數(shù)學(xué)建模在常微分方程中的應(yīng)用

陳尹剛

[摘要]建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決數(shù)學(xué)學(xué)科中的問題可以說(shuō)是目前理論聯(lián)系實(shí)際最好的例子，運(yùn)用模型與實(shí)際情況之間的微妙聯(lián)系對(duì)問題做出合理的分析和選擇最優(yōu)方案來(lái)解決問題，這是一種將理論知識(shí)上升為個(gè)人能力的最好途徑。本文通過先介紹常微分方程同數(shù)學(xué)建模的關(guān)系，進(jìn)而提出將常微分方程運(yùn)用于數(shù)學(xué)建模中，用實(shí)例展現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模中常微分方程的運(yùn)用方式。運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方式解決生活中的實(shí)際問題，在此過程中常微分方程的運(yùn)用，使得解題過程更加合理，并且極大提高實(shí)際問題的可解性。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;常微分方程;應(yīng)用

[中圖分類號(hào)]G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1671-5918（2019）06-0103-03

doi：10.3969/j.issn.1671-5918.2019.06.046 [本刊網(wǎng)址]http：//www.hbxb.net

在數(shù)學(xué)專業(yè)的課程中，常微分方程是一門基礎(chǔ)性的必修科目，在目前的教學(xué)環(huán)境下，常微分方程與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合，是一種最有效最直接的解決理論知識(shí)與實(shí)際問題的方法，也是目前教學(xué)模式中最常使用的一種教學(xué)手段。通過教師建立模型將書本中的理論和實(shí)際情況進(jìn)行一個(gè)實(shí)體轉(zhuǎn)換，有效的縮小了解題難度，也提升了學(xué)生的思想靈敏度，強(qiáng)化了幾何空間想象力和建模思維等，所以建模思維在解決常微分方程這類抽象問題上通常具有重要作用。

一、常微分方程在數(shù)學(xué)史中的歷史發(fā)展

在17世紀(jì)中期，從普通微分方程中分離產(chǎn)生的數(shù)學(xué)專業(yè)，屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支，同時(shí)也是一個(gè)高度與現(xiàn)實(shí)結(jié)合應(yīng)用的主題。不過目前對(duì)于常微分方程的教學(xué)，老師都側(cè)重于微分方程理論的重要性，從而忽視了學(xué)生的綜合實(shí)踐能力，導(dǎo)致很多學(xué)生都缺乏應(yīng)用常微分方程到實(shí)際中的能力。微分方程中高度應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模方法，是解決具體問題的模型也是實(shí)踐現(xiàn)象與數(shù)學(xué)理論的結(jié)合。這種相對(duì)固定的方法是培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和研究技能的應(yīng)用。常微分方程作為數(shù)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)方案中一門重要的基礎(chǔ)性學(xué)科，其發(fā)展進(jìn)程也是有著一定的歷史淵源的，從最初同時(shí)代的微積分和微分方程的誕生開始，就為后來(lái)的常微分方程的萌芽埋下了種子，常微分方程從19世紀(jì)后半葉開始，才逐漸發(fā)展成數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分枝。

（一）微分方程與其他學(xué)科間的發(fā)展關(guān)系

數(shù)學(xué)中的微分發(fā)展與其他學(xué)科的科學(xué)技術(shù)發(fā)展也有著密切的聯(lián)系，如物理這一學(xué)科中的力學(xué)部分，尤其是機(jī)械力學(xué)和天體力學(xué)這兩個(gè)分支，當(dāng)時(shí)牛頓在研究天體行星的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)也運(yùn)用了微分方程來(lái)解決研究過程中所遇到的問題。在天文科學(xué)領(lǐng)域中，科學(xué)研究者們也經(jīng)常使用這一工具，例如歷史上海王星的位置發(fā)現(xiàn)和確定，就是兩位著名天文學(xué)家結(jié)合微分方程進(jìn)行計(jì)算推演而得出的。由此可以看出，人類在認(rèn)識(shí)自然和發(fā)現(xiàn)自然的過程中都離不開微分方程這個(gè)充滿能量的學(xué)科。

（二）常微分方程的誕生

在微積分和微分方程不斷發(fā)展的過程中，一些小的分支部分又被拿出來(lái)做了重點(diǎn)研究，例如因?yàn)槲⒎址匠讨猩婕昂瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，一些自變量的計(jì)算以及未知函數(shù)，在碰到實(shí)際問題時(shí)往往有點(diǎn)難以劃分，所以就慢慢形成了常微分方程。常微分方程的概念是：在一個(gè)微分方程里如果出現(xiàn)了只包含一個(gè)自變量的未知函數(shù)，則這個(gè)方程就被稱為常微分方程。我們也可以簡(jiǎn)稱它為微分方程，它向我們表達(dá)了量與量在運(yùn)動(dòng)過程之中的關(guān)系，并結(jié)合客觀世界做出規(guī)律解釋，常微分方程作為一個(gè)重點(diǎn)分支發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)有了其完整的理論系統(tǒng)，合理的運(yùn)用常微分方程也已經(jīng)是我們?nèi)祟愄剿髯匀唤鉀Q現(xiàn)實(shí)問題的一個(gè)重要途徑了。

二、建立數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的人必備的一項(xiàng)重要技能，目前也有許多高校學(xué)生自發(fā)的設(shè)立了數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，開設(shè)數(shù)學(xué)建模比賽項(xiàng)目等等，這都說(shuō)明建模這一科學(xué)思維在人們心中占有的地位正在逐漸提高。而我們?nèi)绻胍\(yùn)用書本上的數(shù)學(xué)理論知識(shí)來(lái)解決生活中的實(shí)際問題時(shí)，就一定離不開建立數(shù)學(xué)模型，把抽象的問題具體化，化虛擬為實(shí)物，就很容易解決了。

（一）數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用

運(yùn)用數(shù)學(xué)理論來(lái)解決生活中的問題，建立模型是不可或缺的一個(gè)步驟，建立數(shù)學(xué)模型可以將事物的內(nèi)在核心關(guān)聯(lián)放大，外部的干擾信息被剔除，體現(xiàn)出它本身固有的特性本質(zhì)和規(guī)律特征，使問題更加清晰簡(jiǎn)單的呈現(xiàn)出來(lái)。讓我們可以透過表象看到本質(zhì)，將一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題的核心部分直接呈現(xiàn)出來(lái)，側(cè)重于主要目標(biāo)，建立起物與物之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，最后結(jié)合理論知識(shí)來(lái)加以分析理解最終達(dá)到解決問題的目的。要將靈活地運(yùn)用常微分方程，首先將數(shù)學(xué)建模和常微分方程結(jié)合起來(lái)，將數(shù)學(xué)建模思想滲透到常微分方程的教學(xué)過程中，使學(xué)生了解問題的本質(zhì)，進(jìn)一步提高解決問題的能力，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣，提高了學(xué)生在實(shí)際問題中應(yīng)用常微分方程的能力，也鍛煉了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的分析能力，因此高中數(shù)學(xué)的教學(xué)，應(yīng)該把數(shù)學(xué)建模思想發(fā)展開來(lái)。理論與實(shí)際的結(jié)合使得建立出的模型更加貼合實(shí)際，對(duì)最終需要解決的問題更加有利。

（二）建立數(shù)學(xué)模型的方法

在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，首先要根據(jù)實(shí)際問題本身出發(fā)，用理論聯(lián)系實(shí)際的方法，針對(duì)不同的問題，結(jié)合實(shí)際具體分析，來(lái)確定一個(gè)合理的模型。比如在解決求一個(gè)幾何物體的表面積時(shí)，我們就可以根據(jù)幾何的理論知識(shí)，確定變量，函數(shù)以及未知量之間的聯(lián)系，建立一個(gè)便于理解的實(shí)體模型，將多維的物體平面化，從而解決這個(gè)問題。在求概率問題，例如買福利彩票中獎(jiǎng)概率等，也可以運(yùn)用建模方法來(lái)解決，還有求變化率的時(shí)候可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)模型，或者統(tǒng)計(jì)學(xué)科中的抽樣調(diào)查等等問題，都可以采用建模思維，對(duì)應(yīng)不同的問題建立不同的模型，這是一個(gè)解決實(shí)際問題的十分重要的方法。

在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要合理的假設(shè)，合理的假設(shè)源自初步的調(diào)查和對(duì)研究問題的分析，通過分析得出假設(shè)，然后用一定的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證假設(shè)的合理性。在生活中，許多問題都需要進(jìn)行理想化的假設(shè)，例如將人口數(shù)作連續(xù)化處理，但是并不是所有的這類問題都可以進(jìn)行連續(xù)化處理，比如說(shuō)這種人口數(shù)已經(jīng)確定下來(lái)，并且人口數(shù)沒有達(dá)到一定的數(shù)量，這些情況將人口數(shù)量做連續(xù)化處理，就會(huì)存在問題，甚至使得自己建立出來(lái)的模型得出的結(jié)論不具有科學(xué)性甚至?xí)霈F(xiàn)錯(cuò)誤。

三、用常微分方程來(lái)建立數(shù)學(xué)模型

將建立數(shù)學(xué)模型與常微分方程相結(jié)合，更有利于解決生活中所面臨的實(shí)際問題。通常數(shù)學(xué)模型根據(jù)建立的方法不同大致可以分為幾何模型，圖論模型，微分方程模型，馬氏鏈模型，初等數(shù)學(xué)模型以及規(guī)劃論模型。微分方程模型就是我們介紹的重點(diǎn)，利用它我們又可以得到何種結(jié)果。

（一）常微分方程的模型建立

當(dāng)我們所要求的問題是一個(gè)客觀世界中的不斷運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)時(shí)，它就具有了許多的不可預(yù)測(cè)性，這個(gè)時(shí)候我們通常就會(huì)建立微分方程模型，用來(lái)計(jì)算事物的內(nèi)在變化規(guī)律，簡(jiǎn)單了解它的未來(lái)趨勢(shì)，嘗試分析演變過程或者預(yù)測(cè)變化形勢(shì)等，總而言之，就是要將生物科學(xué)，化學(xué)科學(xué)，物理科學(xué)等等各種各樣的科學(xué)技術(shù)相結(jié)合，不僅如此，還要雜糅社會(huì)科學(xué)和工程科學(xué)的內(nèi)在規(guī)律和自然原理等，才能夠建立起一個(gè)完整的常微分方程模型。在常微分模型里面可以結(jié)合計(jì)算機(jī)的知識(shí)，這樣可以使得常微分問題能夠被有效和快速的解決。探討常微分方程的圖像如何隨時(shí)間的變化而變化，就需要通過引入模型的方法來(lái)研究，不過模型的形成過程一般比較復(fù)雜，我們很難用筆計(jì)算來(lái)解決它。因此，我們必須使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件來(lái)解決數(shù)值問題，我們也可以使用該軟件來(lái)模擬數(shù)值。這不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣，而且可以提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想解決常微分方程實(shí)際問題的能力。

（二）常微分方程模型的運(yùn)用

常微分方程模型的應(yīng)用有很多，例如地球人口預(yù)測(cè)，著名的有馬爾薩斯模型和邏輯模型，都是運(yùn)用常微分方程來(lái)解決人口劇增危機(jī)。雖然馬爾薩斯模型不是完全正確，但是也為預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)起到了積極作用，不僅可以用來(lái)預(yù)測(cè)人口，還可以用來(lái)預(yù)測(cè)任一物種的發(fā)展趨勢(shì)，在人類認(rèn)識(shí)自然中，邏輯模型就有著非常廣泛的運(yùn)用。

我們可以通過一個(gè)例子來(lái)進(jìn)一步了解常微分方程模型的應(yīng)用，例如振動(dòng)模型。我們的生活中隨處可見振動(dòng)，不管是醫(yī)療上的核磁共振，還是工業(yè)上的電機(jī)驅(qū)動(dòng)，都離開振動(dòng)，那么生活中的大多數(shù)振動(dòng)問題，都可以用下面這個(gè)例子來(lái)描述。

我們來(lái)假設(shè)在木板懸掛一個(gè)彈簧，將它的上端固定住，在其下端垂掛一質(zhì)量為m的物體，來(lái)研究其振動(dòng)規(guī)律。那么我們就可以先取其平衡點(diǎn)，再在平衡點(diǎn)上進(jìn)行受力研究，除了重力與彈力大小相等方向相反，是一對(duì)作用力與反作用力以外，剩下的就是質(zhì)量為m的物體所帶來(lái)的力了，結(jié)合位移與初速度，在振動(dòng)過程中所受的阻力，根據(jù)牛頓第二定律列出方程。再根據(jù)有無(wú)阻尼，以及是否做強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)等進(jìn)行具體情況具體分析，用不同的方程來(lái)計(jì)算出設(shè)置的未知量，這就是一個(gè)完整的常微分方程模型的應(yīng)用過程。

在常微分方程的研究中，每個(gè)理論之后都有許多具體的例子。我們可以應(yīng)用一些簡(jiǎn)單的問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)描述具體問題，并對(duì)它們進(jìn)行合理的分析，進(jìn)而確定后使用哪類理論知識(shí)和常微分方程，并將學(xué)習(xí)的微分方程應(yīng)用于實(shí)際問題，達(dá)到將教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模方法相結(jié)合，從而有效地解決實(shí)際問題。

（三）常微分方程模型的發(fā)展趨勢(shì)

常微分方程模型來(lái)源于實(shí)際生活所產(chǎn)生的問題，只要我們實(shí)際生活中的問題不得以解決，那么這個(gè)模型就會(huì)持續(xù)地發(fā)展下去，并且在未來(lái)的時(shí)間里，科學(xué)技術(shù)得到了更全面的提升，那么常微分方程模型這一科學(xué)方法也必將得到更大的發(fā)展。在不同的領(lǐng)域中，不斷地更新迭代，用新的數(shù)學(xué)模型開建立新的常微分方程，去解決可能遇到的更多問題。這是一個(gè)十分重要的工具，以后會(huì)涉足這個(gè)領(lǐng)域的學(xué)科也必定會(huì)越來(lái)越多，所以未來(lái)肯定會(huì)有更多的人從事研究這個(gè)行業(yè)，將現(xiàn)在存在的不足加以改善，形成一個(gè)更完備的常微分方程模型系統(tǒng)向社會(huì)推行。

四、結(jié)論

數(shù)學(xué)建模與常微分方程的結(jié)合應(yīng)用，是時(shí)代選擇的成果。它不僅僅是一個(gè)研究物質(zhì)與物質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，量與量的變化規(guī)律的工具，也是一個(gè)聯(lián)系眾多科學(xué)內(nèi)容的橋梁，是解決實(shí)際問題與理論知識(shí)相結(jié)合的重要紐帶。歷史上有許多著名科學(xué)家是運(yùn)用了這個(gè)工具才解答了很多未知的問題，提出了更多新的猜想，不僅在物理科學(xué)，天文科學(xué)中有著至關(guān)重要的作用。在自然界里，在航海領(lǐng)域中，在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中，在經(jīng)濟(jì)學(xué)里，在探索人與自然的和諧相處中，它都有著舉足輕重的地位。本文只是從小的方面闡述了它的部分意義，實(shí)際上在生活中處處可以找到它的影子，常微分方程已發(fā)展了三百多年，它的理論依據(jù)與研究也在逐漸趨于完善。相信在不久的將來(lái)，這個(gè)工具會(huì)成為人類的日常用具，在解決未來(lái)社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域的問題中，它都有著不可或缺的地位。