例題教學要引導學生走夯實基礎之路

安徽省蚌埠市第三中學

程雷虎 (郵編：233000)

1 試題呈現

本題是湖北省八校2019屆高三第二次聯考數學(理科)第16題，是填空題的壓軸題，題目內涵豐富，難度中等偏上，在解析幾何、函數與導數、不等式交匯處綜合命題，側重考查數到形的轉化以及綜合應用能力，涉及到數形結合、化歸與轉化、以動變靜等數學思想方法.

從本題解答情況來看，絕大部分的學生不知從何處下手，還有一部分學生，有了思路，但是在中間的環節出現“落水”現象，導致功虧一簣.基于此，筆者以此題為依托，展開例題評講分析，實現例題教學價值最大化.

2 逐層分析 知識點鏈接 夯實基礎

2.1 形式表征 找切入點

此題初看是一道雙變量函數求最值問題，通過不等式角度或控制變量求導，實現問題求解，但是，對于高中生來說，以上解法都過于復雜，而且也很難處理.

為了讓學生對于這類形式表征的掌握，知識點鏈接：

分析函數可以變形為：

圖1

從形式上可以看出，其幾何意義是x軸上的動點M(x,0)到定點A(0,1)與B(12,-4)的距離之和|MA|+|MB|，如圖1所示.

由于兩點間直線段距離最短，所以|MA|+|MB|≥|AB|=13.

當M點與P點重合時等號成立，所以fmin(x)=13.

點評事物之間是相互聯系的，在解題時，要善于運用聯系的觀點來看待問題.教師通過穿插此類問題形式的知識點，一方面加深鞏固學生對這類題型的認識，強調了通過形式找問題切入點的重要性；另一方面，復習了數到形轉化的思想方法，起到事半功倍的效果.

2.2 借助導數 精準作圖

圖2

圖3

兩種結果的出現，不是偶然現象，而是情理之中.圖形錯誤，在解題過程中，會導致差之毫厘失之千里.那么如何判斷呢？作差比較，借助導數，判斷函數圖象關系.

為了加深學生利用導數知識解決“f(x)>g(x)”型證明問題，知識點鏈接：

利用導數知識解決“f(x)>g(x)”型證明問題，有兩種方法：

(1)構造函數，利用函數單調性直接證明，注意尋找函數值在取何自變量時等于零；

(2)構造函數，利用函數的最值證明.

例2 設a為實數，函數f(x)=ex-2x+2a,x∈R.

(1)求函數f(x)的單調區間與極值；

(2)求證：當a>ln2-1，且x>0時，ex>x2-2ax+1.

分析(1)函數f(x)單調遞減區間是(-∞,ln2)，單調遞增區間是(ln2,+∞)，極小值為f(ln2)=2-2ln2+2a，無極大值.

(2)設函數F(x)=ex-x2+2ax-1，則F′(x)=ex-2x+2a，由(1)得a>ln2-1時，F′(x)的最小值為f(ln2)=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0，所以F′(x)>0，從而F(x)在(0,+∞)上單調遞增.又F(0)=0，故F(x)>F(0)，即x>0時，ex>x2-2ax+1.

點評在解題教學中，需要對所涉及到的知識點進行回顧，經過充分研究后，學生才能對解題思維更加深化，知識結構進一步完善.

2.3 性質運用 再次轉化

圖4

圖5

點A、B、C的位置關系如圖4所示，所求的目標是|AB|+|BC|的最小值.注意，A、B、C三點都是動點，需要以動制靜.又點B在拋物線上且BC⊥x軸，可以根據拋物線的性質，將|BC|作進一步轉化，如圖5所示.

|BF|=|BD|，所以|AB|+|BC|=|AB|+|BF|-1≥|AF|-1，點F是定點，此時，將三個動點問題轉化為只有一個動點問題，而解決這一步的關鍵是拋物線的性質.在高考中，拋物線的性質占據了至關重要的地位，尤其是拋物線的最基本定義.

例3(2009全國Ⅱ卷理9)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點，F為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k的值為( )

2.4 運用不等式 問題解決

點評此處相切的臨界狀態是解題的關鍵環節，學生應該知道一些常見的不等式，它是解決函數與導數問題中的必備環節.在此處，教師要和學生一起，再次回顧常見不等式,這樣才真正以講題抓基礎，以基礎促解題.

3 反饋訓練 鞏固提升

題2(蚌埠市2019屆高三二質檢理科第11題)已知F為拋物線y2=4x的焦點，O為原點，點P是拋物線準線上一動點，若點A在拋物線上，且|AF|=5，則|PA|+|PO|的最小值為( )

題3 (2018屆安徽省“皖南八?！钡谌?4月)聯考)若x、a、b均為任意實數，且(a+2)2+(b-3)2=1，則(x-a)2+(lnx-b)2的最小值為( )

以上從一個數學例題出發引導學生走夯實基礎之路，在教師引導下，問題解決的每一個環節都離不開基礎.題目從形式表征出發，撬開問題解決的門檻，借助于數形結合的思想，將待求式轉化為動點的距離，立足幾何直觀求解，在動態問題中把握拋物線基本性質定義和相切這一臨界狀態，要求學生具備敏銳的觀察和聯想能力，要求學生有較強的基礎知識結構，回應了數學核心素養中對直觀想象能力的要求以及基礎知識的把握.真正地體現了高考多一點想、少一點算、考思維能力、考基礎知識點的目標.

很遺憾的是，如此貫穿多個基礎知識點的好題，因為教師站位較低，沒有將基礎知識點提升高度，只求把答案講給學生聽，至于解法涉及到哪些知識點，知識點學生是否會，學生應具備怎樣能力，要形成哪些核心素養卻思之甚少，而這樣的現象在當下課堂例題評講中還十分普遍.正如著名數學教育家G·波利亞所說：“一個專心的認真備課的教師能拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使其通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”從一些典型的數學問題挖掘知識點的運用，引導學生扎實基礎，活用基礎知識，這有助于激發學生學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習的習慣，發展自主學習的能力.