基于回歸分析模型的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)與成績關(guān)聯(lián)度研究
——以“復(fù)變函數(shù)”為例

儲亞偉，王 娟，楊舒媛，許 欽

在“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的改革背景下，作為傳統(tǒng)課堂教學(xué)與信息技術(shù)深度融合的重要途徑之一，網(wǎng)絡(luò)課程的使用日益受到高等學(xué)校的重視.在網(wǎng)絡(luò)平臺的創(chuàng)建過程中，文本資料、視頻錄制、題庫建設(shè)等工作花費了教師大量的精力，在使用網(wǎng)絡(luò)平臺教學(xué)后，教師可以通過后臺看到學(xué)生的答題情況、訪問次數(shù)、觀看視頻次數(shù)以及討論次數(shù)，然而深層次的數(shù)據(jù)分析工作相對較少，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確的判斷學(xué)生的使用效果.

另一方面，通過文獻(xiàn)分析，我們發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺的研究多集中在教學(xué)平臺開發(fā)、平臺評價、平臺應(yīng)用的策略以及學(xué)習(xí)自我效能感上［1］.面對日益豐富的網(wǎng)絡(luò)課程模塊，究竟哪個模塊對于學(xué)生們來說才是最重要的呢？目前，對于每個模塊的研究較少［2-6］.

為了明確每個模塊的作用效果，更有針對性地提升基于網(wǎng)絡(luò)平臺的混合式教學(xué)效果，更好的提高教學(xué)效果，本文以“復(fù)變函數(shù)”網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺為例，通過不同的回歸分析模型，研究各模塊的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)對學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，建立二者之間的關(guān)聯(lián)度，為更加精準(zhǔn)地提升信息化教學(xué)效果、更有針對性地開展混合式教學(xué)提供數(shù)據(jù)支撐和改進(jìn)方向.

1 數(shù)據(jù)搜集

研究數(shù)據(jù)來自于已經(jīng)運行結(jié)束的“復(fù)變函數(shù)”第三期網(wǎng)絡(luò)課程.數(shù)據(jù)鏈接及網(wǎng)頁相關(guān)信息詳見：http：//mooc1-2.chaoxing.com/course/865607 33.html.

2 模型的建立與求解

為方便研究，先將網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺中影響學(xué)生學(xué)習(xí)成績的因素細(xì)化為：訪問次數(shù)、觀看視頻時長以及學(xué)習(xí)討論組中學(xué)生討論次數(shù).其次，建立典型相關(guān)性模型和回歸分析模型，通過模型求解探討網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)與學(xué)生成績之間的關(guān)聯(lián)度.最后，依據(jù)研究結(jié)果，對教師開展信息化教學(xué)及學(xué)生開展混合式學(xué)習(xí)提出建議.

2.1 典型相關(guān)性分析模型

利用典型性相關(guān)分析，可以把多個變量與多個變量之間的相關(guān)轉(zhuǎn)化為兩個變量之間的關(guān)系.其實質(zhì)就是在兩組隨機(jī)變量中選取若干有代表性的綜合指標(biāo)，用這些指標(biāo)的相關(guān)關(guān)系來代表原來兩組變量的整體相關(guān)性，從而簡化變量.當(dāng)求解得到典型相關(guān)系數(shù)足夠大時，可以采用回歸分析的方法求解各變量間具體的相關(guān)關(guān)系.

基本過程如下：設(shè)主成分

其中，y為綜合變量.找出系數(shù)a1,a2,a3和b1使得變量u=a1x1+a2x2+a3x3，v=b1y1之間有最大可能的相關(guān)系數(shù).即使ρ(u,v)→max.

本文用x1代表視頻觀看數(shù)、x2代表討論數(shù)、x3代表學(xué)生訪問數(shù)、y代表學(xué)生成績，利用MATLAB編程實現(xiàn)典型相關(guān)性分析的具體操作，從而得出結(jié)果.

1）典型相關(guān)系數(shù)及其檢驗.由MATLAB計算求得相關(guān)系數(shù)為0.353，說明相應(yīng)典型變量之間密切相關(guān).典型相關(guān)分析是否恰當(dāng)，應(yīng)該取決于兩組原變量之間是否相關(guān)，如果兩組變量之間毫無相關(guān)性而言，則不應(yīng)該作典型相關(guān)分析［7］.用樣本來估計總體的典型相關(guān)系數(shù)是否有誤，需進(jìn)行檢驗，檢驗結(jié)果如表1所示.

表1 典型相關(guān)性分析檢驗結(jié)果

以上是對各組協(xié)方差矩陣是否相等的Box’M檢驗，表1反映了協(xié)方差矩陣的秩和行列式的對數(shù)值.從表1可以看出，協(xié)方差矩陣不是病態(tài)矩陣，其研究是有意義的.同時，在檢驗結(jié)果中P值為0.0011，小于0.05，則說明該模型通過了檢驗，認(rèn)為本課題中研究的三種因素對學(xué)生成績都有顯著影響.

2）典型相關(guān)模型.典型相關(guān)模型為

因此，我們可以將兩組變量的相關(guān)性問題轉(zhuǎn)化為研究兩個變量的相關(guān)性問題，且在上述模型的系數(shù)下，u和v的相關(guān)性達(dá)到最大，其相關(guān)系數(shù)為0.353.該結(jié)果表明無論是視頻觀看次數(shù)、參與討論次數(shù)、還是學(xué)生訪問數(shù)，都會對學(xué)生成績產(chǎn)生一定的影響.兩組變量間具有相關(guān)關(guān)系，進(jìn)而可以采用回歸分析的方法求解各變量間具體的相關(guān)關(guān)系.

3）典型結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)分析是依原始變量與典型變量之間的相關(guān)系數(shù)給出的，如表2所示.

表2 典型變量的結(jié)構(gòu)（相關(guān)系數(shù)）

從表2可以看出，三個反映學(xué)生使用情況的指標(biāo)在該組典型變量中u的相關(guān)系數(shù)分別為-0.0290、-0.5220、-0.9946.其中x2，x3與典型變量u呈高度相關(guān)，說明學(xué)生討論數(shù)與訪問數(shù)在反映學(xué)生成績時占有主導(dǎo)地位，且學(xué)生訪問數(shù)居于首位.

4）典型冗余分析與解釋能力.典型冗余分析用來表示各典型變量對原始變量組整體的變差解釋程度，分為組內(nèi)變差解釋和組間變差解釋，其典型冗余分析的結(jié)果如表3和表4所示.

表3 典型冗余分析

表4 典型冗余分析

從表3、表4可以看出，該組典型變量可以較好地預(yù)測變量，即課題中研究的三個變量形成的變量組可以很好的反映學(xué)生的學(xué)生成績，而且交互解釋的能力也比較強(qiáng).改變量組的方差被“學(xué)生成績”典型變量U解釋的比例和為5.24%，被典型變量V解釋的方差比例和為12.46%.因此，我們研究的改變量組及其對應(yīng)典型變量解釋的百分比較高，反映了兩者之間有較高的相關(guān)性.

為了比較哪個變量對學(xué)生成績影響較為顯著，哪個變量對學(xué)生成績影響強(qiáng)度較弱，將進(jìn)一步采用回歸的方法定量分析數(shù)據(jù).

2.2 回歸分析模型

單變量與學(xué)生成績之間的關(guān)系如圖1所示.

圖1 單變量與學(xué)生成績之間的關(guān)系

從圖1可以看出，需要采用回歸模型對變量間的關(guān)系進(jìn)行具體分析.

1）多元線性回歸模型.回歸分析是對具有因果關(guān)系的自變量和因變量進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計分析處理的一種方法.只有當(dāng)自變量與因變量確實存在某種關(guān)系時，建立的回歸方程才有意義.在上述的典型相關(guān)性分析的基礎(chǔ)上，已確定了自變量與因變量之間的關(guān)系.因此，作為自變量的因素與作為因變量的學(xué)生成績相關(guān)程度如何，以及判斷這種相關(guān)程度的把握性多大，就成為進(jìn)行回歸分析必須要解決的問題.進(jìn)行相關(guān)分析后，便可以求出變量間相關(guān)關(guān)系，以相關(guān)系數(shù)的大小來定量的判斷自變量和因變量相關(guān)的程度.

本文將網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺的觀看視頻時長、學(xué)習(xí)討論組中學(xué)生討論次數(shù)以及訪問次數(shù)分別設(shè)為自變量x1、x2、x3，那么學(xué)生成績可作為因變量y.建立多元線性回歸模型［7-9］如下.

利用MATLAB對多元線性回歸模型進(jìn)行求解，可得

在顯著性水平默認(rèn)為0.05的前提下，殘差圖如圖2所示.

圖2 殘差圖

從圖2可以看出，殘差隨機(jī)分布在一條穿過零點的水平直線的兩側(cè)，這說明殘差獨立，也就是不存在異方差性.

多元線性回歸的相關(guān)數(shù)據(jù)如表5、表6所示.

表5 方差表

從表5可以看出，P=0.0011小于0.05，這說明由上述3個變量構(gòu)成的回歸方程解釋學(xué)生最終成績是有統(tǒng)計學(xué)意義的.通過查F檢驗表可得Fα=2.68，由上述表中數(shù)據(jù)可知F=4.2351＞2.68，所以整體線性關(guān)系存在顯著性差異；R2=0.1246，其值比較接近于0，說明擬合程度不太好.

從表6可以看出，x1，x2的方差擴(kuò)大因子很大，分別為VIF1=1462，VIF2=1352，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過10，說明回歸方程存在嚴(yán)重的多重共線性，應(yīng)該剔除變元.在給定α=0.05，查表可得tα=1.68，從表中可得到||t＞1.68且Sig均小于0.05，故拒絕原假設(shè)，即可認(rèn)為變量之間存在顯著差異.

表6 T檢驗

2）逐步線性回歸.通過逐步線性回歸模型［7-9］對多個變量進(jìn)行逐步篩選，得出影響學(xué)生成績的顯著因素.利用MATLAB求解結(jié)果如圖3所示.

圖3 逐步線性回歸結(jié)果

由于逐步線性回歸中的顯著變量要求T檢驗結(jié)果T＞2，F(xiàn)檢驗結(jié)果：P＜0.05變量顯著，P＜0.001變量非常顯著.從圖3可以看出，網(wǎng)絡(luò)平臺的訪問次數(shù)x3是影響學(xué)生成績的非常顯著因素.通過分析逐步線性回歸的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)篩選的變量與上面的方法剔除的變量一致.最終，可得到最優(yōu)的逐步線性回歸方程：

回歸方程F檢驗的P=0.0011；決定系數(shù)R2=12.46%；調(diào)整的決定系數(shù)R2a=10.23%.可見線性回歸的效果不優(yōu)，以下使用二次多項式回歸.

3）多元二項式回歸模型.為了得出最優(yōu)的多元二項式回歸模型，分別建立了下述四種多元二項式回歸模型：Linear（線性）：y=β0+β1x1+β2x2+β3x3；Purequadratic（純二次）：y=β0+；Interaction（ 交叉）：Quadratic（完全二次）：y=β0+β1x1+β2x2+

利用MATLAB進(jìn)行求解，四種不同的多元二項式回歸模型的剩余標(biāo)準(zhǔn)差分別為：17.4359、17.3208、17.5419、17.4440，由此可知純二次模型的剩余標(biāo)準(zhǔn)差最小，故采用純二次模型.純二次模型的求解結(jié)果為y=59.2570+5.3105x2+0.4008x3-0.1529x22.

F檢驗和T檢驗結(jié)果如表7和表8所示.

表7 F檢驗

由表7中數(shù)據(jù)可知，P=0.0010小于0.05，則說明用上述3個變量構(gòu)成的回歸方程解釋學(xué)生最終成績是有統(tǒng)計學(xué)意義的；通過查F檢驗表可得F0.025=0.6993，由上述表中數(shù)據(jù)可知F=0.4346≤0.6993，所以整體線性關(guān)系存在顯著性差異；R2=0.8246，其值比較接近于1，說明擬合程度較好.

表8 T檢驗

通過分析求解結(jié)果，發(fā)現(xiàn)x1，x21，x23的系數(shù)幾乎接近于0，故剔除.從輸出結(jié)果表8可以看出的方差擴(kuò)大因子很大，分別為VIF1=18，VIF2=23，幾乎接近10，說明回歸方程不存在多重共線性.在給定α=0.05，查表可得tα=1.68，從表中可得到||t＞1.68且Sig均小于0.05，故拒絕原假設(shè)，即可認(rèn)為變量之間存在顯著差異.

3 結(jié)論

本文通過三種回歸方法（多元線性回歸、逐步線性回歸以及多元二項式回歸）開展研究的目的在于：首先，通過多元線性回歸的方法得出因變量與自變量之間的線性關(guān)系；其次，通過逐步線性回歸判斷顯著程度大小或貢獻(xiàn)大小，由大到小地逐個引入回歸方程，那些對作用不顯著的變量則不引人回歸方程.最后，采用多元二項式回歸的方法得出自變量與因變量之間的關(guān)系所體現(xiàn)出來的二項式方程.

對以上的結(jié)果分析可得到“復(fù)變函數(shù)”網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的視頻觀看時長、參與討論次數(shù)及訪問量與學(xué)生最終成績之間具體量化后的關(guān)系.通過典型相關(guān)性分析模型以及逐步線性回歸模型的結(jié)果分析得出：影響學(xué)生成績最顯著的因素是網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺的訪問量，其次是觀看視頻的時長以及學(xué)生的討論次數(shù).因此，建議教師在使用網(wǎng)絡(luò)平臺的教學(xué)過程中要充分調(diào)動學(xué)生參與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的積極性，適當(dāng)發(fā)布視頻任務(wù)、發(fā)動學(xué)生發(fā)布或參與討論，使傳統(tǒng)課堂與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)深度融合，各取所長，有效提高教學(xué)質(zhì)量.