走進(jìn)函數(shù)綜合，解法探析思考
——以一道函數(shù)綜合題為例

☉江蘇省常熟市白茆中學(xué) 張建亮

函數(shù)綜合題在中考中常以壓軸題的形式出現(xiàn)，該類試題綜合了眾多的知識內(nèi)容，題型變化多樣，綜合性強，對學(xué)生的解題思維要求較高.本文以一道函數(shù)與幾何的綜合題為例開展解題探究，分析思考，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

一、問題呈現(xiàn)

圖1

（1）試求點B的坐標(biāo)及拋物線C的解析式.

（2）若點M（m，0）為x軸上的一個動點，過點M作x軸的垂線，與直線AB相交于點P，與拋物線C相交于點N.

①若點M在線段OA上運動，當(dāng)B、P、N三點組成的三角形與△APM相似時，試求點M的坐標(biāo).

②若點M可在x軸上自由運動，定義：如果M、P、N中恰好有一點為其他兩點所連線段的中點，則稱M、P、N三點為“共諧點”.請寫出M、P、N三點為“共諧點”時參數(shù)m的值.

二、思路分析

本題目為初中常見的函數(shù)綜合題，是以直線和拋物線相交為背景而構(gòu)建的.第（1）問求解相關(guān)點的坐標(biāo)及函數(shù)的解析式，屬于常規(guī)問題.第（2）問是以點動為基礎(chǔ)命制的考題，第①問分析三角形相似的情形，第②問求解新定義下的參數(shù)值，是本考題的難點所在.問題涉及解析式求解、動點分析、三角形相似，以及線段中點等內(nèi)容.

第（1）問求解點B的坐標(biāo)關(guān)鍵是明晰該點與直線、拋物線及坐標(biāo)的關(guān)系，求解拋物線的解析式，實際上就是求解析式中b和c的值，從方程角度出發(fā)，需要求解拋物線上的兩個點，構(gòu)建二元一次方程組.

第（2）問表明點M為x軸上的動點，點M運動必然會影響△BPN的形狀，第①問分析△BPN與△APM相似時的情形，則需要分析△BPN和△APM的特性，在函數(shù)背景下利用“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例”的判定定理解題.第②問定義了“共諧點”，則首先需要理解定義的內(nèi)容，即三點中，其中一點為另外兩點連線的中點，基于該定義來討論三點之間的關(guān)系，將其位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系.

三、解答過程

（2）①由題干可知PM始終垂直于x軸，故△APM為直角三角形，則tan∠PAM=.△BPN和△APM始終存在一組對頂角，故只需要確保另一組內(nèi)角相等即可，即△BPN中也存在一個90°的角.下面分別討論：

（ⅰ）當(dāng)∠BNP=90°時，如圖2所示，直線BN平行于x軸，則點B和點N必然關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.點B的坐標(biāo)為（0，2），拋物線C的對稱軸為直線x=，所以點N的橫坐標(biāo)為，即點N的坐標(biāo)為 （， 2），所以點M的坐標(biāo)為 （，0）.

圖2

圖3

（ⅱ）當(dāng)∠NBP=90°時，過點B作MN的垂線，垂足為點H，如圖3所示，則tan∠PNB=tan∠PAM=.點H的坐標(biāo)為（m，2），點N的坐標(biāo)為則BH=m，HN=-m，則，解得m=，所以點M的坐標(biāo)為

②存在以下三種情形.

圖4

圖5

圖6

（ⅰ）點P為NM的中點，如圖4，則MN=2PM，即點N的縱坐標(biāo)為點P的縱坐標(biāo)的2倍，可得方程m+2=），解得m=3（舍去）或m=.

（ⅱ）點N為PM的中點，如圖5，則PM=2NM，有yP=2yN，可得方程m+2，解得m=3（舍去）或m=-.

（ⅲ）點M為PN的中點，如圖6，則PN=2PM，點P和點N關(guān)于x軸對稱，PM=MN，則有m+2=解得m=3（舍去）或m=-1.

四、解后思考

本題目為函數(shù)綜合題，在中考中一般以壓軸題的形式出現(xiàn)，除了考查學(xué)生對函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握，還常通過知識融合考查學(xué)生綜合運用知識的能力.上述就是函數(shù)與幾何知識的融合，考查幾何性質(zhì)與函數(shù)之間的聯(lián)系，具有一定的代表性，下面對試題進(jìn)一步思考.

1.考題的命題特點

考題以直線與拋物線為背景，考查函數(shù)與幾何知識的聯(lián)系，其特殊性在于構(gòu)建了一個動點，第（2）問以點動為依托，分別引入了三角形相似和幾何新定義.題目具有很強的拓展性，知識的銜接較為緊密，既能考查學(xué)生對兩大知識領(lǐng)域的聯(lián)系性的把握，又能考查學(xué)生全面分析問題、轉(zhuǎn)化問題的能力.

2.解題的關(guān)鍵步驟

總體而言，本題目屬于函數(shù)動點問題.第①問分析動點函數(shù)背景下的三角形相似，解題的關(guān)鍵是把握兩個三角形的特性——存在對角且△APM為直角三角形，需要基于該特性，結(jié)合三角形相似的判定定理來構(gòu)建思路，將問題轉(zhuǎn)化為分析點的坐標(biāo)或線段長.第②問屬于幾何新定義題，看似復(fù)雜，實則是分析線段中點的問題，關(guān)鍵是全面考慮“共諧點”的三種不同情形，將中點性質(zhì)與點的坐標(biāo)的關(guān)系相聯(lián)系.

3.值得學(xué)習(xí)的方法

上述在處理線段動點時采用了“參數(shù)表示，化動為靜”的方法，即設(shè)定動點的坐標(biāo)，將所求點的線段長用含有動點坐標(biāo)的參數(shù)來表示，然后結(jié)合條件探尋線段之間的等量關(guān)系，構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)方程.因此學(xué)會動點問題的簡化策略很重要，而動點的參數(shù)化是其中較為有效的一種方法，需要注意的是，要關(guān)注參數(shù)的取值范圍，確保定義的正確性.

4.常見的變式形式

上述與幾何相結(jié)合的函數(shù)綜合題在中考中很常見，其問題類型也較為多樣，可以對本題目的第①問適當(dāng)變式.

變式1：當(dāng)B、P、N三點組成的三角形與△APM相似時，試求△BPN的面積.

參考思路：解題的關(guān)鍵依然是把握三角形的特性，構(gòu)建相似的情形，從而確定點M和點N的坐標(biāo).考慮到兩個三角形為直角三角形，因此可以直接由點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的線段長，然后基于三角形的面積公式求解，有兩種思路：①直接求得△BPN的底和高；②求解兩三角形的相似比，求出△APM的面積，然后用相似比轉(zhuǎn)化.后者看似復(fù)雜，但考慮到相似的情形有兩種，△BPN的位置發(fā)生變化，而△APM的位置基本不變，更容易分析.

變式2：在x軸上是否存在一點N，使得B、P、N三點組成的三角形與△APM全等？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考思路：該變式為常見的存在性問題，分析時同樣可以參考上述解題的思路，先構(gòu)建相似，然后引入一組對邊相等即可.因此可以把握其中的直角特性，確定點的大致分布.對于分類的第（i）種情形，點P必然為MN的中點，從而確定點N的坐標(biāo).對于第（ii）種情形，則需要進(jìn)一步考慮AM=BN.因此對于全等問題，可以轉(zhuǎn)化為分析相似比為1的三角形相似問題.

五、教學(xué)建議

1.注重思路講解，掌握解題策略

函數(shù)綜合題具有很強的知識綜合性，在教學(xué)中開展對應(yīng)的解題教學(xué)可以加速學(xué)生的知識融合，提升學(xué)生的解題能力.教學(xué)時特別需要注重引導(dǎo)學(xué)生掌握問題的轉(zhuǎn)化方法和構(gòu)建思路.如上述函數(shù)背景下的相似問題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為分析平面直角坐標(biāo)系中線段和點的坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建對應(yīng)的代數(shù)方程來確定點的坐標(biāo).對于新定義題，則需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，理解定義，然后結(jié)合題干條件分析定義下的問題，將其轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)或幾何問題.問題是變化多樣的，但解題的方法和策略是不變的，教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)習(xí)方法指導(dǎo).

2.滲透解題思想，提升解題思維

求解綜合類考題離不開解題的思想方法，利用數(shù)學(xué)思想方法可以全面分析問題，使問題簡單化，提高解題效率.如上述解題過程利用了分類討論和數(shù)形結(jié)合思想，正是在上述兩種思想的配合下，使得問題更為直觀，分析過程更為嚴(yán)謹(jǐn)，從而確保了答案的正確性.因此，在教學(xué)中不僅需要指導(dǎo)學(xué)生解題，還需逐步滲透數(shù)學(xué)的解題思想.考慮到思想方法較為抽象，教學(xué)時可以結(jié)合具體的內(nèi)容，如在講解拋物線時滲透數(shù)形結(jié)合思想，利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合幫助學(xué)生掌握拋物線的特性.數(shù)學(xué)思想方法是思想層面的內(nèi)容，通過數(shù)學(xué)思想的滲透可以在潛移默化中提升學(xué)生的解題思維，從根本上提升學(xué)生的解題能力.