抽象代數中引入群的概念的一個教學案例

【摘要】本文以抽象代數課程教學中群的概念的引入為案例，闡述了通過創設情境和問題為導向的教學，由一些具體的例子和一個有趣的游戲活動，引導學生思考，幫助學生更好地理解這一概念。

【關鍵詞】抽象代數 ?群 ?探究式教學

【基金項目】重慶市教委科學技術研究項目（KJQN201800509），重慶師范大學基金項目（18XLB001）。

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）13-0119-01

“抽象代數是一門研究代數結構的課程，內容非常形式化。這種形式化和公理化的訓練是必要的，但這不是最本質的。學生心目中沒有大量的例子，只有關于群環域的抽象定義、概念和推理，不能真正理解和鑒賞書上的定理和結論”[1]。在本文，我們以抽象代數課程教學中群的概念的引入為例，說明怎樣通過通過創設情境，由一個具體、生動的例子，引導學生探究，幫助學生更好地理解這一概念。

著名教育學家杜威最早提出了探究式教學的概念。探究式教學，又稱為探索發現、問題解決式教學，要求在學生學習概念和原理時，教師給他們提供一些實例和問題，讓學生自己通過觀察、實驗、思考和討論等途徑去獨立探究，自行發現并掌握相應原理和結論[2]。抽象代數課程的教學，不僅僅是要讓學生學習一些概念和結論，更重要的是要學習思考問題的過程或方法.通過創設數學問題情境，呈現給學生有趣的數學問題，可以激發學生學習數學的興趣、好奇心和求知欲。

眾所周知，三次、四次多項式方程有求解公式。1824-1826年間，阿貝爾證明了高于四次的多項式方程一般不能用根式求解。1832年伽羅瓦對這個問題給出更確切的解答，他引入了置換群、正規子群、群同構、數域的擴域等概念。此后，李、克萊因、龐加萊等在微分方程、幾何學、自守函數的研究中，都用到了群的概念。從有限置換群的產生到抽象群定義的形成，這一發展過程是最終引向建立抽象代數學的一個重要來源。

群的概念，是學生在學習抽象代數課程中遇到的第一個重要概念。群是具有一個運算的代數結構。設G是一個非空集合。在G上有一個二元運算“·”，使G中任意兩個元素a、b依照次序聯結起來的結果a·b仍是G中完全確定的元素，并滿足下列三個條件，即所謂群的公理，則稱G對于運算“·”成為群（[3，4]）：

（1）結合律：若a、b、c是G中任意三個元素，則（a·b）·c=a·（b·c）。

（2）存在單位元：在G中有一個元素e，使得對G中任意元素a都有e·a=a·e=a。稱e為G的單位元，有時用1表示單位元。

（3）存在逆元：對G中任意元素a，都有G中一個元素b使得a·b=b·a=e。稱b為a的逆元，常用a-1表示。

通常稱G上的二元運算·為乘法，稱a·b為a與b的積，并簡寫為ab。若群G對乘法還適合交換律，即對G中任意兩個元素a、b都有ab=ba，則G稱為交換群（或阿貝爾群）。此時常將運算“·”改為“+”，并相應地改稱乘法、積、單位元e、逆元a-1為加法、和、零元0、負元-a。

與多項式、線性方程組等高等代數課程中的內容相比，群的概念更加抽象。為了幫助學生更好地理解這一概念，我們采取的策略是通過一些具體的、形象的例子，將這個概念與已有的知識聯系起來;通過一個游戲引導學生思考群與變換。

（一）通過一些熟知的例子認識群，例如：（1）全體整數的集合對于數的通常的加法“+”是一個群，而且是交換群，此時單位元就是數0，而a的逆元就是-a。全體有理數、全體實數、全體復數、對于加法也都是交換群。全體偶數、全體形如a+bi的數（a、b為任意整數、有理數、實數）對于加法也都是交換群。（2）全體非零的有理數、實數、復數，對于通常的乘法都是交換群。全體正有理數、正實數對乘法也都是交換群。（3）全體非零整數的集合對乘法不是群。通過上述例子，讓學生意識到，從我們學習整數的加法開始就已經在用“群”這一抽象的代數結構。同時，也讓學生思考，所有n階實矩陣關于加法、乘法是否構成群。

（二）通過一個數學小游戲，引導學生思考群與變化。

游戲一：我們將一張正方形的紙沿兩邊的中線四等分剪開，分別將四個小正方形標注上字母1、2、3、4。將四個小正方形任意擺放組成大正方形，如下圖所示：

從左上角開始沿順時針方向，分別將小正方形的位置標記為1、2、3、4。在下面的數表中，第一行的數字表示小正方形的位置。我們可以將這一過程記為：

1 ? 2 ? 3 ? 41 ? 2 ? 3 ? 4？圯1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 1 ? 4 ? 3.

讓學生寫出拼成大正方形的所有的可能（共有4！=24種），并定義任意兩種拼法的運算（乘法）為它們的合成，例如：

1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 1 ? 4 ? 3·1 ? 2 ? 3 ? 44 ? 3 ? 2 ? 1=1 ? 2 ? 3 ? 43 ? 4 ? 1 ? 2.

可以驗證它們作成群。

游戲二：如上將一個大正方形沿中線折出四個小正方形，按順時針方向分別標注上1、2、3、4，但是不要剪開。旋轉或翻轉正方形，從左上角開始按順時針方向可以讀出不同的數字排列，如將正方形逆時針旋轉90°可得1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 3 ? 4 ? 1，這樣不改變正方形形狀的變化共有八種，分別為1 ? 2 ? 3 ? 41 ? 2 ? 3 ? 4，1 ? 2 ? 3 ? 44 ? 1 ? 2 ? 3，1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 1 ? 4 ? 3，1 ? 2 ? 3 ? 43 ? 4 ? 1 ? 2，1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 3 ? 4 ? 1，1 ? 2 ? 3 ? 43 ? 2 ? 1 ? 4，1 ? 2 ? 3 ? 41 ? 4 ? 3 ? 2，1 ? 2 ? 3 ? 44 ? 3 ? 2 ? 1可以驗證它們關于上述運算也構成群。事實上，游戲一得到的是一個對稱群，游戲二得到的是二面體群。

對于抽象代數課程如何進行教學，才能提高學生學習的主動性、積極性，使學生更好的掌握知識體系和基本方法，促進學生的邏輯思維、抽象思維能力的發展是每一位抽象代數課老師應該思考的問題。從我們的教學實踐中發現，一些有趣的或簡單的問題可以引起學生很大的學習興趣，能更好的激發學生的思考，幫助他們形成數學概念，提高抽象思維能力。

參考文獻：

[1]馮克勤.高校代數教學的一些實踐與思考[J].高等數學研究， 2006（4）：4-7.

[2]荷烈治，哈爾德，卡拉漢等.教學策略：有效教學指南[M].牛志奎譯.北京：中國人民大學出版社， 2011.

[3]M. Artin.代數（英文版第2版）[M].北京：機械工業出版社， 2012.

[4]姚慕生.抽象代數學（第二版）[M].上海：復旦大學出版社， 1998.

作者簡介：

任偉（1983-）， 男，甘肅文縣人，博士，副教授，主要從事代數學方面的教學與研究。