(8min)

結合引例分析中抽象出的導數運算過程，給出完整的導數與可導的概念，即本次課的教學重點與難點。這里給出羅爾中值定理

定理（羅爾中值定理） 如果函數y=f（x）滿足

（1）在閉區間[a，b]上連續；

（2）在開區間（a，b）內可導；

（3）f（a）=f（b），

則在（a，b）內至少存在一點（ξ，使得f'（ξ）=0。下面分層次進行教學重點難點化解。

層次一：認識定理。

將定理條件核心過程簡述為：閉區間連續，開區間可導，兩端點函數值相等，三個判斷過程，使學生對定理條件形成基本雛形。讓同學們觀察y=sinx 在區間[0，2π]上的圖像，發現數學結論和圖像性質是相符的，加深了學生對定理的理解。從宏觀上，引導學生回顧導數的幾何意義，同時指明羅爾中值定理的結論：在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f'（ξ）=0 的幾何意義為：至少存在一點ξ∈（a，b），有函數y=f（x）在該點的切線是一條水平切線。

例1：驗證函數y=sinx 在區間[0，2π]上是否滿足羅爾中值定理的全部條件，如若滿足請給出結論中ξ 的取值?

這兩個例子的給出，是為了讓學生對于羅爾中值定理的條件和結論有一個非常清晰的認識，進而更好地掌握定理的條件和結論。

層次二：融入數學史，提升學習興趣。

數學課堂一般都會很抽象，學生學習會感覺有一點兒枯燥，為了發揮學生主觀能動性和拓展數學文化知識，在這里會簡單介紹羅爾的個人背景資料以豐富課堂內容。

層次三：深化剖析。

例3：不求導數，判斷函數f（x）=x（x-1）（x-2）的導數有幾個實根，以及各個根的所在范圍。

設置本例題主要有兩方面的用意：（1）梳理所學知識；（2）將概念延伸到定理應用中，以不斷激發學生的學習熱情。

2.3 課堂小結，布置作 業(2min)

以提問的方式，和學生一起回顧所學知識，結合多媒體課件對其進行梳理，進而提煉教學知識點；布置作業。最后，會給學生設問：指出羅爾中值定理中三個條件是充分條件，三者缺一不可，請認真思考為什么。

3 結語

隨著科學技術的不斷發展，現代教育模式也越來越多樣化。微課教學作為其中一種不斷地在優化教學結構，提高教學質量。作為教師我們更應該鞏固自己的主體地位，對教學模式進行創新，不斷改善教學設計，從而提供更好的微課教學資源，讓學生更好地理解和掌握知識。