基于總結(jié)性測(cè)評(píng)下初中函數(shù)教學(xué)的思考

李霞 林運(yùn)來

[摘? 要] 文章通過對(duì)2018年福建省中考數(shù)學(xué)第25題學(xué)生答題中存在的典型問題進(jìn)行研究，得出以下觀點(diǎn)：初中函數(shù)的教學(xué)要以函數(shù)思想為核心，要養(yǎng)成用統(tǒng)一和聯(lián)系的思維看函數(shù)、方程和不等式的問題. 函數(shù)思想的教學(xué)，既要以“案例”為載體，滲透函數(shù)思想，還要以“銜接”為目標(biāo)，加強(qiáng)函數(shù)性態(tài)結(jié)構(gòu)的研究，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 測(cè)評(píng);函數(shù)思想;函數(shù)性態(tài)結(jié)構(gòu);統(tǒng)一聯(lián)系

試題呈現(xiàn)及評(píng)析

評(píng)析 本題是代數(shù)與幾何綜合的問題，融合了初中函數(shù)及平面幾何的重點(diǎn)知識(shí)，主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、角平分線的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，不僅考查考生對(duì)函數(shù)基本性質(zhì)的掌握，還考查在函數(shù)背景下認(rèn)識(shí)圖形并對(duì)圖形的元素關(guān)系進(jìn)行分析的能力. 本題的得分情況見表1（參考人數(shù)67199）.

第（1）問要求考生寫出二次函數(shù)解析式中兩參數(shù)之間的關(guān)系，這是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式問題，因只給出了拋物線的圖像經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)，無法求出三個(gè)量，所以只能求出其中兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，問題比較基礎(chǔ)，難度不大.

第（2）問的第①小題要求根據(jù)拋物線與圓的對(duì)稱性特點(diǎn)確定二次函數(shù)的解析式，而開口方向必須借助給定函數(shù)單調(diào)性的代數(shù)結(jié)構(gòu)式的表達(dá)來判斷. 由于學(xué)生在函數(shù)的單調(diào)性上過多借助圖形直觀來描述圖形特征，對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解欠缺，造成學(xué)生解題無從入手. 第②小題需要在求解二次函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，結(jié)合其圖像特點(diǎn)通過代數(shù)運(yùn)算探究圖形性質(zhì). 試題參數(shù)多，運(yùn)算復(fù)雜，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的深層理解，試題解答則體現(xiàn)了思維的靈活性和廣泛性，初高中銜接味道較濃.

教學(xué)啟示

1. 初中函數(shù)教什么

福建中考從2017年開始全省統(tǒng)考，命題團(tuán)隊(duì)由全省優(yōu)秀教師組建，如何最大限度地發(fā)揮試題的育人功能是每一位一線教師都在思考和研究的問題. 對(duì)福建省某市2018年第25題的考生得分情況（如表2）進(jìn)行分析，6萬(wàn)多的考生，滿分不過百. 除試題設(shè)置的難度因素外，我們也應(yīng)反思，在函數(shù)的單元教學(xué)中，自己是否把函數(shù)所呈現(xiàn)的核心育人價(jià)值領(lǐng)會(huì)透徹，學(xué)生是否真正學(xué)會(huì)用函數(shù)的思維也就是通過自變量的變化引起因變量的變化的角度來思考函數(shù)問題，即函數(shù)研究什么？有沒有理解具體函數(shù)的性質(zhì)？學(xué)了三個(gè)初等函數(shù)，是否具備研究其他函數(shù)的能力？

初中函數(shù)要教什么？肯定是函數(shù)思想，有了“函數(shù)思想”，就能用“函數(shù)思想”建立“函數(shù)模型”，并用函數(shù)的性質(zhì)求解模型，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決，這是初中階段教師必須落實(shí)的核心素養(yǎng)之一——“模型思想”. 從人教版的代數(shù)章節(jié)教材邏輯順序也可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)章節(jié)有著四個(gè)邏輯：首先，從變化的世界中發(fā)現(xiàn)和提出問題（以概念的理解為支撐）;其次，建立函數(shù)或方程模型（以模型的求解為關(guān)鍵）;接著，利用函數(shù)的性態(tài)或方程的解求解模型（以方法的掌握為目標(biāo)）;最后，回到實(shí)際問題對(duì)模型進(jìn)行完善和檢驗(yàn)（以素養(yǎng)的形成為理念）. 黨的十八大提出的立德樹人，“德”可以以課程目標(biāo)為指導(dǎo)，樹人，樹有能力的人，有“能力”，就必須靠我們教師潛移默化的傳授和引領(lǐng). 數(shù)學(xué)學(xué)科的“關(guān)鍵能力”就是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考問題，而數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)方式可以理解為高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中六大核心素養(yǎng)的外顯化，而“函數(shù)思想”是六大核心素養(yǎng)之一.

2. 函數(shù)思想該怎么教

（1）以“案例”為載體，滲透函數(shù)思想

①?gòu)淖償?shù)概念的引入到函數(shù)概念本質(zhì)的揭示

函數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)，以及典型的幾類常用函數(shù)都是函數(shù)思想的載體，只有通過研究，學(xué)生才能真正領(lǐng)會(huì)函數(shù)思想，從而在解決問題中靈活運(yùn)用“函數(shù)思想”.

對(duì)于函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，要學(xué)會(huì)揭示函數(shù)概念的本質(zhì). 函數(shù)是一種相依關(guān)系的反映，是相依關(guān)系的數(shù)學(xué)表示，研究的是對(duì)應(yīng)關(guān)系與變化規(guī)律. 函數(shù)概念的引入，可以從變數(shù)概念開始[1]. 如為了表示實(shí)數(shù)，可以用字母x表示，x就是具體實(shí)數(shù)的抽象化過程，x可以是實(shí)數(shù)集合內(nèi)任意一個(gè)數(shù)，但它一旦確定為代表實(shí)數(shù)，就必須滿足實(shí)數(shù)的特性，并且可以是實(shí)數(shù)集內(nèi)的某個(gè)確定的數(shù)，因此它具備任意性和確定性兩個(gè)特性. 對(duì)于代數(shù)式10x，它可以看成含字母的函數(shù)，10x就是字母x的函數(shù). 對(duì)于給定的x的值，要求代數(shù)式10x的值，給定的x必須使得代數(shù)式存在或有實(shí)際意義，這就是函數(shù)中自變量的取值范圍. 10x就是x的對(duì)應(yīng)法則，因此在函數(shù)教學(xué)中，先有定義域和對(duì)應(yīng)法則，才有值域. 所以，在初中函數(shù)的學(xué)習(xí)階段，值域不做嚴(yán)格要求. 有了這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，“在一個(gè)變化的過程中，對(duì)于給定范圍內(nèi)的任意一個(gè)x，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，其中x叫自變量，y叫函數(shù)”這一抽象概念就不難理解了. 用字母表示數(shù)是初中學(xué)生從具體到抽象、從算數(shù)到代數(shù)的思維創(chuàng)新點(diǎn)，做好變數(shù)概念的引入，對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)意義的理解才會(huì)到位.

②從“多元參數(shù)”的消參領(lǐng)會(huì)函數(shù)思想的運(yùn)用

如何從一個(gè)含有多變?cè)臄?shù)學(xué)問題里，選出合適的主變?cè)瑯?gòu)造以該主變?cè)獮樽宰兞康男潞瘮?shù)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)思想，將一些復(fù)雜的方程、不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)來求解，使得問題得到很好的解決，這也是中學(xué)階段要關(guān)注的函數(shù)意識(shí)培養(yǎng). 下面請(qǐng)看一例：

若不等式2x-1>a（x2-1）對(duì)滿足a≤1的一切實(shí)數(shù)a恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

本題通過變更主元，利用函數(shù)圖像的特征（一條線段），化繁為簡(jiǎn)，使問題輕易得解. 當(dāng)然，這要基于學(xué)生對(duì)函數(shù)思想本質(zhì)的認(rèn)識(shí). 選擇變量是本題解決的關(guān)鍵，把x當(dāng)作主元， f（x）=ax2-2x-a+1就是關(guān)于x的二次函數(shù)，因?yàn)榻o出了a的范圍，所以討論f（x）<0時(shí)x的值，就需要分類討論，而把a(bǔ)作為主元時(shí)， f（a）=（x2-1）a-2x+1就是關(guān)于a的一次函數(shù)，而一次函數(shù)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的，問題就變簡(jiǎn)單了. 因此，遇到“多元參數(shù)”的函數(shù)或方程時(shí)，選擇合適的主變?cè)⒑瘮?shù)模型并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解，往往能使問題的解決化難為易.

（2）以“銜接”為目標(biāo)，加強(qiáng)函數(shù)性態(tài)結(jié)構(gòu)的研究

對(duì)函數(shù)的研究，就是對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究，如果學(xué)生有研究函數(shù)解析式的意識(shí)，也許用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像就會(huì)有更明確的思路，從函數(shù)圖像中獲取函數(shù)的性質(zhì)就不會(huì)突兀. 那么，函數(shù)的解析式該如何探究？

初中階段值得關(guān)注的函數(shù)性質(zhì)[2]可以是：自變量的取值范圍，函數(shù)的取值范圍，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的有界性，特殊點(diǎn)處的函數(shù)值，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，函數(shù)圖像的某種對(duì)稱性，函數(shù)是否過特定點(diǎn)，函數(shù)解析式的參數(shù)特點(diǎn)等. 研究這些性質(zhì)，是以從數(shù)（式）到圖像再到數(shù)（式）的方式進(jìn)行展開的，下面以二次函數(shù)的復(fù)習(xí)課為例.

本題的難點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)在函數(shù)圖像中表示的意義不易理解，學(xué)生通過畫圖觀察不難發(fā)現(xiàn)，x1，x2是關(guān)于直線x=1對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，反過來，關(guān)于直線x=1對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.

教師繼續(xù)追問：能否用一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行刻畫？

師生一起通過對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行討論，得出：拋物線與直線y=m（m>-1）相交時(shí)，交點(diǎn)的兩橫坐標(biāo)滿足x1+x2=2. 最后，教師用表3呈現(xiàn)課堂教學(xué)中“數(shù)—形—數(shù)”的研究成果.

如果一節(jié)復(fù)習(xí)課把函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入研究與刻畫，相信解答2018年福建省中考第25題就不是難事！

結(jié)束語(yǔ)

研究函數(shù)的性質(zhì)，離不開函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系. 教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成用統(tǒng)一和聯(lián)系的思維看函數(shù)、方程和不等式問題. 如求自變量的取值范圍，就是解不等式（組）;研究函數(shù)的增減性，涉及不等式的證明;方程、不等式的有關(guān)問題可以統(tǒng)一到函數(shù)思想下進(jìn)行研究. 因此，函數(shù)的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生把函數(shù)圖像作為一種語(yǔ)言去學(xué)習(xí)，從解析式可以描繪出圖像，從圖像特征又可以讀出函數(shù)的性態(tài)結(jié)構(gòu). 解決問題時(shí)，更重要的是利用函數(shù)的性態(tài)結(jié)構(gòu)，量化地處理問題，因此，函數(shù)性態(tài)結(jié)構(gòu)的架構(gòu)在初中階段可以慢慢滲透，為高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]邵光華. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M]. 上海：上海教育出版社，2009：229.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：29-31.